学校代码：11517学号：201311002242HENAN INSTITUTE OF ENGINEERING毕业论文题目直接法和二维Toda格方程的周期解学生姓名李灵霜专业班级信息与计算科学1342学号201311002242院（部）理学院指导教师(职称)苏婷(副教授)完成时间2017 年5 月26日毕业设计（论文）版权使用授权书本人完全了解河南工程学院关于收集、保存、使用学位毕业设计（论文）的规定，同意如下各项内容：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存毕业设计（论文）；学校有权提供目录检索以及提供本毕业设计（论文）全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有关部门或者机构送交毕业设计（论文）的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制毕业设计（论文）的部分或全部内容用于学术活动。

毕业设计（论文）作者签名：年月日毕业设计(论文)原创性声明本人郑重声明：所呈交的毕业设计（论文），是本人在指导教师指导下，进行研究工作所取得的成果。

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毕业设计（论文）作者签名：年月日目录摘要 (1)第1章绪论 (2)第2章二维Toda格方程的双线性形式 (3)第3章一维周期波解和渐进性 (4)3.1一维周期波解 (4)3.2单周期波解的渐近性 (6)第4章双周期波解及其渐近性 (7)4.1构建双周期波解 (7)4.2双周期波解的渐近性 (9)致谢 (12)参考文献 (13)直接法和二维Toda格方程的周期解摘要Hirota双线性方法被用来直接构造周期波解依照Riemann theta函数（2+1）-1维Toda晶格方程。

对周期波的渐进性进行详尽的分析，包括单周期解和双周期解。

并绘制解的曲线来分析此解，结果表明可以从周期波解中减少公知的孤子解。

关键词：Riemann theta 函数周期波解一种直接方法第1章绪论1.1选题的背景和意义众所周知，有很多成功的方法来构造微分方程的显式解，例如：散射变换、Darboux变换、Hirota直接法、algebra-geometrical方法等等。

准周期性解或algebra-geometrical解可以借助于 algebra-geometrical方法获得，然而他们解的形式复杂可以借助于黎曼曲面和Abel-Jacobi函数。

Hirota直接方法提供了一个强有力的方法来构造非线性方程的精确解，一旦通过因变量变换以双线性形式写入非线性方程，则可以获得多孤子解和有理解。

Nakamura在1979年和1980年提出了单周期波解和基于Hiorta的双周期波解，借助Riemann theta函数。

其中得到KdV和Boussinesq方程的周期解，这种方法的重要优势在Dai et al首次被证明。

对于KP 方程，可以明确地绘制解分布图，并且通过使用合适的渐近极限，可以从准周期解推导多分散解。

这种程序在Dai et al中有介绍，并被其他作者用来研究用大量孤子方程来构造准周期性解。

1.2国内外发展现状关于Toda晶格问题已经进行了大量的调查研究。

Nakamura研究关于（3+1）-维Tode方程，此方程的解是一系列的Bessell函数的级数展开式的表达式形式。

Krichever和Vaninsky得到了周期和开放Toda晶格之间的关系。

此外algebra-geometrical方法关于开放Toda晶格是发展的。

对于开放Toda格代数几何方法的开发，基于李超代数方法，这是超级Toda晶格和超KdV方程有一定关系发现.Baleanu和Baskal讨论了个Lax方程的张量形式和Cartan挠率张量的几何形式存在的透明。

此外，给出了Toda晶格的Lax张量方程的解。

Baleanu等人提出了Killing张量和Lax算子之间的联系，并详细分析了Toda晶格方程的应用，Ito和Locke研究了仿射Toda场方程，并得出了一些有趣的解。

Mahmood通过使用Darboux 变换得到NC Painleve方程的准决定性解，其中Toda解在n = 1处。

Klein和Roidot 提出了对于双曲线和椭圆形情况的波长极限（2 + 1）维度Toda的数值研究。

Wu等人将离散小数演算的工具引入到扩散问题的离散建模中，并且提出了在Caputo方法中的小数时间离散扩散的模型李构建了一个新的q变形的Toda层次的双线性方程和tau 函数的Sato 理论。

此外，详细研究了多组分延伸作者研究了周期性Toda 链的动力学的渐近线，其中具有大量等质量的粒子的初始数据接近平衡。

Wu 等人提出了晶格分数扩散方程，并且作为应用，讨论了各种差分阶数。

1.3 课题理论基础介绍对于二维Toda 晶格方程：()()()()(),,1,,1,,,,n i ,,20xx u x y n u x y n u x y n yy u x y u x y n e e e -+---+++-=(1.1)Nakamura 【31】发现新的类型精确解（ripplon 解，新的解反映了系统的基本多维度的影响事实上，方程（1.1）是修正拉普拉斯方程的离散化形式。

（参考【31】）+-=0yy xx zz u iu u (1.2)在本文中，我们采用了戴等人提出的方法，【13】在方程（1.1）的Riemann θ函数中直接构造周期波解通过进行合适的渐近分析，获得并导出单周期和双周期解。

此外，我们绘制一些解的曲线来详细分析解。

1.4 本文结构本论文的结构如下，在第二章中，我们得出了2D Toda 格方程的双线性形式。

在第三章中给出了一阶周期波解和渐近性。

在第四章中，我们得到双周期波解及其渐近性。

类似于第三章，虚部的一些解曲线将被丢弃。

第2章二维Toda 格方程的双线性形式我们考虑方程()()()()()-+---+++-=,,1,,1,,,,n ,,20xx u x y n u x y n u x y n yy u x y iu x y n e e e (2.1)通过作如下变换：()()(),,221ln ,,,u x y n x ye x yf x y n --=∂+∂ (2.2) 方程（2.1）具有双线性形式：ξωμ=++=,1,2j j j j k x t n j()()()()()⋅⎡⎤≡+-++⋅=⎣⎦22,,cosh D ,,,,i 22,,,,0n X Y X Y n G D D f x y n f x y n D D conshD c f x y n f x y n (2.3)其中()()()=++123c c n x c n y c n ，这是由于积分的结果。

在文献【4】中对Hirota 双线性微分算子做了如下定义：()()()()(),,,,|,,my y x x x x D D a x y b x y a x y b x y x x y y '''''⋅≡∂-∂⨯==差分运算符被定义为：11;n n D n n n e a b a b ++⋅= 11,n n D n n n e a b a b --+⋅=()()11111122n n n n D D n n n n n n n conshD a b e e a b a b a b -+--+⋅=+⋅=+ 从Hirota 算子的定义我们可知关系：()()12121212,mlm l x t D D e e k k e ξξξξωω+⋅=--其中ξωμ=++=,1,2jj j j k x t n j 此外，我们很容易推导出关系：()121212,n conshD e e consh e ξξξξμμ+⋅=- （2.4）()()1212121212,,conshD ,,,x t n G D D e e G k k e ξξξξωωμμ+⋅=+-- （2.5）第3章一维周期波解和渐进性3.1一维周期波解我们假设2D-T oda 格方程的双线性形式的Riemann theta 函数解为：22,ik ik k f e τπξπ∞+=-∞=∑(3.1)其中()()11,...,k ,,...,,N N k k ξξξτ==是一个对称矩阵，且0,Im 0,1,...,i j i j p x l y m j N τξμξ>=+++=我们考虑N = 1的情况，则（3.1）变为：()(),2,,Ni k k i kk Z f e πτπξ+∈=∑(3.2)为了使上述形式可以成为一个解，p ，l ，μ可以不是独立的，我们继续找到他们的关系 将（3.2）代入（2,3）再用（2,4）-（2.5）我们可以得到：()()()()()()()()()()()()()()()22,22,m 22,,D ,exp 2exp 2,D ,exp 2exp 222,22,22exp 2ex x y n k kx y n kk km Df f G D conshD ik ik ik ik G D conshD ik ik i m k i m k G i k m p i k m l consh i k m im i k k m G m πξπτπξπτπξπτπξπτπππμπηπτ∞'=-∞∞=-∞∞'=-∞∞=-∞''⋅=+⋅+=+⋅-+-⎡⎤⎡⎤=-+--⋅++-⎣⎦⎢⎥⎣⎦=∑∑∑∑()p 20,im πη=其中引入了新的求和指数m k k '=+，()m G 被定义为：()()()()()()2222,22,22exp kG m G i k m p i k m l consh i k m i k k m πππμπτ∞=-∞⎡⎤=-+--⎣⎦⎡⎤⋅+-⎢⎥⎣⎦∑（3.3）在等式（3.3）中，令1k k '=+ ，我们可以得到：()()()()()()()()()()()()()22222,222,222exp 2exp 212exp 21...kG m G i k m p i k m l consh i k m i k k m i m G m i m πππμπτπτπτ∞=-∞⎡⎤'''=------⎣⎦⎡⎤⎡⎤''⋅+---⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--=⎣⎦∑()()()()()1+1m +20,是偶数1,是奇数im m i m G e m G em ππττ''-''⎧'⎪=⎨'⎪⎩ （3.4） 这个关系意味着如果有()()010，G G == 此时就有()0,G m m Z ''=∈通过这种方式，我们可以得出：()()()()2222220164sinh 2exp 20,G k xp yl i k c ik ππμπτ∞-∞⎡⎤=+++=⎣⎦∑（3.5）()()()()()()()()222222214214sinh 221exp 10,G k xp yl i k c i k k ππμπτ∞-∞⎡⎤=-++-+⎢⎥⎣⎦+-=∑（3,6）表示()()21exp 2,kik δπτ= ()()()()222exp 1,k i k k δπτ=+-()2211116,a k k πδ∞-∞=∑ ()121,a k δ=∑()()2114sinh2,k b i k k πμδ∞=-∞=∑()()22212421,k a k k πδ∞=-∞=-∑()222,ka k δ∞=-∞=∑ ()()()2224sinh 221,kb i k k πμδ∞=-∞=-∑那么等式（3.5） - （3.6）简化为：()22111210,a xp yl a c b +++= （3.7） ()22212220,a xp yl a c b +++=（3.8）解决系统，我们有2212221221121122b a b a xp yl a a a a -+=- （3.9）21112121121122b a b ac a a a a -=- (3.10)系数p ，l 和u 需要满足（3.8），并且比照着（3.2）和（2.2）给出单周期解。