数学建模 军事模型 7
类似地，乙方的战斗减员率设为
g = bx
且甲方的战斗有效系数
b = rx p x
rx和 px 是甲方的射击率和命中率。于是
dx dt dy dt ay x u (t ) (2) bx y v(t )
忽略非战斗减员与增援，则模型进一步简化为
y0 2 01 01106 100 2 1100 x0
即y0 / x0 >10，乙方必须 10 倍于甲方的兵力。
美国人分析越南战争： y0 / x0 ＝6 < 8，所以美 国败。
等因素，而仅靠战场上兵力的优劣是很难估计战
争胜负的， 所以用这些模型判断整个战争的结
局是不可能的，但是对于局部战役来说或许还有
参考价值。 更重要的是，建模的思路和方法为
我们借助数学模型讨论社会科学领域中的实际问
题提供了可以借鉴的示例。
数学建模
军事模型
4
一般战争模型
用x( t ) 和y( t ) 表示甲乙交战双方 t 时刻的兵力
数学建模
军事模型
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正规战模型
甲乙双方都用正规部队作战。我们只须分析甲方的 战斗减员率f ( x, y ) . f 可简单假设为
f ＝ay
其中：a —乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率（单位 时间的杀伤数），称为乙方的战斗有效系数。
a ＝ ry py
其中： ry—乙方的射击率（每个士兵单位时间的射击次数) py—乙方的命中率
区域内活动，乙方士兵不是向甲方士兵开火， 而是向
这个隐蔽区域射击，并且不知道杀伤情况。这时甲方战
斗减员率不仅与乙方兵力有关， 而且随着甲方兵力的
增加而增加。
数学建模
军事模型
11
f 可简单假设为
f ＝cxy
其中：c —乙方的战斗有效系数。
c ＝ ry py = ry Sry / Sx
其中： ry—乙方的射击率
数 学 建 模
——从自然走向理性之路
数学建模 军事模型 1
第四讲
军事模型
【主要内容】 介绍军事模型，包括： Lanchester 作战模
型、核武器竞赛模型和军备竞赛模型 【主要目的】 了解数学建模方法在军事研究中的应用，
建模思路和方法为用数学模型讨论社会领 域的实际问题提供了可借鉴的示例。
数学建模2 0Fra bibliotek(5)由(5)式确定的相轨线是双曲线族，如图
数学建模 军事模型 9
乙方获胜条件：
k>0
y0 b rx px x0 a ry p y
——平方律模型
图 1. 正规战模型的相轨线
2
数学建模
军事模型
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游击战模型
甲乙双方都用游击部队作战。
甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为 Sx的隐蔽
dx f ( x y ) x u (t ) 0 dt dy g ( x y ) y v(t ) 0 dt
(1)
下面针对不同的战争类型讨论战斗减员率 f ( x, y )和 g( x, y ) 的具体表示形式，并分析影响 战争结局的因素。
数学建模 军事模型 8
不解方程，在相平面上讨论相轨线的变化规律 。
dy bx dx ay (4)

dx dy
dt

ay bx x0 y (0) y0 (3)
dt x(0)
ay bx k ay bx
2 2 2 0
f ＝cxy , g = bx
同样在忽略非战斗减员与增援的假设下，模型为

数学建模
dx dy
dt

cxy bx x0
军事模型
dt x(0)
y (0) y0
16
相轨线
cy 2bx n cy 2bx0
2 2 0
乙方获胜条件： n > 0
数学建模
军事模型
13
于是，模型为
(t ) cxy x u(t ) x (t ) dxy y v(t ) y (7)
同样忽略非战斗减员与增援，则模型进一步简化为

dxy x(0) x0 y (0) y0
军事模型
2
Lanchester 作战模型
第一次世界大战时Lanchester提出的预测战役结局
的模型。 只考虑双方兵力多少和战斗力强弱 兵力—因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加
战斗力—与射击率（单位时间的射击次数）、射击命 中率以及战争的类型 （正规战、游击战）等有关。
数学建模
军事模型
3
模型没有考虑交战双方的政治、经济、 社会
假设
1. 每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力， 用f ( x, y ) 和 g( x, y ) 表示。 2. 每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素引 起）与本方的兵力成正比。
3. 每一方的增援率是给定的函数，用u( t ) 和 v( t ) 表示。
数学建模 军事模型 5
由此可以写出用微分方程表示的模型
军事模型
x y
cxy (8)
数学建模
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解得相轨线方程为
cy dx m cy0 dx0
乙方获胜条件： m > 0
(9)
y0 rx srx sx d x0 c ry sry s y
——直线律模型
图 2. 游击战争模型的相轨线
数学建模
军事模型
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混合战模型
甲方为游击部队，乙方为正规部队。 根据对正规战和游击战模型的分析和假设：
py—乙方的命中率
Sx — 甲方士兵的隐蔽区域面积
Sry— 乙方一次射击的有效面积
数学建模
军事模型
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类似地，乙方的战斗减员率设为
g = dxy
且甲方的战斗有效系数
d = rx px = rx Srx / Sy
rx和 px 是甲方的射击率和命中率，Sy是乙方士兵
的隐蔽区域面积， Srx甲方一次射击的有效面积 。
2 y0 2rx px sx x0 ry sry
——抛物线律模型
数学建模
军事模型
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看具体数字。不妨设甲方兵力x0 = 100 ，命中 率px = 0.1 ，火力rx 是乙方火力ry 的一半，活动区域 面积Sx = 0.1 平方千米， 乙方每次射击的有效面积 Sry = 1 平方米，那么乙方取胜的条件为