“概率论基础”的读书报告
关键词：测度、测度扩张、测度的完备化、可测函数、可测，积分
知识的学习需要回顾，更需要总结，通过总结我们能查漏补缺，也能在此基础上的理论创新。

通过一学期对严士健编写的《概率论基础》的学习，对测度论有了一定的了解和把握。

在本科学习概率论的时候，所学的内容比较浅显，所以这本《概率论基础》初学起来比较生涩，只能点点学习，不能准确清晰地把握这本书知识的思路脉络，但通过后续的学习，在一点一滴积累的情况下，对本书的知识体系有了深一步的了解。

本书的第一章是概率与测度，在回顾概率论的实际背景的基础上，给出概率与测度的定义；讨论今后常用到的一些集类（半集代数、集代数、-σ代数等）的基本性质；讨论测度的性质及测度扩张问题；最后讨论独立类的扩张问题。

概率论是研究随机现象中的数量规律的学科，是在现实生活中有着广泛的应用。

概率是用来度量一件事件发生的可能性。

测度是用来度量集合大小的工具，测度本质是满足一些性质的集函数。

当测度是正则测度的时候，我们也称概率。

本章的重难点是测度扩张定理及测度的完全化，因此先来看看两个重要集类。

首先我们将Ω中具有这些特征的子集类ϕ成为半集代数：（1）包含Ω和Φ；（2）对交封闭；（3）对集合A 的余可表示成∑=n
1i A A ，其中ϕ∈i A 。

我们再来看-σ代数，
将Ω中具有这些特征的子集类称为-σ代数：（1）包含Ω和Φ;（2）对于其中集合的可数次并运算和对差运算是封闭的。

假设我们已经在一个半集代数ϕ上定义了一个测度μ，我们再设法将其扩张到相应的-σ代数上，为了使零概率集的子集仍是可测集，还需要把测度扩充到更大的一个集类上，这就是测度扩张定理。

在证明讲述这个只是点的时候运用了单调类定理，外测度，*μ-可测集等相关知识。

我们由此定理可得直接的结论：若φ是 Ω中的半集代数，P 是φ上的概率，则有唯一的概率场（ Ω，σ(φ)，P ）存在，使得对任何的A 属于φ，在两个不同的集类上的测度相等。

即测度已经从半集代数ϕ扩张到)(ϕσ 上。

我们在证明的过程中得到的扩张后的-σ代数比)(ϕσ
大，前者比后者多了一些-μ零集。

这个问题就涉及到测度空间的完全化。

在第一章已经建立了概率场，也完成了测度的扩张和测度的完备化，第二章就自然而然地引出了定义在其上的可测函数及随机变量，以及分布函数和L —s 测度。

随机变量是一般测度论中可测函数的特殊情形，分布函数与L —S 测度对应。

本章在直观的基础上给出随机变量及其分布函数的定义，而后再更加广泛地
讨论先给出熟悉的随机变量，可测函数及一般分布函数与L —S 测度的关系。

本章还介绍了可测函数的构造性质。

若A Ω⊂，称函数A χ为集A 的示性函数，若
A ∈ω，
1)(A =ωχ；反之0)(A =ωχ。

若A ∈k A ,k=1,…,n 两两不想交，且Ω=∑=n
k k A 1，a 1,a 2,…,a n 为实数、复数或∞±，则称函数f ，f(ω)=)(1ωχk A n
k k a ∑=,Ω∈ω,为),(A Ω上的简单函数。

若A ∈k A ,k=1,…两两不想交，且Ω=∑∞
=1k k A ，a 1,a 2,…,a n 为实数、复
数或∞±，则称函数f ，f(ω)=)(1ωχk A k k a ∑∞
=,Ω∈ω,为),(A Ω上的初等函数。

简单函数和初等函数可由由示性函数构成，他们三者都是),(A Ω上的可测函数。

可测函数可由简单或初等函数序列的极限得到。

在这一章还有一个重要的知识点是函数类型的单调类定理，我们知道（集合）单调类定理表明：为验证某σ-代数F 中元素有某种性质，只需验证：（1）有一生成F 的集代数（π—系）C ，其元素有该性质；（2）有该性质的集合全体构成一单调类（相应的，λ—系）。

而这后两者的验证往往比较容易。

而在函数类型的单调类定理表明，欲证明某一函数族F 具有某性质A ，为此引入一个函数族L~，使得具有性质A 的函数全部都在L 中，且L 为一L —系，再引进一π—系C ，使得L~中关于)(C σ可测的函数类包含F ，于是根据单调类定理只需证明对一切属于C 的集合，这个集合的示性函数属于L 就行了，这种方法也称为L —系方法。

第三章是数学期望与积分。

我们知道，随即变量的分布函数已经完全地描述了随即变量的概率规律。

但某些数字特征如数学期望、方差、相关系数及高阶矩等则更集中地反映了随即变量的特征，要对它们作理论讨论需要用到一般测度空间上的积分理论。

在第二章中的分布函数这一节我们谈到了L —S 可测，我们可发现L 积分和L —S 积分之间的联系，不难发现它们都有三个基本要素。

第一，一个基本空间（即n 维欧几里得空间R ）以及这个空间的某些子集构成的集类即L 可测集或某L －S （可测集全体，这个集类对集的代数运算和极限运算封闭。

第二，一个与这个集类有关的函数类（即L 可测函数或某L -S 可测函数全体）。

第三，一个与上述集类有关的测度（即L 测度或某L -S 测度）。

以上我们已经分别讲述了三个基本条件，所以我们可以建立积分了，我们知道随机变量的数学期望应是概率空间（Ω，A ，P ）上随机变量的积分。

定义积分的时候也是分步定义的，首先定义了非负简单函数的积分，因为任意的非负可测函数都可以表示成非降的非负简单函数序列的极限，所以通过非负简单函数的积分来定义非负可测函数的积分，最后定义实可测函数的积分，把一个实可测函数分解成正部和负部，这样的
话定义实可测函数的积分就是水到渠成的事情了。

以上就是我通过读这本书，对测度论的点滴感悟。