第七章 函数逼近用简单的函数p (x )近似地代替函数f (x )，是计算数学中最基本的概念和方法之一。

近似代替又称为逼近，函数f (x )称为被逼近的函数，p (x )称为逼近函数，两者之差)()()(x p x f x R -=称为逼近的误差或余项在计算数学里，所谓简单的函数主要是指可以用加、减、乘、除四则运算进行计算的函数，如有理分式函数、多项式等。

由于多项式最简单，计算其值只需用到加、减与乘三种运算，且求其微分和积分都很方便，所以常用它来作为逼近函数，而被逼近的函数f (x )一般是一个比较复杂的不易计算的函数或以表格形式给出的函数。

第六章介绍的插值法实际上也是函数逼近的一种方法。

不过，它要求函数p (x )与f (x )在节点处具有相同的函数值 (甚至要求有相同的导数值)，但在非节点处，p (x ) 虽然有可能很好地逼f (x )，但也可能使逼近f (x ) 的误差很大，如果实际问题要求p (x )在区间[a , b ] 上每一点都“很好”地逼近的话，用插值多项式p (x ) 去逼近f (x )有时就要失败，所谓龙格现象，就是典型一例。

大家知道，用f (x )的泰勒(Taylor)展开式)()()!1()()(!)()(!2)())(()()(010)1(00)(200000之间与在x x x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n n ξξ++-++-++-''+-'+=Λ的部分和去逼近函数f (x )，也是常用的方法。

这种方法的特点是：x 越接近于x 0，误差就越小，x 越偏离x 0，误差就越大。

若要使这种逼近在整个所讨论的区间上都达到精度要求，则需取很多项，这样，计算工作量就大大增加。

因此，如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题，这个问题的一般提法是：对于函数类A 中给定的函数f (x )，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B (⊂ A )中寻找一个函数p (x )，使p (x )与f (x )之差在某种度量意义下最小。

一般，最常见的函数A 是区间[a , b ]上的连续函数，记作C [a , b ]。

最常用的函数类B 有代数多项式、三角多项式以及有理分式函数等。

最常用的度量标准有两种：(一) 一致逼近以函数f (x )和p (x )的最大误差)()(max ],[x p x f b a x -∈作为度量误差f (x ) - p (x )的“大小”的标准，在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近，讲得更具体一点，也即对于任意给定的一个小正数ε >0，如果存在函数p (x )，使不等式ε<-<<)()(max x p x f bx a成立，则称该函数p (x )在区间[a, b ]上一致逼近或均匀逼近于函数f (x )。

(二)平方逼近： 如果我们采用dx x p x f ba⎰-2)]()([作为度量误差)()(x p x f -的“大小”的标准，在这种意义下的函数逼近称为平方逼近或均方逼近。

这种方法要比一致逼近的相应问题简单得多。

本章主要介绍在这两种度量标准下用代数多项式p (x )去逼近区间[a, b ]上的连续函数，也就是介绍函数的最佳一致逼近多项式和最佳平方逼近多项式。

由于正交多项式是函数逼近的重要工具，因此，下面先介绍几种常见的正交多项式。

§1 正交多项式 一、正交函数系的概念高等数学中介绍傅立叶(Fourier)级数时，证明过函数系；1， cos x ，sin x ，cos2x ，sin2x ，…，con nx ，sin nx ，… (7.1) 中任何两个函数的乘积在区间[-π ,π ]上的积分都等于0。

我们称这个函数中任何两个函数在[-π ,π ]上是正交的，并且称这个函数为一个正交函数系。

若对(7.1)中的每一个函数再分别乘以适当的数，使之成为：nx nx x x sin 1,cos 1,,,sin 1,cos 1,21πππππΛ（7.2)那么这个函数系在[-π ,π ]上不仅保持正交的性质，而且还地标准化的(规范的)，亦即每一个函数自乘之积，在[-π ,π ]上的积分是1。

为了使讨论更具有一般性，先要介绍一些基本概念。

1．权函数的概念定义7.1 设ρ (x )定义在有限或无限区间[a , b ]上，如果具有下列性质： (1) ρ (x ) ≥0，对任意x ∈[a , b ]， (2) 积分dx x x nba)(ρ⎰存在，(n = 0, 1, 2, …)，(3) 对非负的连续函数g (x ) 若⎰=badx x x g 0)()(ρ。

则在(a , b )上g (x ) ≡ 0，我们就称ρ (x )为[a , b ]上的权函数。

在正交多项式的讨论中，会遇到各种有意义的权函数，常用的权函数有： 1)(],1,1[],[=-=x b a ρ；211)(],1,1[],[xx b a -=-=ρx e x b a -=∞=)(],,0[],[ρ2)(],,[],[x e x b a -=∞+-∞=ρ等等。

2．内积的概念定义7.2 设f (x )，g (x ) ∈ C [a , b ]，ρ (x )是[a , b ]上的权函数，则称⎰=badx x g x f x g f )()()(),(ρ为f (x )与g (x )在[a , b ]上以ρ (x )为权函数的内积。

内积有如下性质：(1) (f , f )≥0，且(f , f )=0 ⇔ f = 0； (2) (f , g ) = (g , f )；(3) (f 1 + f 2, g ) = (f 1, g ) + (f 2, g )； (4) 对任意实数k ，(kf , g ) = k (f , g )。

这些性质，由内积的定义不难得到证明。

3．正交性的概念定义7.3 设f (x )，g (x ) ∈C [a , b ]若⎰==badx x g x f x g f 0)()()(),(ρ则称f (x )与g (x )在[a , b ]上带权ρ (x )正交。

定义7.4 设在[a , b ]上给定函数系{}ΛΛ),(,),(),(10x x x n ϕϕϕ，若满足条件())(),1,0,(,0,0)(),((是常数k k kj A k j kj A kj x x ⎩⎨⎧==>≠=Λϕϕ则称函数系{ϕk (x )}是[a , b ]上带权ρ (x )的正交函数系，特别地，当A k ≡ 1时，则称该函数系为标准正交函数系。

若定义7.4中的函数系为多项式函数系{}Λ)(),(10x p x p ，则称{})(x p k 为以ρ (x )为权的在[a , b ]上的正交多项式系。

并称p n (x )是[a , b ]上带权ρ (x )的n 次正交多项式。

例1 验证多项式：31,,12-x x 在]1,1[-上带权ρ (x ) = 1两两正交。

解 容易验证⎰-=⋅1101xdx⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅1120311dx x⎰⎰--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅11113203131dx x x dx x x而 ⎰->11201dx⎰->1120dx x⎰->⎪⎭⎫⎝⎛-1122031dx x由定义7.4，结论成立。

有了以上的基本概念，下面我们介绍几个常用的正交多项式。

二、常用的正交多项式1．切比雪夫(чебыщев)多项式切比雪夫多项式具有很多重要性质，是函数逼近的重要工具，并且有广泛的应用。

定义7.5 称多项式)2,1,0,11( )cos arrc cos()(Λ=≤≤-=n x x n x T n(7.3)为n 次的切比雪夫多项式(第一类)。

切比雪夫多项式T n (x )具有以下性质： (1) 正交性：由{ T n (x )}所组成的序列{ T n (x )}是在区间[-1, 1]上带权211)(xx -=ρ的正交多项式序列。

且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≠=≠=-⎰-0,0,2,0)()(11112n m n m n m dx x T x T x n m ππ(7.4)证 因为)arccos cos()(x n x T n =，令 θcos =x ， 则θn x T n cos )(=， 于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≠=≠==-=-⎰⎰⎰-0,0,2,0cos cos )sin (cos cos sin 1)()(1100112n m n m n m d n m d n m dx x T x T x n m ππθθθθθθθθππ(2) 递推关系相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式：⎩⎨⎧=-⋅===-+),2,1()()(2)()(,1)(1110Λn x T x T x x T xx T x T n n n (7.5)证 显然，n = 0时，1;1)(0==n x T 时，x x T =)(1当n ≥1时，令x = cos θ ，则θn x T n cos )(= 由三角恒等式θθθθcos cos 2)1cos()1cos(n n n =-++即得211)(2)()(x T x x T x T n n n ⋅=+-+移项就得上述递推关系(7.5)。

由三项递推关系式可依次写出如下常用的前面几个切比雪夫多项式的表达式：。

132160256128)(,75611264)(,1184832)(,52016)(,188)(,34)(,12)(,)(,1)(2468835772466355244332210+-+-=-+-=-+-=+-=+-=-=-===x x x x x T x x x x x T x x x x T x x x x T x x x T x x x T x x T x x T x T可见T n (x )也是普通的n 次多项式。

(3) 奇偶性：切比雪夫多项式T n (x )，当n 为奇数时为奇函数；n 为偶数时为偶函数。

这是因为)()1()cos arc cos()1()cos car cos()]arccos(cos[)(x T x n x n n x n x T n nnn -=-=-=-=-π(4) T n (x )在区间[-1, 1]上有n 个不同的零点),,2,1(,2)12(cosn k nk x k Λ=-=π。

证 由于 θn x T n cos )(=令 0)(=x T n 有),,2,1(2/n k k n Λ=-=ππθ所以在区间0≤θ ≤π 上有n 个值nk k 2)12(πθ-=使 0cos =k n θ即θn cos 在[0,π]中有n 个不同的零点，且由于T n (x )是n 次多项式，所以至多有n 个零点，现已找到n 个不同的零点，则每一个x k 都是T n (x )的单重零点。