=
−ic
α· ∇Ψ + mc2βΨ + V (r, t) Ψ
,
−i
∂Ψ† ∂t
=
ic
∇Ψ† · α† + mc2Ψ†β† + V (r, t) Ψ†
,
用Ψ† 左乘第一式， 用Ψ右乘第二式则：
i
Ψ†
∂Ψ ∂+ mc2βΨ + V (r, t) Ψ
,
−i
∂Ψ† ∂t
ψ
=
ic ∇Ψ† · α† + mc2Ψ†β† + V (r, t) Ψ†
0 σi σi 0
,β=
I0 0 −I
(1) ；而
2 狄拉克方程的连续性方程
定理：狄拉克方程对应的连续性方程为：
∂ρ
+ ∇ · J = 0.
(2)
∂t
其中ρ = Ψ†Ψ 称为概率密度，而J = cΨ†αΨ称为概率流密度，其定义同保
守势的情况。
证明：从狄拉克方程（??）和它的共轭形式出发则：
i
∂Ψ ∂t
Ψ.
上面两个方程相减则：
i
Ψ†
∂Ψ ∂t
+
Ψ
∂Ψ† ∂t
= −ic
Ψ† α· ∇Ψ + ∇Ψ† · α†Ψ +mc2 ψ†βΨ − Ψ†β†Ψ ,
利用结果α† = α, β† = β
∂ ∂t
Ψ†Ψ
=
Ψ†
∂Ψ ∂t
+
Ψ
∂Ψ† ∂t
∇ · Ψ†αΨ = Ψ† α· ∇Ψ + ∇Ψ† · αΨ 则：
1
i
2
保守势的狄拉克方程
Guoyuan Lu April 10, 2020
1 狄拉克方程
假设：高速运动的电子的波函数的演化满足狄拉克方程：
i
∂Ψ =
cα · p + βmc2 + V (r, t)
Ψ.
∂t
其中α 和 β 是 4 × 4 矩阵，具体为 αi = Ψ在狄拉克-泡利表象中是 4 × 1 的矩阵。
∂ ∂t
Ψ†Ψ
= −ic ∇ ·
Ψ†αΨ
.
现在定义概率密度ρ和概率流密度J ：
J = cΨ†αΨ
ρ = Ψ†Ψ 则得到：
∂ρ ∂t
+
∇
·
J
=
0.证毕。
注意：这里定理的概率密度是非负的，因为Ψ=[a, b, c, d]T , Ψ†=[a∗, b∗, c∗, d∗]则ρ=Ψ†Ψ=a∗a+b∗b+c∗c+