x2 y2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 − 2 = 1与三角恒等式 2 a b 2 2
的实质是三角代换. 的实质是三角代换
sec ϕ = 1 + tan ϕ 相比较而得到，所以双曲线的参数方程 相比较而得到，
x2 y2 如 例2、 图 ， 设 M 为 双 曲 线 a 2 − b 2 = 1( a > 0 , b > 0 )任 意 一 点 ， O为 原 点 ， 、 过 点 M 作 双 曲 线 两 渐 近 线 的 平 行 线 ， 分 别 与 两 渐 近 线 交 于 A， B 两 点 。 探 求 平 行 四 边 形 MAOB的 面 积 ， 由 此 可 以 发 现 什 么 结 论 ？
垂直高度为y，所以
o
x
x = 100t , （g=9.8m/s2 ) 1 2 y = 500 − 2 gt .
y M(x,y)
α
o x
设抛物线的普通方程为y = 2 px...........(5)
2
因为点M在α的终边上，根据三角函数的 y 定义可得 = tan α ..................................(6) x 2p x= tan 2 α (α为参数) 由(5), (6)解出x, y，得到{ 2p y= tan α 这就是抛物线(5)(不包括顶点)的参数方程
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
2 2
y
B O
φ
A
M N
x
是半径OA的旋转角；是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ. 的旋转角； 不是∠ 是半径 不是
y
圆的标准方程: 圆的标准方程: x2+y2=r2 x = r cos θ ) 圆的参数方程: 圆的参数方程: y = r sinθ (θ为参数 θ的几何意义是 ∠XOP=θ 的几何意义是:
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成： 物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
y 500
思考： 思考： 作初速为100m/x的匀速直线运动； 的匀速直线运动； （1）沿ox作初速为 ） 作初速为 的匀速直线运动 对于一般的抛物线， 对于一般的抛物线 反方向作自由落体运动。 （2）沿oy反方向作自由落体运动，怎样 ） 反方向作自由落体运动。 建立相应的参数方程呢？ 建立相应的参数方程呢？ 解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
y A
B O N M
即为点 的轨迹参数方程 参数方程. 即为点M的轨迹参数方程. x2 y2 消去参数得: 即为点 的轨迹普通方程. 普通方程 消去参数得: 2 + 2 = 1, 即为点M的轨迹普通方程. a b
x = a cos Φ 由已知: 由已知 (Φ为 数 参 ) y = bsin Φ
二、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M ( x , y )
a
y A o B b
ϕ
B'
•M
A' x
在 ∆ OAA '中 ， x =
| OA | b | OA ' |= = = cos ϕ cos ϕ
b • sec ϕ ,
在∆OBB '中，y = | BB ' |=| OB | • tan ϕ = b • tan ϕ .
x
数方程. 数方程 2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分 在椭圆的参数方程中，常数 分 在椭圆的参数方程中 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b 别是椭圆的长半轴长和短半轴长.
x = a cos ϕ 1 .参数方程 y = b sin ϕ 是椭圆的参 参数方程
说 明：
ϕ 的取值范围是
另外, ϕ 称为离心角 规定参数 另外 称为离心角 离心角,规定参数
抛物线的参数方程
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
P θ
O
x
巩固练习
【练习1】把下列普通方程化为参数方程 练习 】把下列普通方程化为参数方程. 2 2 2 x y y 2 + = 1 (2) x + =1 (1) 4 9 16 (1) x = 2 c o s θ ( 2 ) x = c o s θ y = 3 s in θ y = 4 s in θ
M
解：由已知可设
x = 1 + 4 cos θ (θ y = −2 + 3 sin θ
为参数），则 为参数），则 ），
x − y = (1 + 4 cos θ ) − (−2 + 3 sin θ ) = 3 + (4 cos θ + 3 sin θ ) 4 3 = 3 + 5( cos θ − sin θ ) = 3 + 5 cos(θ + α ) 5 3
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。
解：双曲线的渐近线方程为：y = ± b x.
参数方程的应用(3) 4.4.3 参数方程的应用(3) -----抛物线的参数方程 -----抛物线的参数方程
引入: 如图,一架救援飞机在离灾区地面 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 引入 如图 一架救援飞机在离灾区地面 高处以 100m/s的速度作水平直线飞行 为使投放救援物资准确 的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确 的速度作水平直线飞行 落于灾区指定的地面(不记空气阻力 不记空气阻力),飞行员应如何确定 落于灾区指定的地面 不记空气阻力 飞行员应如何确定 投放时机呢？ 投放时机呢？
{
{
把下列参数方程化为普通方程 x = 3 cos ϕ x = 8 cos ϕ (3) (4) y = 1 0 s i n ϕ(ϕ为参数） y = 5 s in ϕ
(θ为参数）
(3)
x 9
2
+
y2 25
= 1 (4)
x 64
2
+
y2 100
=1
二、知识应用
x y + = 1 上求一点 ，使M到直线 上求一点M， 例1.在椭圆 在椭圆 到直线 9 4 x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离 的距离最小， 的距离最小
设中点M 设中点 (x, y)
C. 直线 D. 线段 x=2sinθ-2cosθ y=3cosθ+3sinθ M
x y + = L= 2 4 9
2
2
( x − 1) 2 ( y + 2) 2 思考：实数x 试求x 思考：实数x、y满足 + = 1 ，试求x-y 16 9
的最大值与最小值，并指出何时取最大值与最小值 的最大值与最小值，并指出何时取最大值与最小值
所以, 矩形 ABCD 最大面积为160
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
x2 y2 1、动点 、动点P(x,y)在曲线 在曲线 的最 + =1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
练习2 练习
6 最大值 2,最小值− 6 2.
2、θ取一切实数时，连接 、 取一切实数时 连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ, 取一切实数时， 和 6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 A. 圆 B. 椭圆 B .
1 如果令t = , t ∈ (−∞,0) U (0,+∞), 则有 tan α 2 思考：参数t的几何意义是什么 的几何意义是什么？ 思考：参数 的几何意义是什么？ x = 2 pt { (t为参数) y = 2 pt 当t = 0时，由参数方程表示的点正好就是抛物线 的顶点(0,0)因此当t ∈ (−∞,+∞)时，参数方程就表 示抛物线。参数t表示抛物线上除顶点外的任意 一点与原点连线的斜率的倒数。
2 2
（见课本P28） 见课本 ）
x2 y2 + = 1有一内接矩形 有一内接矩形ABCD， 例2、已知椭圆 、 ， 100 64
求矩形ABCD的最大面积。 的最大面积。 求矩形 的最大面积
Y y D
B2
解 : 设A (10 cos α ,8sin α )
AD = 20 cos α , AB = 16 sin α A1 S = 20 × 16 sin α cos α = 160 sin 2α
a y 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asecϕ ,btanϕ）, b A 则直线MA的方程为：y − b tan ϕ = − ( x − a sec ϕ ). ① M x a b 将y= x代入①，解得点A的横坐标为 O a a B xA = （secϕ + tanϕ）. 2 a 同理可得，点B的横坐标为xB = （secϕ − tanϕ）. 2 b 设∠AOx=α ,则tanα = . a xA x • B sin2α • 所以MAOB的面积为 S MAOB =|OA||OB|sin2α = cosα cosα a 2(sec2ϕ -tan 2ϕ ) a2 a 2 b ab = • sin2α = • tan α = • = . 2 4cos α 2 2 a 2
2 2
y a A B' o B
ϕ
•M
A' x
说明： 说明：
3π 通 规 ϕ ∈[o,2π)且ϕ ≠ ， ≠ 。 常 定 ϕ 2 2
x = a sec ϕ (ϕ为参数) y = b tan ϕ
π
b
⑴ 这里参数
ϕ 叫做双曲线的离心角与直线 的倾斜角不同 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同 的倾斜角不同.
B O N
y A
Mxຫໍສະໝຸດ 如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径 如下图，以原点为圆心，分别以a 作两个圆， 是大圆半径OA与小圆的交点，过点A OA与小圆的交点 作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作 AN⊥OX，垂足为N 过点B BM⊥AN，垂足为M AN⊥OX，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径 OA绕点 旋转时点M的轨迹参数方程. 绕点O OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 解： 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A: (acosφ, a sinφ), B: (bcosφ, bsinφ),