§3-3 岩石的流变模型
岩石的流变本构模型 ：用于描述岩石应力－应变关系随
时间变化的规律。它是通过试验－理论－应用证实而得到的。
本构模型分类： 1、经验公式模型：根据不同试验条件及不同岩石种类求得 的数学表达式，这种表达式通常采用幂函数、指数函数、 对数函数的形式表达。 2、积分模型：是在考虑施加的应力不是一个常数时的更一 般的情况下，采用积分的形式表示应力－应变－时间关系 的本构方程。
（2）粘性介质及粘性元件（牛顿体） 满足牛顿定律 牛 d tc 顿 dt 粘
加载瞬间，无变形 即当t=0时,σ =σ 0,ε =0,则
粘性介质性质：
0 t
性 c=0 系 数
0 （1）当σ＝σ0时， 0 说明在受应力 σ0作用，要产生相应的变形 t
第二章 岩土流变力学
§2-1 岩石工程中的流变问题
地下硐室的开挖 岩基地基 岩石边坡 岩体的变形随时间增长而变化
§2-2 岩石流变力学属性
一、流变的概念 岩石的流变性:岩石应力应变关系随时间而变化的性质。 外部条件不变时，应力或变形随时间而缓慢变化。
蠕变
流变性（粘性）
松弛 弹性后效 长期强度
蠕变:蠕变是当应力不变时，变形随时间增加而增长的现象
牛顿体具有粘性流动的特点。塑性元件具有刚塑性体变形 （塑性变形也称塑性流动）的特点。 粘性流动：只要有微小的力就会发生流动。 塑性流动：只有当应力σ达到或超过屈服极限σs才会产生 流动。 粘弹性体：研究应力小于屈服极限时的应力、应变与时间 的关系； 粘弹塑性体：研究应力大于屈服极限时的应力、应变与时 间的关系；
A ( ) nc E 3 nc A( 1 ) 2G

nc 为蠕变指数
3、指数型 ： 通常形式
(t ) A1 exp f (t )
式中： A为试验常数，f(t)是时间t的函数。 如： 伊文思（Evans）对花岗岩、砂岩研究得到：
(t ) A[1 exp(1 ct 0.4 )]
i 0
t
积分形式：
0 J (t ) J (t )d ( )
0
t
0 J (t )
J (t )d ( )
0
t
积分形式的流变方程
d ( ) 0 J (t ) J (t )
0
t
令：
u J (t ), dv d ( )
0

1 1
2 2

B、卸载曲线：当t=t1时卸载，弹
性变形ε0立即恢复，则卸载曲线 为：
0 0 0 0 t t E
0 t1
0
这是不可恢复的塑性变形。
d 1 d dt E dt
C、松弛曲线：当ε 保持不变， 即ε ＝ε 0＝常数，dε /dt=0, 代入上式得：
0 (1)瞬时弹性变形阶段（OA）：
0
E
(2)一次蠕变阶段（AB）： （瞬态蠕变段/第一蠕变阶段/初始蠕变段/ 减速蠕变阶段）
d 2 0 2 d t
此阶段卸载 一部分应变瞬时恢复(PQ段) 一部分应变随时间逐渐恢复（OR段）
粘弹性
(3)二次蠕变阶段（BC）：应变速率不变 （第二蠕变阶段/等速或稳定蠕变段）
2
0
0 s s
本构方程
A、蠕变曲线：当σ 保持不变， 即σ ＝ σ 0＝常数
s : s :
考虑： s :
0 s

s
通解为： 初始条件：
加载瞬间
0 s tc
式中： A、c为试验常数
4、幂函数、指数函数、对数函数 混合型： 如： 干燥的钙质石灰岩：
(t ) (2822 5 lg t 48t 0.651) 10 6
0.49 干燥的砂岩：
56t 0.489 ) 10 6
d 2 0 2 d t
此阶段卸载 一部分应变瞬时恢复
一部分应变随时间逐渐恢复
一部分应变不能恢复（ε v）
粘弹塑性 (4)三次蠕变阶段（CD）：应变速率迅 速增加，直到破坏 （第三蠕变阶段/加速蠕变段）
d 2 0 2 d t
当应力水平 较低时，可能无此阶段 （稳定蠕变）
蠕变变形总量：ε =ε
式中：J (0) 为0时刻的应力应变关系，有：
1 J (0) E
令：
(t ) 1 K (t ) J E
材料蠕变核
(t ) 0 J (t ) J (0) ( ) J (t ) (0) ( )J (t )d
0 t
t 1 (t ) [ (t ) ( )K (t )d 0 E
0+ε 1(t)+ε 2(t)+ε 3(t)
式中：ε 0为瞬时弹性应变；ε 1(t)，ε 2(t)，ε 3(t)为与时间有关的一次蠕 变、二次蠕变、三次蠕变。ε v 为粘塑性应变， ε Q 为粘弹性应变。
3、岩石的蠕变曲线类型
类型1 ：稳定蠕变 。曲线包含瞬时弹性变形、瞬态蠕变和稳定蠕 变3个阶段（压应力10MPa，12.5MPa），无第三阶段蠕变 类型2：典型蠕变 。曲线包含4个阶段（压应力15MPa，18.1MPa） 类型3 ：加速蠕变 。曲线几乎无稳定蠕变阶段，应变率很高（压 应力20.5MPa，25MPa）变形近似直线状急剧发展，迅速破坏

积分形式的流变方程常用通式
同理
(t ) E[ (t ) ( )R(t )d
0
t
积分形式的松弛方程常用通式
材料松弛核
（三）组合模型
1、流变模型元件 （1）弹性介质及弹性元件（虎克体） ：
满足虎克定律
E
弹性介质性质： （1）具有瞬时变形性质； （2）ε＝常数，则σ保持不变，故无 应力松弛性质； （3）σ＝常数，则ε也保持不变，故 无蠕变性质； （4）σ＝0（卸载），则ε＝0，无 弹性后效。 可见，σ、ε与时间t无关(无蠕变)
(t ) (1858 58e0.01t 410t 0.687 ) 10 6
经验法简单实用，对特定的岩石试验而得，难以推广到 所有情况
（二）积分模型 （一维）
流变方程：
f ( , , t ) 0 , t ) 0 , f (
应力为常数，蠕变方程 应变为常数，松弛方程
d 1 d dt E dt
A、蠕变曲线：当σ 保持不变， 即σ ＝ σ 0＝常数，dσ /dt=0, 代入上式得：

1 1
2 2

d 0 dt 0 tc 通解为： 0 初始条件： t 0时，＝ 0＝ 加载瞬间 E 得： c = ε0 0 0 0 t t 蠕变方程： 0 E
（1）理想弹塑性介质模型 当:σ ＜σ σ =σ
s
，

E
s

s
, σ 保持不变，
o

ε 持续增大，→∞。
无蠕变、无松弛、无弹性后效
（2）理想粘塑性介质模型 σ＝σ1+σ2， ε＝ε1 =ε2 阻尼器：
: 1 s 摩擦片： 1 s :
s : s :
必须经过时间t，表明无瞬时变形，粘性元件具有蠕变性质； （2）σ＝0（卸载），则ε＝常数，故无弹性后效，有永久变形。 （3）ε＝常数，则σ=η •dε /dt＝0，粘性元件不受力，故无应力松弛 性质。
（3）塑性介质及塑性元件（圣维南体）
当: σ ＜σ
s
，ε =0
σ ≥σ
s
, ε →∞
可模拟刚塑性体的变形性质。
(t ) e B lg t D
式中：ε e 为瞬时弹性应变；B，D取决于应力性质及水平的待定常数。
如： 罗伯逊（Roberstson）根据开尔文（Kelvin）粘弹性模型通过试 验曲线修正后得到半经验公式：
(t ) e A ln t
式中：ε e 为瞬时弹性应变；A为蠕变系数。 单轴 三轴
间增加到一定程度后就趋于稳定，不再随时间增加而变化， 应变保持为一个常数。稳定蠕变一般不会导致岩体整体失稳。 （ 2 ）非稳定蠕变：岩石承受的恒定荷载较大，当岩石应 力超过某一临界值时，变形随时间增加而增大，其变形速率
逐渐增大，最终导致岩体整体失稳破坏。
2、岩石的典型蠕变曲线及其特征 典型的蠕变曲线可分为4（3）个阶段：
0 0 J (t ) 0 J (t 0)
ti时刻应力相对前一时间 步ti-1增加Δ σ i，相应应变 增量为： i i J (t i ) Δ σ 引起的总应变：
0 J (t ) i J (t i )
应力不为常数时 蠕变方程 应力随时间 的变化规律 每时刻在给定应力下的应变
蠕变方程
0 J (t )
恒定应力 t的函数
0
0时刻：作用应力：σ τ-t时刻：作用应力： σ 0 +Δ σ t时刻：应变：
0
0 J (t ) 0 J (t )
设应力增量Δ σ 作用在0时刻： τ 时刻的应变为：
d 1 1 d 1 1 d 弹簧: 1 dt E dt E dt E d 2 2 粘性元件: dt 1 d d d1 d 2 由(b): E dt dt dt dt
1
马克斯威尔模 型本构方程
马克斯威尔模型本构方程：
2、岩石的组合流变模型
基本元件 岩石一种性质 弹性 塑性
岩石性质
组合
应力： 1 2 n
粘性
串联 组合方式
应变：