第２３卷第９期 计算机仿真 ２００６年９月 文章编号：１００６—９３４８（２００６）０９—０１６５—０３
板球系统的模糊控制方法研究
苏信，孙政顺，赵世敏 （清华大学自动化系，北京１０００８４） 摘要：板球系统是一个典型的多变量、非线性控制系统，是杆球系统的扩展，用以检测各种控制方案。该文针对板球系统的 定点稳定问题，首先提出了Ｔ—ｓ模糊控制方案，仿真结果较好，但实物系统的试验却发现球在稳定点附件振荡、难以稳定、 超调大；针对此缺点，在Ｔ—ｓ模糊控制方案的基础上，提出变论域自适应模糊控制方案，仿真结果表明控制性能得到明显改 善，且越是靠近稳定点效果越明显，体现了变论域自适应模糊控制方法具有精度高、无振荡、几乎无超调的特点。实物系统 的试验结果也表明，变论域自适应模糊控制方案比Ｔ—ｓ模糊控制方案的效果要好。 关键词：板球系统；变论域；模糊控制；自适应控制 中图分类号：ＴＰ３９１．９ 文献标识码：Ａ
Ｆｕｚｚｙ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ Ｂａｌｌ ａｎｄ Ｐｌａｔｅ Ｓｙｓｔｅｍ ＳＵ Ｘｉｎ，ＳＵＮ Ｚｈｅｎｇ—ｓｈｕｎ．ＺＨＡＯ Ｓｈｉ—ｒａｉｎ （Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｔｓｉｎｇｈｕａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００８４，Ｃｈｉｎａ） ＡＢＳＴＲＡＣＴ：Ｂａｌｌ ａｎｄ ｐｌａｔｅ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ａ ｔｙｐｉｃａｌ ｍｕｌｔｉ—ｖａｒｉａｂｌｅ ｐｌａｎｔ，ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｂａｌｌ ａｎｄ ｂｅ＇ａｍ ｐｒｏｂｌｅｍｓＩｔ ｉｓ ｐｕｔ ｆｏｒｗａｒｄ ｔｏ ｉｎｓｐｅｃｔ ｄｉｖｅｒｓｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｃｈｅｍｅｓ。Ｔ—Ｓ ｆｕｚｚｙ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｃｈｅｍｅ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ
ｆｉｒｓｔｌｙ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｔ ｔｈｅ ｄｅｓｉｇｎｅｄ ｐｏｉｎｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｂａｌｌ ａｎｄ ｐｌａｔｅ ｓｙｓｔｅｍ．Ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｆｉｎｅ， ｂｕｔ ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅａｌ ｓｙｓｔｅｍ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅｓ ａｒｅ ｅｖｉｄｅｎｔ，ｓｕｃｈ ａｓ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ，ｏｖｅｒｓｈｏｏ— ｔｉｎｇ。Ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｍｅｎｔｉｏｎｅｄ ｐｒｏｂｌｅｍｓ，ａｄａｐｔｉｖｅ ｆｕｚｚｙ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｃｈｅｍｅ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｖａｒｉａｂｌｅ ｕｎｉｖｅｒｓｅ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｇｒｏｕｎｄ ｏｎ Ｔ—Ｓ ｆｕｚｚｙ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｃｈｅｍｅ．Ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｆｆｏｎ ｒｅｓｕｌｔ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｉｓ ｉｍｐｒｏｖｅｄ，ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ ｎｅａｒ ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｚａｉｏｎ ｐｏｉｎｔ，ｗｈｉｃｈ ｅｍｂｏｄｙｓ ｔｈｅ ｎｉｃｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ａｄａｐｔｉｖｅ ｆｕｚｚｙ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｃｈｅｍｅ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｖａｒｉａｂｌｅ ｕｎｉ— ｖｅｒｓｅ，ｓｕｃｈ ａｓ ｈｉｇｈ ａｃｃｕｒａｃｙ，ｎｏ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｎｏ ｏｖｅｒｓｈｏｏｔ。 ＫＥＹＷＯＲＤＳ：Ｂａｌｌ ａｎｄ ｐｌａｔｅ ｓｙｓｔｅｍ；Ｖａｒｉａｂｌｅ ｕｎｉｖｅｒｓｅ；Ｆｕｚｚｙ ｃｏｎｔｒｏｌ；Ａｄａｐｔｉｖｅ ｃｏｎｔｒｏｌ
１ 引言 板球系统是一个典型的多变量、非线性控制系统，是杆 球系统 。 的扩展。板球系统如图１所示，由可以绕其中心 转动的板及伺服系统组成。伺服系统包括一个步进电机控 制卡、两个用于控制板倾斜的步进电机和一个用于测量球位 置的智能ＣＣＤ视觉系统。平板支撑在Ｏ、Ａ、Ｂ三点上，两台 步进电机可以分别使Ａ、Ｂ点上下移动，带动平板倾斜以使球 在其上任意滚动。 板球系统目前已成功的在捷克大学的罗克维尔控制实 验室搭建起来，英国的学者也搭建了这个系统，并做了研究。 色Ｉ瞽拈 我们也已成功地在实验室搭建起板球控制的实物系统，并用 Ｔ—Ｓ模糊控制方法进行了控制，由于板的静摩擦、电机的时 延等理论研究时忽略掉的因素的影响，试验结果不尽如人 意。如在定点稳定试验中，球在稳定点附近振荡，难以稳定，
收稿１３期：２００５—０８—０９
ｃｃＤ…苦 一坐标
图１ 板球系统结构示意图 超调大，并且因此而直接影响轨迹跟踪、绕障试验的性能。 文献［６，７］提出的变论域自适应模糊控制思想，具有精度高、
１６５—
维普资讯 http://www.cqvip.com 无振荡、几乎无超调的特点，而且在变论域的观点下，模糊控 制器的设计也变得简单易行。本文将变论域自适应模糊控 制器应用于板球系统中，仿真结果证明该方法改善了控制的 效果，实物试验的结果也表明了这一点。 ２板球系统的数学模型 板球系统是８状态变量双输入双输出的非线性动态系 统，可以用下面的数学模型描述： （ｍ＋ Ｒ２） ＋ ｓｉｎ日 一 一ｍｙＯ ＝ｏ （ｍ＋ ＋ 一ｏ ｏ，＝ｏ ｒ ：（ ＋Ｊ＋ｍ ） ＋２ｍｘｘ＇Ｏ ＋ｍｘｙ‘＇Ｏｙ＋ｍ ｙ＋ｍｘｙｂｙ＋ｍｇｘｃ。ｓ０ ｆ ｒ Ｊ Ｐ＋ｊ ｍｙ２） ｒ ２ｍ＃０Ｔ＋ｍｘｙＯ ＋ｍｉ如ｘ＋ｍｘ询ｘ＋ｍｇｙｅｏｓＯ ｓ （１） 其中ｍ为小球质量， 为小球半径 Ｙ为小球 、Ｙ方向的位 移，０ｘ，０ｙ为平板 、Ｙ方向的倾角， 、 为平板 、Ｙ方向的外 力矩，‘，和 分别为小球和平板的转动惯量。为保证数学模 型的准确性，一般要求要求Ｊ ０ Ｊ＜５。，Ｊ Ｊ＜５。（即０． ０８８ａｒｃ）。 令Ｂ：，∥（ｍ＋Ｊ／Ｒ ）， ： ，Ｏｙ＝ｕ ，，由式（４。１）得 系统状态方程为： ２ Ｂ（ ｌ ；＋Ｘ４ ５ ８一ｇｓ￣ｎｘ３） ０ ６ Ｂ（ ５ ｉ＋ 】ｘ４ ８一ｇｓｉｎｘ７） ８ ０ （２） （ ，ｘ，０ ，０ ，ｙ， ， ３ 变论域自适应模糊控制器 模糊控制适用于具有模糊环境的粗糙控制场合，但对于 高精度的控制问题，模糊控制的效果不理想，还得依靠传统 控制。为提高模糊控制的精度，文献［４，５］提出了变论域自 适应模糊控制思想：在规则形式不变的前题下，论域随着误 差变小而收缩（亦可随着误差增大而扩展）。局部地看，论域 收缩相当于增加规则，也即插值结点加密，从而提高了精度。 下面简述变论域模糊控制器的控制思想和算法。 设输入变量 （ｉ＝１，２，…，ｎ）的论域分别为Ｘ ＝［一Ｅ， Ｅ］（ｉ：１，２，…，ｎ），输出变量Ｙ的论域Ｙ：［一 ，Ｕ］；｛Ａ １ ≤ ≤ｍ）为 上的模糊划分。｛Ｂ，｝（１≤ ≤ｍ）为ｌ，上的模 糊划分。模糊系统的规则为： １６６一 ｉｆ ｘｌ ｉｓ Ａｌｉ ａｎｄ Ａ２ ｉｓ Ａ ａｎｄ．．．ａｎｄ ｘ ｉｓ Ａ ｔｈｅｎ Ｙ ｉｓ ＢｌＪ： １，２，…，ｍ， （３） 设 为 的峰点，乃为 的峰点（ｉ：１，２，…， ， ：１， ２，…，ｍ），则基于（３）的模糊系统表现为一个ｎ元分片插值 函数
ｙ（ ， ，…， ）＝Ｆ（ ，Ｘ２，…， ）＝∑１－ＩＡ （Ｘｉ）ｙ， Ｊ＝ｌ ｉ＝１ （４） 变论域是指论域 与ｙ可以分别随着变量 与Ｙ的变化 而变化，记为：
Ｘ （ ）：［一０２ （ ）Ｅ ，０２ （ ）Ｅ ］ Ｙ（Ｙ）＝［一 （Ｙ）Ｕ， （Ｙ）Ｕ］ （５）
其中，ＯＬ （ ）与卢（Ｙ）叫做论域的伸缩因子。相对于变论 域，原来的论域ｘ 与ｙ便叫做初始论域。 采用如下的变论域伸缩因子：
（ ）：ｌ一￣，ｅｘｐ（一ｋｘ ） 卢（￡）垒卢（ｙ（ （￡）））＝ｋ∑ｐ ＩＣｉ（ ）ｄ ＋卢（０）（６） １ ｂ
式中， 为比例常数，初值卢（０）作为设计参数根据夹际情况 调整，通常可取口（０）＝１。故变论域自适应模糊控制律为
ｕ （￡）＝（ ∑ｐ ｆｅ （ ）ｄ ＋卢（０）） ｉ＝１
…砉 ｃ ， ㈩
４ 板球系统的优化控制及仿真 板球系统中，要求小球滚动时没有滑动，这就必然使平 板摆动的角速度足够小，这样，（２）式中 和Ｘ４Ｘ 两项 可以忽略，因此系统可以分解成ｚ方向和Ｙ方向两个子系统， 分别表示如下：
Ｂ（ ｌ 一ｇｓｉｎｘ３） Ｘ４ ０ Ｘ６ Ｂ（Ｘ５ —ｇｓｉｎｘ７）
８ ０
上 ９，
考虑到两个子系统的对称性，以下只讨论（８）式对应的 子系统的优化控制及仿真，结果同样适用于（９）式对应的子 系统。参照文献［４］中模糊控制器的设计，我们先设计普通 Ｓ模糊控制器。 模糊控制器的第 条控制规则如下： Ｉｆ ｅ ｉｓ Ｂｎ ａｎｄ ｘ ｉｓ Ｒｑ ａｎｄ ０ｘ ｉｓ ９ｍ ａｎｄ ０ｘ ｉｓ Ｑｉｎ，
０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ｌ ０ ０ ０ ０ ‰ Ｉ１ （： Ｉ１＂ｊ 中 式 维普资讯 http://www.cqvip.com Ｔｈｅｎ ＝一（ ｅ ＋ ＋ｔ０ ＋ｚ４０ ）＝一 （１０） 其中ｅ ＝ 一 ， 为期望位置的 值。输入（ｅ ， ，０ ， ）的论域分另０为［一０．２，０．２］ｍ，［一０．０４，０．０４］ｍ／ｓ，［一 ４ｅ一３，４ｅ一３］ａｒｃ／Ｉｓ，［一０．８ｅ一３，０．８ｅ一３］ａｒｃ￣ｓ２，输出Ｍ 的论域为［一０．４ｅ一３，０．４ｅ一３］ａｒｃ￣ｓ３。选取比例因子Ｇ ＝ ５，Ｇ ＝２５，Ｇ ：２５０，Ｇ ＝１２５０，得到正规化的输入量（ ， ０ｘ， ）∈［一１，１］×［一１，１］×［一１，１］×［一１，１］。对于 每个输入量选取两个语言变量，ＮＥ（负）和ＰＯ（正），隶属函 数选为１／（１＋ｌ±１一 ｌ ），如图２所示。
图２ 输入隶属函数 各模糊控制规则后件的参数选为使在各个规则中心点 线性化后子模型在指标函数
｜，＝Ｊ（ Ｑｘ＋Ｉ．ｔＴＲｕ）ｄｔ （１１） ￡ ０ 下的最优反馈控制率，这里取Ｑ和尺为单位阵。 在上述７’一ｓ模糊控制器的基础上，加入论域伸缩因子：
ｄ （ ）＝１一Ａ ｅｘｐ（一 ）（ｉ：１，２，３，４） （１２） ４ ￡（ｆ）＝ｋ∑Ｐ ｒ）ｄ ｒ＋卢（０） （１３） １ ｂ
其中的参数可在试验中不断尝试得出最佳值。本实验中 最后参数选为：
Ａ＝（Ａ１，Ａ２，Ａ ３，Ａ ） ＝（０．７，０．１，０．１，０．３） ｋ＝（ｋ１，ｋ２， ，ｋ４） ＝（５，１０，１０，１０） Ｐ＝（Ｐｌ，Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４） ＝（１，１，１，１） （１４）
加入论域伸缩因子前后控制器的仿真曲线如图３所示。 图３中粗实线方波信号为输入信号，虚线为Ｔ—Ｓ模糊控制器 的响应曲线，细实线为变论域白适应模糊控制器的响应曲 线。 从仿真结果可以看出，在远离稳定点的区域，变论域白 适应模糊控制器与普通模糊控制器相差不大，这从（１２）式 也可以看出，当很大时，ｄ，（ ）一１。在靠近稳定点区域，变 论域白适应模糊控制器与普通模糊控制器差别就很明显，可 以看出，前者有更快的响应速度、更高的精度，并且几乎没有 超调。在实物系统的定点稳定试验中，在加入论域伸缩因子 后，小球能更快的稳定到指定的位置，在稳定点附近的振荡 次数明显减少。