2、平稳随机过程的数学建模方法-时间序列分析法
平稳随机时间序列线性模型的结构形式 （2）滑动平均模型-MA模型 滑动平均模型用MA（q）表示，q代表模型的阶数。该模型把 任一时刻的观测值表示成过去q个时刻的 白噪声的加权叠加：
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§9.2 陀螺随机漂移数据的统计检验和数学建模
2、平稳随机过程的数学建模方法-时间序列分析法
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现代导航测试技术
第九章 陀螺仪随机漂移的分析与处理
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第九章 陀螺仪随机漂移的分析与处理
§9.1 描述陀螺仪随机漂移的特征函数 §9.2 陀螺随机漂移数据的统计检验和 数学建模
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§9.1 描述陀螺仪随机漂移的特征函数
1、概述
陀螺漂移率包含系统性的和随机性的两种分量。 对于系统性的漂移，如线运动和角运动条件下的漂移率， 只要建立的数学模型足够精确，通过漂移补偿计算，便可 消除系统性漂移率对惯导系统的影响。 随机性的漂移率，由于其随时间变化的随机特性，因而在 惯导系统中不能用简单的方法补偿。
1、概述
陀螺漂移随机过程可以用下列统计函数来描述： 概率分布函数或概率密度函数；提供随机过程各种取值的概率特 性，可以给陀螺随机漂移以完整的描述。 均值函数和方差函数；提供随机过程幅值方面的基本信息，从幅 域来描述陀螺随机漂移的统计特性。 自相关函数和自协方差函数；反映随机过程两个不同时刻之间的 相关程度，从时域来描述陀螺随机漂移统计特性。 自功率谱密度函数；反映随机过程的平均功率按频率分布的密 度，从频域来描述陀螺随机漂移统计特性。
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§9.1 描述陀螺仪随机漂移的特征函数
1、概述
陀螺随机漂移是一个随机变 量，而这个随机变量是时间 的函数，因而是个随机过程。 在陀螺漂移测试中，每进行 一次实验，得到1条试验曲 线，即得到一个1个样本函 数，它表明陀螺漂移在这一 次试验中随着时间变化情况。 在条件相同的情况下重复多 次试验，可以得到一族试验 曲线即一族样本函数。
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第九章 陀螺仪随机漂移的分析与处理
§9.2 陀螺随机漂移数据的统计检验和 数学建模
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§9.2 陀螺随机漂移数据的统计检验和数学建模
1、陀螺随机漂移数据的统计检验
在获得陀螺漂移随机过程的采样值后，判断这个随机过程是 否为平稳随机过程，则需要对样本数据进行统计检验。这些 检验是分析陀螺随机漂移特性的重要前提，也是建立陀螺随 机漂移误差模型的重要前提。 平稳性检验 正态性检验 周期性检验
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§9.2 陀螺随机漂移数据的统计检验和数学建模
1、陀螺随机漂移数据的统计检验
（1）平稳性检验 平稳性检验是陀螺随机漂移数据检验的首要问题，用来检验 漂移数据序列是否具有不随时间推移而变化的统计特性。 有参数检验法和非参数检验法。前者在检验中计算起来很麻 烦，通常使用后者。 非参数检验法是在未知子样参数抽样分布情况下的检验方法。 其中最常用的是轮次检验法。以轮次数来度量漂移数据序列 和平稳随机序列之间的差异，以检验平稳性假设是否成立。
（3）周期性检验 自相关函数图形 随机量的图形在时间间 隔增大时，总是一条衰 减的曲线； 周期量的图形不管时间 间隔怎样增大，总是一 条不衰减的震荡曲线。
随机量中含有周期量的 自相关函数图形
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§9.2 陀螺随机漂移数据的统计检验和数学建模
1、陀螺随机漂移数据的统计检验
（3）周期性检验 功率谱密度图形 功率谱密度曲线中含有明显的 尖峰，并且尖峰处所对应的横 坐标（频率）就是周期量的频 率。 利用功率谱密度图形进行周期 性检验时，样本应该足够长， 否则功率谱密度估计误差会较 大，有可能掩盖尖峰。
平稳随机过程的特征函数不随时间推移而变化，或者说与时间起 点的选取无关。其均值E和方差D都是常数。即：
其自相关函数R和自协方差函数Cov不再是选定时刻t1、t2的函 数，只是时间间隔τ的单变量函数：
如果τ=0
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§9.1 描述陀螺仪随机漂移的特征函数
2、描述陀螺随机漂移的特征函数
工程中遇到的平稳随机过程，不受到显著的因素影响时，一 般所有样本都具有相同的统计特性。 平稳正态随机过程则是其中的典型代表，可以用1个样本函 数在整个时间轴上的平均来代替。由于随机过程的试验记录 通常是在有限的时间区间上给出，所以只能得到特征函数的 估计式。 根据随机过程的1个样本函数的采样值，设采样周期为Δt， 样本容量即数据个数为N，则计算的各特征函数估计式如下：
自相关系数曲线
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§9.1 描述陀螺仪随机漂移的特征函数
2、描述陀螺随机漂移的特征函数
上述是描述陀螺随机漂移过程的几个重要的统计特征函数。 均值反映了随机过程在各时刻取值的分布中心； 方差反映了随机过程在各个时刻的取值相对于均值的离散 程度； 自相关函数、自协方差函数或自相关系数反映了随机过程 两个不同时刻取值之间的相关程度。
具体检验方法参见相关参考书。 23

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拟合优度检验法，它是
分布的统计量，来度量实际概率密度函数
Байду номын сангаас
与正态概率密度函数之间的差异，以检验正态性假设是否成
§9.2 陀螺随机漂移数据的统计检验和数学建模
1、陀螺随机漂移数据的统计检验
（3）周期性检验 周期性检验是用来识别陀螺随机漂移数据中是否包含有随机 量以外的周期性分量。 周期性检验的方法是直接考察从漂移数据中得到的概率密度 函数、或自相关函数、或功率谱密度的图形。
现代导航测试技术
Measuring and Testing Technique for Modern Navigation System
主讲：赖际舟 副教授
南京航空航天大学导航研究中心
办公电话：025-84892304-807 手机：13851475429 导航研究中心网页： Email：Laijz@
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§9.1 描述陀螺仪随机漂移的特征函数
2、描述陀螺随机漂移的特征函数
为了建立陀螺漂移随机过程的频率结构，还需要引入一个 特征函数-功率谱密度。 平稳随机过程功率谱密度的定义为：
以上是双边功率谱密度，对角频率ω的正、负值都是有定 义。在工程应用中，通常根据S（ω）的偶函数性质，把负 频率范围内的功率谱密度折算到正频率范围内而成为单边 功率谱密度G（ω）
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§9.1 描述陀螺仪随机漂移的特征函数
2、描述陀螺随机漂移的特征函数
均值：
方差： 自相关函数：
自协方差函数：
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§9.1 描述陀螺仪随机漂移的特征函数
2、描述陀螺随机漂移的特征函数
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§9.1 描述陀螺仪随机漂移的特征函数
2、描述陀螺随机漂移的特征函数
自相关函数和自协方差函 数是有量纲的特征函数， 使用起来不方便，因此引 入无量纲的表示相关程度 大小的特征函数-自相关 系数。
平稳随机时间序列线性模型的结构形式 （3）自回归滑动平均模型-ARMA模型 自回归滑动平均模型用ARMA（p，q）表示，p、q代表模型 的阶数。该模型是上面两种模型的混合：
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§9.2 陀螺随机漂移数据的统计检验和数学建模
3、建立陀螺随机漂移数学模型的步骤
对陀螺漂移测试所得样本数据序列进行统计检验（平稳性检 验、周期性检验、对残差序列进行正态性检验）； 如果残差序列是平稳时间序列，可以利用时间序列法进行误 差建模。首先确定模型类别和阶数，然后进行模型适用性检 验。从而得到陀螺随机漂移的具体表达式。 如果残差序列仍然是非平稳，应该进行差分处理，使之成为 平稳时间序列，然后再用时间序列分析法进行建模。
进入正常工作阶段，表内达到热平衡，温度和温度梯度基本保持 稳定，造成过程随机性变化的内部、外部因素基本不随时间变化 而变化，这个阶段陀螺的漂移随机过程一般是平稳或缓变非平稳。 通常都是取仪表正常工作阶段的测试数据对陀螺随机漂移进行统 计分析。 9
§9.1 描述陀螺仪随机漂移的特征函数
2、描述陀螺随机漂移的特征函数
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§9.1 描述陀螺仪随机漂移的特征函数
2、描述陀螺随机漂移的特征函数
上述描述随机过程统计特性的数字估计式，只有对平稳正态 随机过程才是适用的。如果随机漂移数据序列是含有确定性 趋势项非平稳随机时间序列，则需要在进行平稳化处理后， 才能应用上式进行估计。 另外，对于二自由度陀螺而 言，还涉及互相关函数和互功 率谱密度。这一点是与单自由 度陀螺仪是不同的。 单边功率谱密度曲线
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§9.2 陀螺随机漂移数据的统计检验和数学建模
2、平稳随机过程的数学建模方法-时间序列分析法
平稳随机时间序列线性模型的结构形式 （1）自回归-AR模型 自回归模型用AR（p）表示，p代表模型的阶数。该模型把任 一时刻的观测值表示成过去p个时刻观测值的线性回归组合：
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§9.2 陀螺随机漂移数据的统计检验和数学建模
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第九章 陀螺仪随机漂移的分析与处理 结 束
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§9.2 陀螺随机漂移数据的统计检验和数学建模
1、陀螺随机漂移数据的统计检验
（1）平稳性检验
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§9.2 陀螺随机漂移数据的统计检验和数学建模
1、陀螺随机漂移数据的统计检验
（2）正态性检验 正态性检验是用来判断陀螺随机漂移数据是否具有正态特性。 如果漂移数据符合平稳假设，又符合正态性假设，则该随机 过程必定是平稳随机过程。 正态性假设在工程中最常用的是 用一个近似于 立。
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§9.1 描述陀螺仪随机漂移的特征函数
1、概述
陀螺随机漂移的统计特性虽然可以用概率分布函数或概率密度函 数来全面加以描述，但在实际工作中要确定这些统计函数并加以 分析，其工作量是很大的。 因此，通常采用统计特征函数来进行描述。这些特征函数包括： 均值、方差 自相关函数 功率谱密度
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