0 0 : α 44 ∈ Aut ( H 4 ) 0 1 0 0 0 α 44
xi ， si 分别为模 p βi 的原根，即有 α ii ( xi ) = xisi ，其中 1 ≤ i ≤ 4 ，于是 α ii 生成 Aut ( H i ) ，进 且 C p βi ≅ H i =
方树珍，周芳
摘
要
设 C pβ i 是 p β i 阶的循环群，其中 p 为素数， 1 ≤ i ≤ 4 。J. N. S. Bidwell利用矩阵表示方法得到了没有共同 直 因 子 的 直 积 C p m × C p n 和 C p β1 × C p β 2 × C p β 3 的 自 同 构 群 。 本 文 采 用 同 样 的 方 法 得 到 了 直 积
−1 而 Aii 是阶为 ϕ p βi 的循环群；进一步， ti = si−1 mod p βi ，于是 α ii ( xi ) = xiti 。
( )
(
)
另若 i < j ，有 α ij ( x j ) = xip
βi − β j
；若 i > j ，有 α ij xij = xi ，则 α ij 生成 Hom H j , H i ，进而 Aij ( i ≠ j ) 是
The Automorphism Group of A Class of Abelian p-Group
Shuzhen Fang, Fang Zhou
Department of Mathematics, Taiyuan Normal University, Jinzhong Shanxi
th th th
0 0 1 0
0 0 0 1
a 12 1−t1 −1 由于 α12 − α11 。 = a11a12 α12 = (1 − t1 ) α12 ，于是 a11
a13 a14 1− t1 1− t1 类似计算结果有 a11 ， a11 。 = a11a14 = a11a13
a21 a11
C pβ1 × C pβ 2 × C pβ 3 × C pβ4 的自同构群的生成元和生成关系。
关键词
自同构群，循环群，矩阵表示，直积
1. 引言
设群 G = C p β1 × C p β2 × C p β3 × C p β4 ，其中 p 为素数， βi ( i = 1, 2, 3, 4 ) 互不相同， C p βi 为 p βi 阶的循环群。 J. N. S. Bidwell 在文献[1] [2] [3]给出了没有共同直因子直积的自同构群的结构， 并通过矩阵表示方法得到 了直积 C p m × C p n ， C p β1 × C p β2 × C p β3 的自同构群，其中 m, n 互不相同，并通过 GAP 软件计算了直积 周芳等人在文献[4]中利用该方法得到了给定半直积的稳定自同构群可分解为 C p β1 × × C p βn 的自同构群， 若干结构简单的特殊子群乘积的充要条件。 本文中我们用矩阵表示的方法计算了 C p β1 × C p β2 × C p β3 × C p β4 的 自同构群，得到了该自同构群的生成元和生成关系。本文的符号是标准的，见[1]。
2. 主要内容
设 G = C p β1 × C p β2 × C p β3 × C p β4 ，其中 p 为素数， β1 , β 2 , β3 , β 4 互不相同，不失一般性，设
β1 > β 2 > β3 > β 4 ，由[1]可得 Aut ( G ) ≅ = A11 A12 A13 A14 A21 A22 A23 A24 A31 A32 A33 A34 A41 A42 A43 A44 ，其中

一类交换p-群的自同构群
方树珍，周 芳
太原师范学院数学系，山西 晋中
收稿日期：2016年12月25日；录用日期：2017年1月10日；发布日期：2017年1月13日
文章引用: 方树珍, 周芳. 一类交换 p-群的自同构群[J]. 理论数学, 2017, 7(1): 20-29. /10.12677/pm.2017.71004
α11 0 0 0 0 1 0 0 令 a11 = = ,a 0 0 1 0 12 0 0 0 1
ϕ p βi , i = j 。 有 o ( aij ) = β max( i , j ) , i≠ j p
于是 = a11 , a12 , a13 , a14 , a21 , a22 , a23 , a24 , a31 , a32 , a33 , a34 , a41 , a42 , a43 , a44 。
akk akl akl 计算，当 通过对 aij = i j= , k l ，有 aii = aii ；当 i ≠ l , j ≠ k , l ，有 aij = aij 。
( )
根据矩阵主对角线元素的顺序，首先计算 a11 的共轭关系，
a12 a11
1 −α12 0 0 α11 0 0 0 1 α12 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 = 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
Received: Dec. 25 , 2016; accepted: Jan. 10 , 2017; published: Jan. 13 , 2017 Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
−1 α12 α11 0 0 0 1 α12 − α11 0 1 0 0 0 1 = 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
α11 α11α12 − α12 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
我们得到 a11 的共轭关系如下：
a 13 a 12 1−t1 1−t1 a 14 1−t1 ， a11 ， a11 ， a11 = a11a12 = a11a14 = a11a13 a 23 a 22 a 24 a 21 t1 −1 a11 = a21 a11 ， a11 = a11 ， a11 = a11 ， a11 = a11 ， a 33 a 32 a 34 a 31 t1 −1 a11 = a31 a11 ， a11 = a11 ， a11 = a11 ， a11 = a11 ， a 43 a 42 a 44 a 41 t1 −1 a11 = a41 a11 ， a11 = a11 ， a11 = a11 ， a11 = a11 。
Open Access
Abstract
Let C pβ i be the cyclic group of order p β i where p is a prime number, and 1 ≤ i ≤ 4 . Using matrix representation, J. N. S. Bidwell got the automorphisms of direct products C pm × C pn , and C pβ1 × C pβ 2 × C pβ 3 which have no common direct factor. In this paper, the generators of the
a32 a22
0 0 01 0 0 01 0 0 0 1 0 1 0 0 0 α 22 0 0 0 1 0 0 = 0 −α 32 1 0 0 0 1 0 0 α 32 1 0 0 0 10 0 0 10 0 0 1 0 1 0 = 0 −α 32 0 0 1 −1 + α 32α 22 0 0 0 1 0 01 0 0 0 α 22 00 0 10 0 0 0 1 0 0 0 0 1
α11 0 0 0 −α 21α11 + α 21 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
a21 t1 −1 −1 由于 −α 21 + α 21α11 = a21 a11 。 = ( t1 − 1) α 21 ，于是 a11 a31 t1 −1 a41 t1 −1 类似计算结果有 a11 = a31 a11 ， a11 = a41 a11 。
−1 22
0 1 0 0 α 22 α 22α 23 − α 23 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1
1 α 23 − α α 23 1 0
0 0 0 1
a23 −t 2 −1 由于 α 23 − α 22 = a22 a1 α 23 = (1 − t2 ) α 23 ，于是 a22 23 。 a24 −t 2 类似计算结果有 a22 = a22 a1 24 。
( )
(
)
21
方树珍，周芳
β max ( i , j )
阶为 p
的循环群，其中 1 ≤ i, j ≤ 4 。
1 α12 0 0 1 0 0 0 = , , a44 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 α 44 0 0
Pure Mathematics 理论数学, 2017, 7(1), 20-29 Published Online January 2017 in Hans. /journal/pm /10.12677/pm.2017.71004
α11 0 0 0 0 1 0 0 = A11 : α11 ∈ Aut ( H1 ) , 0 0 1 0 0 0 0 1 1 α12 0 1 = A12 0 0 0 0 1 0 = A44 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 : α12 ∈ Hom ( H 2 , H1 ) , 1 0 0 1