结合上述分析，对于前述步骤（２）中终端时间固 定型无约束最优控制问题，本文将其转化为非线性规
划问题，然后借助于拟牛顿法和四阶ＡｄＩ蛐预测一校
正积分格式快速求解。为保证优化精度，转化方法采 用计算量稍大但精度较高的直接离散化方法。 ２．１．１模型直接离散化
直接离散化方法将整个最优控制过程分成若干 个时间段，时间段之间的端点称为节点；选择节点处 的控制变量作为未知参数，通过插值得到整个最优 控制过程的控制变量；根据这些控制变量积分状态 方程形成目标函数，得到一个无约束数学规划问题。 具体如下¨¨：
其中｝：采用（８）式计算；口为加速因子（口＞１），是
考虑接近最优时间ｔ；时，能量ｅ，衰减速率逐渐降 低，采用（１３）式得出的修正量＆，偏小。
需说明的是，前述推导都假设‘，＜‘；，但假如 某次逼近后发生ｆｒ＞ｔｊ，从后面结果（表１）可以看 出，由（１３）式计算出的＆，＜０，即该逼近方法仍能
够使￡，返回到ｆ；。
月球最优软着陆问题是一类终端时间自由型最 优控制问题，其求解方法分为间接法和直接法…。 文献［２］基于间接法和一种初值猜测技术，得到了理 论最优解；文献［３—５］基于直接法，将控制量和终端 时间均作为优化变量，借助于遗传算法寻优，得到了 较好结果；文献［６］通过引入中间积分变量——能量 代替原状态方程中的时间变量，将原问题转化为一 个终端时间固定的最优控制问题，然后采用伪光谱 法求解，计算量小，但优化效果偏差，优化出的最优 轨道与文献［２—５］相差较大。其主要原因是着陆过 程的能量并非均匀变化，在着陆点附近，能量变化率 趋于为零，以能量为积分变量的数值误差较大。
ＢＦＧｓ算法的基本思想是在屯＋。处按以下方法
日臀芝柚拳＋（·赫＋掣错）筹一 产生一对称正定矩阵日臀：
、
，
ｇ
７ Ｄ、”口、”
（、１１０Ｖ／）
ｐ（＾）ｒ口『（Ｉ）
其中ｐ‘¨＝Ｊ‘‘＋”一工‘‘’；口‘”＝ｇ“ｌ一譬Ｉ；ｇＩ＋ｌ＝
八工‘“１’），可通过有限差分得出；ｊ‘‘＋１’和工‘‘’为两
个连续的迭代点。以ｄ¨“’＝一日Ｊ等ｇ““’为工““’
３仿真计算及结果分析
假设月球软着陆初始条件为：ｒ。＝１７５３ｋｍ，ｔ，。 ＝Ｏ，口ｏ＝０，ｃｕｏ＝９．６５×１０—４ ｒａｄ，ｓ，，孔ｏ＝６００ｋｇｏ月 球引力常数∥＝４９０２．７５ｋ矗／ｓ２，制动发动机推力， ＝２０００Ｎ，比冲Ｌ＝３００×９．８ｌＩｌ，８。采用上述优化方 法，飞行时间分为Ⅳ＝３０段，控制量初值口；＝０，ｆ ＝０，ｌ，…，Ⅳ；取口＝１．５，积分步长８ｔｅｐ＝２ｓ（接近 终点时采用变步长）。优化结果为：ｆ，＝３９８．０６４６ｓ， ｂ＝一ｏ．０００３９１ｍ，吩＝一０．０２１６１“ｓ，吁＝ｏ．０００００ ｒａｄ，ｓ。图１—４为部分最优参数变化曲线。为了对 比，图中给出了由庞德里亚金原理得出的理论最优 解，相应的最优时间为ｔ；＝３９８．０３８７８。可见，本文 的优化结果与理论最优解较为一致，但各参数变化 过程存在一定的差别，这说明在最优解附近存在较 好的次优解。
本文提出一种时间逼近法快速求解月球最优软 着陆问题。首先将原问题转化为终端时间固定型最 优控制问题，然后根据终端能量特性对着陆时间进 行修正，逐渐逼近最优着陆时间。仿真结果表明，该 方法精度较高，优化结果与理论最优解较为一致；计
算量小，能在１秒内生成一条最优软着陆轨道；稳定 性好，无需初值估计。
１月球最优软着陆问题描述
化为终端时间固定型最优控制问题。然后，优化该问题。使软着陆条件尽可能得到满足。在此基础上。根据优化出
的终端能量特性对着陆时间进行修正，得到新的终端时间固定型最优控制问题。重复前述优化和修正，即可逐渐
逼四近阶最眦优预软测着一陆校时正间积。分对方于法终快端速时求间解固。定仿型真最结优果控制 表问 明题此，方将法其优直化接精离度散较化高为，非收线敛性速规度划快问（题＜ｌ，ｓ）采，用稳拟定牛性顿好法（和 对
ｔ；时，该逼近法仍能够使‘，返回到ｔ；。 为了研究本文方法的稳定性，在（一９００，９００）范
围内随机选初值，结果都能收敛，这说明了本文方法 的稳定性较好。其中初值在（一３０。，３０。）取值时，计
万方数据
算量变化不大，但当初值选取得明显不合理时（如 戳＝８０。），会使计算量略微增加。
４结论
．∞
图３着陆器径向速度变化曲线 Ｆｉｇ．３ １ｌ圮ｌｌｉ８ｔｏｒｙ ｏｆ ｍｄｉ８ｌ ｖｅｌｏｃ畸
表ｌ终端时间的逼近过程
１捌ｅ ｌ Ａｐｐｍａｃｈ ｐｒｏｃ嘲ｏｆ ｍｅ丘Ｉｌａｌ ｄ腓
｛
兰 ￥
图４着陆器角速度变化曲线 Ｆｉｇ．４ １＇虻ｌｌｉｓｔｏｒｙ ｏｆ ａｎｇｌｅ ｖｅｌｏｃ畸 表ｌ给出最优时间的逼近收敛过程（口＝１．５）。 可见，当时间误差小于Ｏ．０５ｓ时，４步即可逼近最优 时间，对状态方程（１）总共积分２５２８次，工作站 （ＡＭＤ ２．５９ＧＨｚ）耗时Ｏ．５４６ｓ，远少于研究相同问题 的文献［３，４，６］。观察第３，４，５步可发现，在最优时 间附近，ｍ发生振荡现象（时正时负），即发生ｔ，＞
耗的燃料量为
△ｍ＝ｍ。［１一ｅｘｐ（一△口／Ｌｇ）］
（７）
对于实际的有限推力模式，与△，，ｌ对应的时间为
。一垒里一尘旦
‘ｊ一＼魂＼一Ｆ／Ｉ。
ｍｏ［１一ｅｘｐ（一△∥／ｔ，ｇ）］
。
：型Ｌ竺Ｆ／ｌＱ唾筝旦划（８） Ｊ’／Ｊ坤
其中Ｉ廊Ｉ为发动机燃料秒流量。 该时间即为最优软着陆时间的近似值。因脉冲推
力比有限推力消耗的燃料量小，即式（７）计算出的△ｍ 偏小，所以式（８）计算出的ｔ，仍比实际着陆时间小。
（３）
叫（ｔ，）＝０
其中￡。为软着陆的初始时刻，定义ｔ。＝０，该时刻 的状态参数由椭圆轨道的近月点确定；‘，为着陆时
刻，ｔ，自由；尺。为月球半径。
２月球最优软着陆问题的时间逼近法求解
根据庞德里亚金最大值原理（Ｐｏｎｔｒｙａｇｉｎ’８ Ｍａ】【ｉ． ＩＩｌａｌ蹦ｎｃｉｐｌｅ，ＰＭＰ）ｎ］，无奇异情况下，推力应为开关 控制：要么以最大推力工作，要么为零。但为了简化 问题，采用常值推力假设ｂ。】，即认为制动发动机一 直以最大推力工作，这一方面利于优化，另一方面可 降低发动机复杂性。部分间接法的算例也验证了该 假设的合理性乜Ｊ】。
（公式ｎｏ】，从ｔ。 到ｔ，积分状态方程（１），得到目标函数（４）。
２．２．２拟牛顿法 拟牛顿法是无约束最优化方法中最有效的一类
算法睁】。其中以Ｄ即算法和ＢＦＧＳ算法最著名，后 者比前者计算量大，但不易出现病态问题。本文采 用ＢＦＧＳ算法。下面以无约束参数优化问题 ＩＩＩｉ吖（ｚ）（ｚ为待优化参数向量）为例，简要介绍 ＢＦＧＳ算法Ⅲ。
初值不敏感），可用于机载计算机实时生成软着陆轨道。
关键词：时间逼近法；月球最优软着陆；快速优化；拟牛顿法
中图分类号：ｖ４１２．４
文献标识码：Ａ
文章编号：ｌ∞啦！３２８（２０吣）０５．１５３１．０５
ＤｏＩ：ｌＯ．３８７３，ｊ．ｉ鲫．１０∞一１３２８．２００８．０５．０１３
Ｏ引言
在月球表面实现软着陆是月球勘探的重要前 提。由于月球表面没有大气，着陆器的速度必须完 全由制动发动机抵消，所以，减少燃料消耗是增加有 效载荷的关键所在。
度因素，估算出的着陆时间更接近实际时间。取月球
表面为势能零点，则着陆器具有的初始能量为
ｌ
Ｅｏ＝寺ｍｏ可：＋ｍｏ曲ｏ
（５）
其中嘞、秽”＾。分别为着陆器的初始质量、速度和高度。 由于软着陆时着陆器能量为零，可知推力作用主要
是抵消能量玩。将该能量等效为动能，等效速度为
△ｔ，＝￣／ｔ『；＋２９＾ｏ
（６）
假设采用脉冲推力模式，将该速度抵消需要消
其中下标，表示在０时刻的取值。易知，０＜‘ｊ
时，．，’＞ｏ；‘ｒ＝ｔ；时，．，７＝Ｏ。
（３）根据终端能量特性修正ｌ，，然后返回（２），
直至，＝Ｏ。
２．１终端时刻的初始估计
软着陆时间较为准确的初始估计可以减少逼近次 数，加快优化速度。文献［２］认为推力主要用于抵消着
陆器水平速度，导致估算出的时间偏小。本文考虑高
收稿日期：２０魄．０７．∞； 修回日期：２００８镐３０
万方数据
１５３２
宇航学报
第２９卷
最优软着陆轨道设计的目的就是寻找最优控制
Ｆ’（ｃ）＝Ｆ（ｔ），９’（ｔ）＝９（ｔ），使得性能指标：
．，：一ｆ‘，琉ｄｔ：ｍ（ｏ）一ｍ（ｏ） （２） ｏ龟
取最小值，并且满足软着陆条件：
ｒ（Ｉ，）＝Ｒｏ
秒（ｔ，）＝０
月球软着陆方案首先将探月器射入一个大约 １００ｋｍ高度的环月停泊圆轨道；在满足一定条件下， 向探月器施加一制动脉冲，使其进入１００ｋｍ×１５ｋｍ的 椭圆轨道；当下降到大约１５ｋｍ高度的近月点时，制动 发动机点火，开始软着陆【．】。较多文献中都介绍了探 月器质心运动方程组乜。］，为了便于比较，这里采用 文献［２］中的模型。忽略月球自转、月球引力非球项、 日月引力摄动等影响，探月器的质心方程组为：
处的搜索方向。一维搜索采用二次曲线拟合法。 ２．３终端时刻的逼近
尽管以能量作为积分变量的优化结果误差较
大【６１，但仍然可以借助于能量对着陆时间进行修正
ｅ，一鲁＋饼 逼近。取无穷远为势能零点，则无量纲终端能量为
ｅ，一ｉ＋—瓦赢一
…ｕ１））
其中ｇｏ为月球表面重力加速度。
易知，当ｔ，＝ｔ；时，极小化指标（４）后会有ｅ，
，＝ｔ，
西：（，／ｍ）ｓｉｎ９一口／，２＋Ｍ２
旁＝∞
（１）
二＝一（（，／ｍ）ｃｏｓｌ吵＋２·ｌ枷）／ｒ
ｍ＝一Ｆ，ｌ。
其中ｒ是着陆器距月心矢径，口是着陆器在ｒ方向 上的速度，口是着陆器环绕月球表面的航程角，∞
是航程角的角速度，ｍ为着陆器质量，Ｐ为月球引
力常数，，为制动推力器的推力，Ｏ＜，＜ｋ，，．
为制动推力器的比冲，９为推力方向角，即推力方 向与当地水平面的夹角，取锐角。
采用常值推力假设后，月球最优燃耗软着陆问 题转化为最短时间控制问题，即寻找实现软着陆的 最短时间Ｉ；。本文提出一种时间逼近方法求解 ｔ；，其步骤是：