q= 3
∑
hV
kv
= ki
kv
I k i± sin ( Υ - Υ kv ki ) +
3
kv
∑ g hV
≠k i
I k i sin [ (k v
- g k i ) Ξt + Υ - gΥ kv ki ] ( 16b )
代入式 ( 3) 和 ( 6) , 得 p = 3V 1 I 1 co s ( Υ Υ 1v li ) q = 3V 1 I 1 sin ( Υ Υ 1v 1i )
vΑ= vΒ = iΑ = iΒ = -
同样可推得瞬时实功率和瞬时虚功率分别为
p = 3
kv
∑
kv
V
kv
= ki
I k i co s ( Υ kv
- Υ + ki
3
kv
∑ gV
≠k i
kv
I k i co s[ (k v
- g k i ) Ξt + Υ - gΥ kv ki ] ( 16a )
3 V 1 sin ( Ξt + Υ 1v ) 3 V 1 co s ( Ξt + Υ 1v ) 3 I 1 sin ( Ξt + Υ 1i ) 3 I lco s ( Ξt + Υ 1i ) ( 12a ) ( 12b )
教授, 博士生导师, 主要从事电力电子技术和工业自动化领域的研究与教学工作, 发表论文约 70 篇, 专著、译著各一部。
第 13 卷第 6 期
刘进军等 瞬时无功功率与传统功率理论的统一数学描述及物理意义 7
iΑ iΒ
功率和无功功率等概念向瞬时值概念的自然扩展, 因而易于理解, 各物理量之间的关系清晰, 物理意义 明确。 为了说明问题, 文中将首先对赤木泰文等人的 三相电路瞬时无功功率理论作简单回顾, 并推导出 其在不同情况下的功率表达式。
设Α 2Β2Χ 为相互垂直的右手坐标系, 则 q 与 Χ 轴重
( 6)
=
( 7)
将其写成反变换形式并分解如下
3 赤木原文中称为瞬时实功率和瞬时虚功率, 文献 [ 3 ～ 5 ] 称之为瞬时有功功率和瞬时无功功率。另外, 赤木原文定义
q = vΒ× iΑ+ vΑ× iΒ, 故其 q 的定义式与本文式 (6) 符号相反, 作者将另文说明按本文式 (5) 和 (6) 的定义更符合普遍的
瞬时有功电流、瞬时无功电流。定义 Α相和 Β 相的瞬 时有功功率、 瞬时无功功率分别为该相瞬时电压与 瞬时有功电流、 瞬时无功电流的乘积, 并分别记为
pΑ pΑ p Βp、 p Βq。考察其与各相瞬时功率 p Α 、 p Β 的关 p、 q、
功率表达式推导
211 赤木瞬时无功功率理论的有关定义
瞬时无功功率理论的核心是赤木提出的有关瞬 时无功功率的定义 [1, 2 ]。设三相电路的瞬时电压和瞬 时电流分别为 v a、 v b、 v c 和 ia、 ib、 ic。为简明起见, 下文 中均只考虑电压和电流中不含零序分量的情况。 将 它们分别变换到两相正交的 Α 2Β 坐标系上, 可得两 相瞬时电压 v Α 、 v Β 和两相瞬时电流 iΑ 、 iΒ 如下
=
2 3
3 2 1 1 2 0 3
vc ia ib
( 2)
瞬时有功、无功电流和瞬时有功、无功功率, 得到与 式 ( 9) 类似的关系式。
2 2 如图 1 所示, 在 Α 、 v Β 和 iΑ 、 2Β 平面上, 矢量 v Α
iΒ 可分别进一步合成电压矢量 v 和电流矢量 i。实际
-
ic
上 vΑ 、 v Β 和 iΑ 、 i Β 分别是 v 和 i 在 Α轴、Β 轴上的投影。 在Α 2Β 坐标系中, 两相总的瞬时功率为 p = v ΑiΑ + v ΒiΒ 赤木将之写成点积的形式并定义为瞬时实功率 p = iΑ・v Α+ iΒ・v Β 定义瞬时虚功率矢量 q 为 q = iΑ×v Β+ iΒ×vΑ 合, 定义 q 在 Χ轴上的投影 q 为瞬时虚功率3 q = v ΒiΑ - v ΑiΒ 将式 ( 3) 和 ( 6) 写成矩阵形式
p q v Α v Β v Β 2v Α iΑ iΒ
3
( 3) ( 4)
图 1 赤木提出的在 Α 2Β2Χ坐标系中的功率定义
( 5)
这里, 瞬时实功率和瞬时虚功率与传统功率定 义中三相电路的有功功率和无功功率是什么关系, 各相的瞬时有功功率和瞬时无功功率与传统功率定 义中单相电路的有功功率和无功功率是什么关系, 瞬时虚功率与各相瞬时无功功率又是什么关系, 这 些问题在已有文献中都没有深入分析, 使得瞬时无 功功率理论的物理意义很模糊, 而且局限于 “各相的 瞬时无功功率对总的瞬时实功率没有贡献, 而是在
( 14b
21213 电压和电流均畸变或不对称时
此时电流如式 ( 13) 所示, 电压的表达式形式类 似, 如下所示
∞
此时三相电压和电流可表示如下 v a = v b = v c = ia = ib =
2 V 1 sin ( Ξt + Υ 1v ) 2Π ) 3 2Π ) 2 V 1 sin ( Ξt + Υ 1v + 3 2 V 1 sin ( Ξt + Υ 1v 2 I 1 sin ( Ξt + Υ 1i ) 2 I 1 sin ( Ξt + Υ 1i ( 10a ) ( 10b ) ( 10c) ( 11a ) ( 11b ) ( 11c)
式中, k v = k i 表示二者的次数和相序均相同, 而
h= g=
1 当电压取正序分量时 - 1 当电压取负序分量时 1 当电压和电流取相同相序时 - 1 当电压和电流取不同相序时
21212 电压为对称正弦而电流有畸变或不对称时
此时电压仍如式 ( 10) 所示, 而畸变的电流中每 个频率的分量都可能含有正序和负序成分, 可表示 如下
1 引言
近年来, 谐波和无功功率的补偿问题日益受到 重视。 在要求对变化的谐波或无功功率进行快速的 动态跟踪补偿的场合, 建立在平均值基础上的传统 功率理论已经难以适用。 80 年代初, 日本学者赤木泰 文 (H. A kagi) 等人提出了建立在瞬时值基础上的
三相电路瞬时无功功率理论 [1, 2 ] , 引起了诸多学者的 跟踪研究, 并成功地应用于实际 [3～ 5 ]。但是, 该理论 与传统功率理论的关系一直没有得到清晰透彻的分 析。 本文试图深入分析三相电路瞬时无功功率理论 与传统功率理论的关系, 建立二者的统一数学描述, 揭示瞬时无功率的物理意义。 这种分析和统一数学 描述是基于将传统功率理论中有效值、 相位差、 有功
习惯。
8
电工技术学报
∞
1998 年 12 月
各相之间相互传递”这一点。
212 各种情况下功率表达式的推导
3V
Байду номын сангаас
1
下面给出各种情况下基于瞬时无功功率理论的 具体功率表达式, 以便下文对照。
21211 电压和电流均为对称正弦时
k i2= 12 k i+ = 2+
∑
I k i sin [ (k i ± 1) Ξt + Υ ±Υ ki 1v ]
刘进军 王兆安 ( 西安交通大学)
an J iao tong U n iversity ) L iu J in jun W ang Zhaoan (X i′
摘 要 基于将传统功率理论中有效值、 相位差、 有功功率和无功功率等概念向瞬时值概念的自然扩 展, 建立了三相电路瞬时无功功率理论与传统功率理论的统一数学描述, 深入分析了二者之间的关 系, 揭示了瞬时无功功率理论的物理意义。 叙词: 无功功率 功率 理论 谐波
va = vb = vc =
2
kv
∑
= 1
V V V
kv
sin (k v Ξt + Υ kv ) sin (k v Ξt + Υ ± kv sin (k v Ξt + Υ ki
( 15a ) 2Π ) ( 15b ) 3 2Π ) ( 15c) 3
∞
2
kv
∑
= 1
kv
∞
2
kv
∑
= 1
kv
2Π ) 3 2Π ) ic = 2 I 1 sin ( Ξt + Υ 1i + 3 分别代入式 ( 1) 和 ( 2) 可得
( 1)
=
2 3
1 0
1 2
1 2 3 2 1 2 3
va vb
递。 这也正是赤木给出瞬时实功率、 瞬时虚功率及各 相瞬时无功功率、 瞬时有功功率定义的依据。 类似 地, 由式 ( 8) 以及与式 ( 2) 相对应的反变换 ( 并注 意到电流中不含零序分量) 可以定义 a、b、c 各相的
iΑ iΒ
国家自然科学基金资助项目。 199621024 收到初稿, 199827210 收到修改稿。
刘进军 男, 1970 年生, 1997 年毕业于西安交通大学电气工程学院, 获工学博士学位, 现为该校工业自动化教研室讲师,
研究方向为谐波的分析和抑制, 无功功率补偿等, 已发表论文 20 余篇。
王兆安 男, 1945 年生, 西安交通大学电气系毕业, 于日本人阪大学获博士学位, 现为西安交通大学电气工程学院院长,
vΑ vΒ
系, 可得 [1, 2 ] p Α = p Αp + p Αq p Β = p Βp + p Βq p Αp + p Βp = p p Αq + p Β q = 0
( 9a ) ( 9b ) ( 9c) ( 9d )
可见各相的瞬时无功功率对总的瞬时功率 ( 瞬 时实功率) 没有任何贡献, 而是在各相之间相互传
=
v Α v Β v Β 2v Α v Α v Β