东北大学秦皇岛分校
数学建模课程设计报告
三方军备竞赛模型及其
改进分析
学院数学与统计学院
专业数学与应用数学
学号*******
姓名燕云
指导教师刘超张尚国
成绩
教师评语：
指导教师签字：
2013年7月15日
1 绪 论
1.1背景
军备竞赛是指和平时期敌对国家或潜在敌对国家相互视为假想敌，在军事装备方面展开的质量和数量上的竞赛。
各国之间为了应对未来可能发生的战争，相互扩充军备，增强军事实力。
是一种预防式的军事对抗。
近代比较著名的例子是第一次世界大战前20年欧洲列强之间展开的军备竞赛。
资料显示，几乎所有的先到战争都是以军备竞赛为前导的。
1979年加拿大人理查森研究了1816-1965年间99件国际争端[1]得到了理查森军备竞赛模型。
这个属性模型可为从事社会科学研究的人们提供一个借鉴。
引起两国间爆发战争的原因是多种多样的，但是在这众多原因中，军备竞赛是一个很重要的原因。
例如，甲乙两国是敌对国家，乙国感到甲比他强大，就会为了自身的安全而增加预防开支，扩充军备；当甲看到乙在增加军费，扩充军备，其目的是在针对自己，为了保证自身的安全，甲也会扩充军备，如此循环，造成恶性循环，最终导致战争爆发。
1.2 预备知识
在解决这一类模型时，我们常常要求解一些三次方程。
所以我们在这里介绍一些实系数三次方程根的性质。
1.
实系数一元三次方程320x ax bx c +++=的根具有负实部的充要条件是：若0c >有0,a a bc >>成立。
2.
理查森军备竞赛模型（两国家）：
两国家的理查森军备竞赛模型如下：
()x ()t x ky g
y t y lx h αβ⎧
=-++⎪⎨
⎪=-++⎩
甲乙两方在时刻t 的军备数量分别是()(),x t y t ，在一方军备增加时，另一方军备也增加，设甲的增长速率为k ，乙的增长速率为l 。
同时，由于一个国家的经济实力有限，任一方军备越大，对其军备增长的制约作用也越大。
设甲的制约系数为α，乙为β。
两方都有
增加军备的能力设为g ，h 。
2 正文
2.1理查森三方军备竞赛模型 2.1.1 模型建立
理查森三方军备竞赛模型种国家间关系如图2.1。
图2.1理查森三方军备竞赛模型种国家间关系图
设甲、乙、丙三方时刻t 的军备数量分别为()x t ，()y t ，()z t ，模型如下：
()()()x t ax ly mz g y t by kx mz h z t cz kx ly f ⎧
=-+++⎪⎪
=-+++⎨⎪
⎪=-+++⎩
其中a 、b 、c 分别表示三方的自身制约程度；l 表示该方受乙方的刺激程度的度量，k 表示该方受甲方的刺激程度的度量，m 表示该方受丙方的刺激程度的度量。
g 、h 、f 是己
方军备竞赛的固有潜力。
2.1.2 模型分析 我们令
000ax ly mz g by kx mz h cz kx ly f -+++=⎧⎪
-+++=⎨⎪-+++=⎩
MATLAB 软件程序如下：
syms a l m b k c k f g h ; A=[-a l m;-b k m;-c k l]; B=[-g;-h;-f]; rref([A,B])
得到的结果如下：
图2.2平衡点系数结果
由此我们可以得到平衡点：
0000(,,)
P x y z ，其中
202kgl kgm kmf kmh mlf l h x lah l b cmk mka mkb mcl -+++++=
-+++-- 02lha amf mcg hcm gbl mbf y lak l b cmk mka mkb mcl -+++++=-+++-- 02fak fbl cgk kah kbg clh z lak l b cmk mka mkb mcl ----++=
-+++--
为求解平衡点
0000(,,)
P x y z 的平衡条件，记方差的系数矩阵为：
a l m B
b k
m b l
k -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
矩阵B 的特征方程为det()0I B λ-=，即
a c m
b k m c
l
k
λλλ+----=--
化简得：
3222(2)(2)0k a k ml ak bc cm ak aml bml bck cmk λλλ-++--+++-+--=
故，若要求平衡点稳定需满足：
22220202(2)()a k k ml ak bc cm a k k ml ak bc cm ak aml bml bck cmk -<⎧
⎪
--++>⎨⎪-<--++-+--⎩
2.2模型的数值模拟
当a=0.5,b=1,c=0.8,k=0.3,m=1,l=0,f=1,g=1,h=1时求解上述模型的数值解。
利用MATLAB 程序
a=0.5;
b=1;c=0.8;k=0.3;m=1;l=0;f=1;g=1;h=1; A=[-a l m;-b k m;-c k l]; B=[-g;-h;-f]; rref([A,B])
得到结果如下：
图2.3平衡点结果
进而可以知道平衡点0(3.3333,5.5556,0.6667)
P=
进一步利用MATLAB
ts=-20:0.5:20;
x0=[1,1,1];
[t,x]=ode45('shier',ts,x0);
plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),gtext('z(t)')
得到图像：
图2.4军备竞赛趋势图
2.1.3 模型的局限性
此模型中，对于自身的约束较弱，不能很好的反映生活中一个国家自身对自身军备复杂的影响因素；同时，在一个地区中，国与国的军备竞赛不仅仅是依赖于自身和对方的军事实力，也在很大程度上取决于对方国家的同盟国家的影响力，故此，这样的模型只能简单的反映几个国家短期的、简单的军备竞赛的情况。
2.2 带Logistic项的改进模型
我们对一个国家对自身的约束做一个改进，一个国家的发展必然会受到地区和自身国家的约束，所以在自身影响的部分我们加入Logistic阻滞增长模型的思想，设一国家自身影响部分为：
()(1)x
x t ax
N
=--
2.2.1 模型建立
改进模型种群间关系如图2.3。
图2.5 改进模型种群关系图
设甲、乙双方时刻t 的军备数量分别为()x t ，()y t ，模型如下：
()()12(1)(1)x x t ax ly g N y y t by kx h N ⎧
=--++⎪⎪⎨
⎪=--++⎪⎩
其中a 、b 分别表示双方的自身制约程度；l 表示该方受乙方的刺激程度的度量，k 表示该方受甲方的刺激程度的度量，m 表示该方受丙方的刺激程度的度量。
g 、h 是己方军备竞赛的固有潜力。
1N 、2
N 表示相应国家自身允许发展的最大程度。
2.2.2模型分析
平衡点000(,)P x y 使得下式成立：
1
2
0(1)0(1)x ax ly g N y by kx h
N ⎧
=--++⎪⎪⎨
⎪=--++⎪⎩ 结果如下：
图2.6改进模型的平衡点
其中1a q a N =
-，2
b w b N =- 故可得平衡点为：0( -(g*k - h*l)/(k*q - l*w), -(h*q - g*w)/(k*q - l*w))
P 。
2.2.3 稳定性分析
由于方程组（4）中的参数均为正值，而取值不能小于0，边界平衡点即0(0,0)P 没有意义应舍弃。
当0P 点在x 轴正向时，即p>0,q>0时平衡点是稳定的。
结 论
在认为某一国家对其自身的影响是简单的一元线性函数时，我们不难发现随着时间变长，模型趋于稳定。
同时，该结果还说明了三方军备竞赛和双方军备竞赛一样都可以用稳定性模型来描述，可以用稳定性模型的相关理论来分析其平衡点和稳定性，可以定性的解释一些显示生活中三方军备竞赛的一些现象。
说明了只有当满足相应的条件是军备竞赛才会趋于稳定。
但当认为某一国家对自身的影响具有一定的限制作用即引入阻滞增长模型时，我们发现模型的模拟程度有了一定的提高，但是对于模型的求解和分析的难度也有了很大的提高。
同时，由于模型本身假设中的影响条件较少，所以得到的结果也较为简单，故此，模型还能继续改进。
参考文献
[1]Michael wallance.Arms Races and Escalation.Some New
Evidence[M].CA:Sage.
[2]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型第三版[M],北京：高等教育出版社,2003.
[3]董臻圃.数学建模方法与实践[M],北京：国防工业出版社,2006.
[4]堵秀凤,张剑,张宏民.数学建模[M],北京：北京航空航天大学出版社,2011.。