哪一科离散程度大？即两极分化严重？
C
V x 1
1 100 2.40 100 2.67 90
1
C
V x 2
2 100 2.00 100 2.86 70
2
Q
CV
2
CV
物理科离散程度大。
1
（2）单位相同，但平均分相差很大；
例2：两班语文成绩， 甲班平均分96分，标准差3.50分； 乙班平均分78分，标准差3.28分；哪一班成绩的离散程度大？
估计录取分数线
育才高中拟招收２００名外地考生，参加考试共计１６００人， 平均分７８分，标准差８分，试估计录取分数线。
解：学生成绩视为正态分布，录取率为 200 1600 0.125
即求正态分布右尾面积０．１２５对应的Ｚ值； Ｐ（面积比率）＝０．５－０．１２５＝０．３７５ 由正态分布表：Ｚ＝１．１５
=0.01时，Z=2.58对应的阴影部分面积两侧分别为0.005；
1、样本平均数与总体平均数差异的显著性检验
（1）总体正态分布，总体标准差已知，大样本； 用Z检验。
x
Z
0
n
这里：x 为样本平均数， 为总体平均数，
0
为总体标准差， 85分，总体标准差8分，
0.05 2.228 2.201 2.179 2.160 2.145 2.134 2.120 2.110 2.101
0.01 3.169 3.109 3.055 3.012 2.977 2.947 2.921 2.898 2.878
df
0.05
0.01
解：
H :
0
0
H :
1
0
72.6 70
t
1.35 取 0.05 自由度df 26 1 25
9.6 26 1
查 t 值表，
t Q
(25) 2.06
0.05 2
t t
p
2
0.05
所以接受原假设，成绩没有显著差异，这种说法有95%的可靠性。
部分 t 值表
df 10 11 12 13 14 15 16 17 18
显著性检验中，首先假设差异是不显著的，这是一种反证法的思想。
选择显著性水平 0.05或 0.01
这里 是个小概率——接受错误假设的可能性是多少，
或拒绝正确假设的可能性是多少； 若达到一定的界限值， 则拒绝原假设，接受其相反的备择假设； 否则接受原假设。
n 30时，为大样本，用Z检验；n<30时，为小样本，用t检验。
甲班35人，班级平均分83分，这种差异是本质的还是偶然的？
H H （1）建立假设： :
0
0
备择： :
1
0
计算统计量Z，
83 85
Z
1.48
8 35
取 0.05
z 1.96
z Q z
P（样本统计量在抽样分布中出现的概率）> 0.05
所以差异不显著，接受原假设，班级与年组成绩基本一致，差异是偶然 的，这种判断有95%的可靠性。
所以拒绝原假设，差异是显著的。
当n< 30 时，样本平均数服从自由度为 n-1 的 t 分布， 所以用 t 检验。 自由度小，与正态分布曲线差别大，当自由度大于30时， t 分布曲线与正态分布曲线几乎重合。
x
t
0
s n 1
例子：县初一数学竞赛，平均分70分，某班参加26人，平均分72.6分，
标准差9.6分，问该班的成绩与全县比较是否显著？
应用范围： （1）一组数据，例如：一班期末考试的语文成绩； （2）两组数据，但单位相同，且平均分相差很小； 例如：一班与二班期末考试的语文成绩， 尤其是当平均分相同时，哪个班成绩更均衡？
2、变异系数： CV 100
X
应用范围：（1）两组数据单位不同；
例1：一班数学平均分90分，标准差2.40分； 物理平均分70分，标准差2.00分；
x x 甲 96分， 乙 78分， 甲 3.50分， 乙 3.28分；
CV甲
3.50 96
3.66，ＣＶ乙＝
3.28 78
4.21
V V Q C 乙＞C 甲 乙班的离散程度大。
三、地位量数 标准分： 表示数据距离平均分的位置量数；
Z x-x s
平均分以上各点的Z分数为正值， 平均数以下各点的Z分数为负值， 平均数的Z分数为零。
Z检验表（双尾检验）
Z 1.96 0.05
Z 2.58 0.01
Z值范围 P值 差异显著性 接受或拒
绝原假设
Z<1.96 P>0.05 不显著 接受
1.96
0.05
z<2.58
P>0.01
显著
Z 2.58 P 0.01 特别显著
拒绝 拒绝
=0.05时，Z=1.96对应的阴影部分面积两侧分别为0.025；
Q x x sz 78 81.15 87(分）
所以估计录取分约为８７分。
右半面积P=0.375 右尾面积0.125 横轴Z=1.15
显著性检验的基本思想：
检验样本统计量与总体参数间的差异，是由 抽样误差所致，还是存在本质的不同？
如：某区外语考试平均分为７０分，某校随 机抽取部分学生成绩其平均分为７３分，这 ３分之差，是随机造成的，还是该校的成绩 确实比全区的一般水平高呢？需要进行显著 性检验进行说明。
例子：年级数学平均分９０分，标准差４．２０分； 年级外语平均分６８分，标准差５．４０分；
该生数学９２分，外语８０分，哪科成绩比较好？
z1
92-90 4.20
0.48
z2
80-68 5.40
2.22
z z Q
1
外语成绩较好。
2
正态分布曲线下面积的应用
标准正态分布曲线：横轴为Z，纵轴为Y，P为面积——概率值， 整个面积为1，Z=0两边面积各0.5；曲线无限趋近于横轴。
（2）总体方差未知—— n > 30 时，
这时，可用样本方差替代总体方差。
例子：高中入学考试，语文总平均分78分，某初中班49人，
平均分75分，标准差9分，问该班成绩的差异显著性。
解：
H :
0
0
H :
1
0
75 78
Z
2.33
9 49
取
0.05 z 1.96
Q z z P 0.05
教育统计与测量 —— 成绩评价与试题评价
市教师进修学院研训处 赵炜 zhaowei2612392@
成绩评价
一、集中量数
平均分
x x N
二、差异量数
1、标准差：反映全部数据的差异情况——两极分化的程度；
( X X )2
N
X 2 ( X )2
N
N
实际计算时，可使用计算器直接按键。