X ~ N ( ,
2
n
)
第三章
抽样分布与参数估计
• 例：某高校在研究生入学体检后对所有结果进 行统计分析，得出其中某一项指标的均值是7， 标准差2.2。从这个总体中随机选取一个容量 为31的样本。 • （1）计算样本均值大于7.5的概率， • （2）计算样本均值小于7.2的概率， • （3）计算样本均值在7.2和7.5之间的概率。
10 5
8
7 10
{8,10} 9 {7,10} 8.5 {10,10} 10
{8,5} 6.5 {7,5} 6 {10,5} 7.5
{8,8} 8 {7,8} 7.5 {10,8} 9
{8,7} 7.5 {7,7} 7 {10,7} 8.5
{8,10} 9 {7,10} 8.5 {10,10} 10
第三章
抽样分布与参数估计
x
的分
• 样本容量大于30，由中心极限定理可知，样本均值 布近似均值为
2.2 7, 标准差 X＝ ＝ ＝0.39的正态分布 n 31
即

X ~ N (7,0.39 )
2
第三章
• （1）
抽样分布与参数估计
X 7 7.5 7 X 7 ) P( 1.28) 0.1 0.39 0.39 0.39
第三章
抽样分布与参数估计
第三章
抽样分布与参数估计
第三章
抽样分布与参数估计
总体分布与样本抽样分布的关系
第三章
抽样分布与参数估计
第三章
抽样分布与参数估计
第三章
抽样分布与参数估计
第三章
抽样分布与参数估计
样本均值的抽样分布
• 一个总体10，5，8，7，10 ，
直方图 3 2 1 0 5 7 9 11 其他 接收 150.00% 100.00% 50.00% 0.00%
总体庞大,难以对总 体的全部元素进行 研究
抽 样 原 因
检查具有破坏性
炮弹、灯管、砖等
第三章
抽样分布与参数估计
统计学基本概念
• 总体 (全体) Population • 所有感兴趣的对象 • 样本Sample • 总体的一部分 • 总体参数Parameter • 关于总体的概括性度量 • 统计量Statistic • 关于样本的概括性度量 • 抽样 • 从所研究的对象中随机取出一部分进行观察，由此获 得有关总体的信息。
P( X 7.5) P(
X 7 7.2 7 X 7 • （2） P( X 7.2) P( 0.39 0.39 ) P( 0.39 0.51) 0.69
• （3）
P(7.2 X 7.5) P( 7.2 7 X 7 7.5 7 ) P(0.51 Z 1.28) 0.21 0.39 0.39 0.39
样本方差
从100个样本中推断总体的净重均值为343.76g，方差为17.053
描述统计模块
• Analyze→Descriptive Statistics→Descriptives→Options
均值 标准差 方差
N 净重 100 100 Descriptive Statistics
Mean 343.76
• 样本统计量是一个随机分布量。
第三章
• • • •
抽样分布与参数估计
设由四个同学组成的总体， 样本总体N＝4。 随机变量X表示某个学生的年龄 X的所在取值为18，20，22，24。 21 2.236
• 总体均值和总体方差各为多少？
• 总体概率分布？
第三章
抽样分布与参数估计
• 所有样本容量为2的样本
设置指定的百分点
最小值 标准差 方差 最大值与最小值之差 最大值 均值标准差 数据分布的斜度 数据分布的峰度
频次分析模块（续）
Statistics 净 重 N 样本均值 Mean Std. Deviation Variance Valid Missing 100 0 343.76 4.130 17.053
n
1 ln L 2 ( xi ) 0 i1 n 1 n 2 ln L ( x ) 0 i 2 2 2 2 2( ) 2( ) i1 ( )
1 n ˆ mle xi x n i 1 n 2 mle 1 ( x x ) 2 i n i 1
抽样分布与参数估计
正态分布 总体分布
指数分布
均匀分布
样本均值 分布(n=2)
样本均值 分布(n=10)
样本均值 分布(n=30)
第三章 抽样分布与参数估计 中心极限定理的作用
• 建立起 Z 值与样本均值之间的数值关系. • 不论该总体服从何种分布，只要当样本容量足够大 （ n 30 ），样本均值的分布都大致服从正态分布。
3.2.2 点估计的优良性标准
• 无偏性
ˆ) ˆ ，如果E ( – 设总体的参数为 ，其估计量为 ˆ 的数学期望等于被估计的总体参数， 即估计量 ˆ 我们称估计量 是参数 的无偏估计量 – 样本平均数是总体平均数的无偏估计量 – 无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求
点估计的优良标准（续）
矩估计法
• 借助样本矩去估计总体的矩
– 用样本的一阶原点矩来估计总体的均值 – 用样本的二阶中心矩来估计总体的方差
例3.1 矩法估计例题
X 1 , X 2 ,, X n 为总体的样本， • 设总体 X ~ N , 2 ， 求， 的矩法估计量。 2
– 解：
ˆ 2矩
ˆ矩 X
• 一致性
ˆ( X ,..., X ) 是参数 估计量，若对于任意的 ， –设 1 n ˆ( X ,..., X ) 依概率收敛于 ，则称 ˆ 为 当 n 时 1 n 的一致估计量 ˆ | ) 0 – 对任意 0 有，lim P(| n
频率 累积 %
频率
第三章
抽样分布与参数估计
• 有放回（with replacement）抽样
{X i , X j }
X
10 {10,10} 10 {5,10} 7.5
5 {10,5 } 7.5 {5,5} 5
8 {10,8} 9 {5,8} 6.5
7 {10,7} 8.5 {5,7} 6
10 {10,10} 10 {5,10} 7.5
第三章
抽样分布
抽样分布与参数估计
• 从一个总体中随机抽出容量相同的各种样本，从这些 样本计算出的某统计量所有可能值的概率分布，称为 这个统计量的抽样分布。 • 从一个给定的总体中抽取（不论是否有放回）容量 （或大小）为n的所有可能的样本，对于每一个样本， 计算出某个统计量（如样本均值或标准差）的值，不 同的样本得到的该统计量的值是不一样的，由此得到 这个统计量的分布，称之为抽样分布。
– 解：
10 1 ˆ ) x x 1147(h) E( X i 10 i 1
ˆ ) 2 7578.889 D( X
极大似然估计法
• 求极大似然估计的一般步骤
– – – – 写出似然函数 对似然函数取对数，并整理 求导数 解似然方程
例3.4 极大似然估计例题
2 • 设总体X服从N(， )，是X 的样本值，求， 2 的极大似然估计
n
• 有效性
ˆ ˆ ( X ,..., X )都是参数的无偏 ˆ ˆ ( X ,..., X )和 –设 2 2 1 n 1 1 1 n ˆ ) D( ˆ ) ，且至少对于 估计量，若对任意 ， D( 1 2 ˆ 较 ˆ 有效 某个 上式中的不等号成立，则称 1 2
– 解： L( x1 , x2 ,, xn ; , 2 )
n
，
i 1
1 e 2

( xi ) 2 2 2

1 (2 ) ( )
n 2 n 2 2

e

i 1
n
( xi ) 2 2 2
• 似然方程为：
n
( xi )2 n n 2 ln L ln( 2 ) ln( ) 2 i 1 2 2 2
第三章
抽样分布与参数估计
• 例：在北京一居室的房租平均为每月1500元， 房租的分布并不服从正态分布，随机抽取容量 为50的样本，样本的标准差是200元，请问样 本均值至少为1600元的概率是多少？
第三章
抽样分布与参数估计
第三章
抽样分布与参数估计
第三章
抽样分布与参数估计
第三章
抽样分布与参数估计
N1 P N
第三章
抽样分布与参数估计
• 样本平均数
• 样本方差 • 样本标准差
x
X
i 1
n
i
2 ( X x ) i i 1 n
n
s2
s
n 1
• 样本比率（样本成数）
n1 p n
第三章
抽样分布与参数估计
• 样本统计量经常被用作估计总体参数。 • 点估计就是运用样本数据值计算出一个样本统计量的 值，将其作为总体参数的估计值。 • 如用 x 50 去估计 • 问题是不同的样本提供不同的估计值 • 样本越大，估计的性质越好，但成本也越高 • 了解估计的性质有多好 • 解决办法：以样本的抽样分布作为理论基础。
第三章
抽样分布与参数估计
第三章
抽样分布与参数估计
• 例：已知某高校女生比例为46%，现对全体学 生做两次随机抽样， n=200和n=1000 ，求这 两次抽样中女生的比例在50%以上的概率。
第三章
抽样分布与参数估计
3.2 点估计
第三章
抽样分布与参数估计