低维带参非线性狄拉克方程 本文介绍了如何用由雅可比椭圆函数法演变而来的F展开法处理非线性狄拉克方程。量子场论如今作为描述微观现象的基本物理学理论已经广泛地应用于近代物理的各个分支，并且粒子物理学的发展不断为场论的研究引进新的问题，诸如对称自发破缺场论、复合粒子场论、真空理论和非阿贝尔规范场论等相互联系着的新发展理论。其中通过对Thirring模型的参数化非线性的研究中得到了一维非线性狄拉克方程。利用F-展开法的一般思想，来处理非线性狄拉克方程，然后查询所得到的F函数与雅可比椭圆方程系数之间的关系表，最终解出方程的精确解。通过分析得到的结果，发现Thirring模型下的带参低维非线性狄拉克方程的解具有亮孤子的特点。同时研究表明F-展开法在处理广义非线性狄拉克方程时依旧具有着突出的简洁性和实用性。

关键词：非线性；狄拉克；F-展开法 Abstract In this paper, we will introduce how to use F-expansion which derives from Jacobi elliptic function to deal with low-dimensional nonlinear Dirac equation with parameters. The quantum field theory as a basic physics theory describes the microscopic phenomena has been widely applied in various branches of modern physics and the development of particle physics has been introducing many new subjects.

Through the research of parametric nonlinear Thirring model, we can get the one –dimensional nonlinear Dirac equation.by using the F-expansion method, to deal with the nonlinear Dirac equation, and by querying the relationship between the F-function and Jacobi elliptic equation coefficient, we will finally get the exact solution of the equation. Through the analysis of the result obtained, we found the solution with parameter of low dimensional nonlinear Dirac equation under the Thirring model has the characteristics of bright solation. At the same time, studies show that the F- method in the treatment of generalized nonlinear Dirac equation still has outstanding simplicity and practicality.

Key word: Nonlinear; Dirac; F-expansion; 目录 Abstract ......................................................................................... II 第一章 绪论 ...................................................................................... 1 1.1 量子力学的起源与发展 ................................................................................. 1 1.1.1 克莱因-高登方程 .................................................................................. 1 1.1.2 狄拉克方程的提出 ............................................................................... 2 1.2 非线性量子力学 ............................................................................................. 3 1.2.1 近代非线性量子力学的概述 ............................................................... 4 1.2.2 非线性方程一般解法 ........................................................................... 5

第二章 非线性狄拉克方程的F-展开法求解过程 ......................... 1 2.1 Thirring 模型与F展开法的概述 ................................................................. 1 2.1.1 Thirring模型定义 ................................................................................. 1 2.1.2 F-展开法一般求解过程 ...................................................................... 2 2.2非线性狄拉克方程形式 .................................................................................. 3 2.2.1 非线性狄拉克方程求解概述 ............................................................... 4 2.2.2 简化与讨论 ........................................................................................... 6

结 论 .............................................................................................. 8

参 考 文 献 ................................................................................ 9 1

第一章 绪论 1.1 量子力学的起源与发展 20世纪初期，从普朗克成功的解决黑体辐射中的紫外灾难[1]问题引出的微观粒子能量量子化概念到波尔为解释原子的光谱线系而提出的原子结构的量子论，虽然使当时物理学中光电效应、固体在低温下的比热等重大疑难问题的解决。但该理论始终未能表现出电磁场的粒子性，同时该理论也不能兼容光子，更不能描述光子的湮灭和产生。因此，此时所创立的量子理论依旧是不完善的。这些理论上的瑕疵极大的促进了当时理论物理的蓬勃发展，而量子力学就是在解决这些问题中逐步建立起来的，其中量子力学的最基本理论假设为以下五条。 (1)微观体系的状态由波函数描述，并且该波函数可以归一化。 (2)描述体系含时演变的波函数满足薛定谔方程的约束。 (3)经典的力学量由相应的量子线性算符表示。 (4)量子力学中的力学量算符之间有确定的对易关系，即量子条件；坐标算符与动量算符中的在直角坐标系下的分量的对易关系称为基本量子条件； (5)全同多粒子体系的中交换任意一对粒子描述体系的波函数对于具有一定的对称性：玻色子系统的波函数是交换对称的，费米子系统的波函数是交换反对称的。 根据以上假设，经过严格的数学推导和实验验证逐步建立起了近代量子力学的基本框架，到目前为止量子力学中的理论预言尚未被证明是错误的。量子力学的创立与相对论并列为20世纪最伟大的物理学成就。

1.1.1 克莱因-高登方程 在作为量子力学的基石的 5个理论假设中，第四个假设导出的含时演变的薛定谔方程与狭义相对论的要求明显不兼容。量子力学中的哈密顿算符是由经典物理体系中非相对论力学的运动方程一阶低能近似得到的。这便导致了非相对论性下的薛定谔方程在高能领域中，无法对由粒子的产生与湮灭导致的粒子数不完全守恒的体系给出正确地描述。为了解决非相对论性矛盾，1926年，克莱因(O.Klein)和高登(W.Gordon)仿照单粒子的薛定谔方程，利用相对性原理得到了第一个相对论性波动方程错误！未找到引用源。即Klein-Gordon方程。但K-G方程自身依然具有许多问题。 (1)ψ*ψ*不是正定的，无法解释为粒子的位置概率； (2)总能量有负的本征值，而且没有下限，这将造成严重的困难，因为在量子力学理论中存在自发跃迁，因而这个方程的所有定态解将不断自发跃迁到错误！未找到引用源。的能级。 (3)同时方程是一个对时间的二阶方程，解此方程时除了需要起始时刻的错误！未找到引用源。外还需要错误！未找到引用源。作为初始条件； (4)由K-G方程计算氢原子能级所得到的结果与实验符合得不好； (5)这一方程除错误！未找到引用源。的自由形式之外，无法纳入量子力学的已有体系之中。 然而又不能简单地否定这个方程，因为 (1)这一方程的非相对论极限正是薛定谔方程； (2)由克莱因-高登得出的空间概率密度错误！未找到引用源。与非相对论薛定谔方程得出的结果十分相似.[2] 上述分析表明，克莱因-高登方程既然是符合相对论的要求，上述的问题很可能不是有K-G方程导致的，而是由错误的波函数引起的。

1.1.2 狄拉克方程的提出 狄拉克认真的分析了上述的情况，他试图通过寻找相对论运动方程的另一个形式，该方程为时间的一阶方程，同时作为该方程解的波函数依旧满足克莱因高登方程。 于是狄拉克设想自由电子的运动方程满足下列形式的相对论方程： 错误！未找到引用源。 (1.1) 其中错误！未找到引用源。为算符性质与泡利算符类似。在狄拉克方程提出不久之后，泡利用这个方程成功解出了氢原子的能级，并且得到的结果与当时的实验