第５１卷第２期 ２０１２年３月 中山大学学报（自然科学版） ＡＣＴＡ ＳＣＩＥＮＴＩＡＲＵＭ ＮＡ Ｉ ＲＡＬＩＵＭ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＡＴＩＳ ＳＵＮＹＡＴＳＥＮＩ Ｖｏｌ＿５１ Ｎｏ．２
Ｍａｒ． ２０１２
一个肿瘤化学治疗空间结构模型的定性分析 高帅帅 ，卫雪梅 ＇ （１．广东工业大学应用数学学院， ２．中山大学数学与计算科学学院，
冯兆永 广东广州５１０００６； 广东广州５１０２７５）
摘 要：研究了一个肿瘤化学治疗反应的空间结构的数学模型，这是一个动力系统模型，它是偏微分方程的自 由边界问题。假设肿瘤的繁殖和死亡由局部药物浓度决定。在一些条件下，通过运用抛物方程的 理论、压缩 映像原理证明了这个问题局部解的存在唯一性，然后用延拓方法得到了整体解的存在唯一性。在另外一些条件 下，通过运用反应扩散方程的上、下解方法，得到了：当０＜ｗ≤ｗ 时，此模型没有稳态解；当ｗ ＜ｗ＜历 时，此模型有唯一的稳态解（ｗ ，Ｒ ）。 关键词：肿瘤生长；自由边界问题；化学治疗；整体解；稳态解 中图分类号：Ｏ１７５．２ 文献标志码：Ａ 文章编号：０５２９—６５７９（２０１２）０２—００３０—０５
Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ａ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｔｈｅ Ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｏｆ Ｓｐａｔｉａｌｌｙ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄ Ｔｕｍｏｒｓ ｔｏ Ｃｈｅｍｏｔｈｅｒａｐｙ Ｍｏｄｅｌ
ＧＡＯ Ｓｈｕａｉｓｈｕａｉ ，ＷＥＩ Ｘｕｅｍｅｉ ，ＦＥＮＧ Ｚｈａｏｙｏｎｇ （１．Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ ５１０００６，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｓｕｎ Ｙａｔ—ｓｅｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ ５１０２７５，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｏｆ ｓｐａｔｉａｌｌｙ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄ ｔｕｍｏｒｓ ｔｏ ｃｈｅｍｏｔｈｅｒａｐｙ：ｄｒｕｇ ｋｉ— ｎｅｔｉｃｓ ｉｓ ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ａ ｆｒｅｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ａ ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ｔｕｍｏｒ ｉｓ ａｓ— ｓｕｍｅｄ ｔｏ ｃｏｍｐｒｉｓｅ ａ ｓｉｎｇｌｅ ｃｅｌｌ ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｒｅｐｒｏｄｕｃｅｓ ａｎｄ ｄｉｅｓ ａｔ ａ ｒａｔｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｎ ｔｈｅ ｌｏｃａｌ ｄｒｕｇ ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎ．Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｔｈｅ Ｌｐ—ｔｈｅｏｒｙ ｆｏｒ ｐａｒａｂｏｌｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｔｈｅ Ｂａｎａｃｈ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ ａｎｄ ｔｈｅ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓ ｍｅｔｈｏｄ ｕｎｄｅｒ ｓｏｍｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｉｔ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ ｈａｓ ａ ｕ— ｎｉｑｕｅ ｇｌｏｂａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ａｎｄ ｔｈｅｎ，ｂｙ ａｐｐｌｙｉｎｇ ｕｐｐｅｒ ａｎｄ ｌｏｗｅｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｒｅａｃｔｉｏｎ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｕｎｄｅｒ ｓｏｍｅ ｏｔｈｅｒ ｇｅｎｅｒａｌ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｉｔ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈａｔ ｉｆ０＜ｗ≤ｗ ，ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ＩｆＷ ＜Ｗ＜历，ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｓｏｌｕｔｉｏｎ （Ｗ （ｒ），Ｒ ）（Ｒ ＞０）． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｔｕｍｏｒ ｇｒｏｗｔｈ；ｆｒｅｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｐｒｏｂｌｅｍ；ｃｈｅｍｏｔｈｅｒａｐｙ；ｇｌｏｂａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｓｏｌｕｔｉｏｎ
早在２０世纪７０年代人们就发现，肿瘤生长的 基本规律在数学上可表述为偏微分方程的自由边界 问题 。在生物和医学中，很多关于体内和体外 肿瘤细胞生长的模型已被提出。随着人们研究的深 人，考虑的参量越来越多，描述的肿瘤生长的自由 边界问题的形式也越来越复杂。目前，关于这些自 由边界问题的严格数学分析正在逐步深入地进行 着，并且已经得到很多有意义的结果 。 本文研究了一个肿瘤化学治疗反应的空间结构 模型。这个模型是Ｎｏｒｒｉｓ等在文［１Ｏ］中提出来
收稿日期：２０１１—０５—１９ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１１１７１３５７）；广州市科技计划资助项目（２０１０Ｃ６一１０００１１）；教育部留学回 国人员科研启动基金资助项目 作者简介：高帅帅（１９８６年生），女，硕士生；通讯作者：卫雪梅；Ｅ—ｍａｉｌ：ｗｘｍ—ｇｄｕｔ＠１６３．ｃｏｎ 第２期 高帅帅等：一个肿瘤化学治疗空间结构模型的定性分析 ３１ 的。这里假设肿瘤生长模型是连续的（ｉ．ｅ．繁殖 和死亡的过程是连续的），肿瘤细胞球体对称且是 不可压缩的，药物按比例浓度抑制细胞生长。这是 一个简单的肿瘤细胞生长模型，它使药物的化学治 疗的效果尽可能的明显。这实质上是一个偏微分方 程的自由边界问题。这个问题的具体模型如下： （ｒ ）＝ｋ 一ｋ（ｗ），０＜ｒ≤ｓ（ｔ）， ＞ｏ（１） ０ｗ 十 １ ０，（ｒ ＝ １，一０（ｒ２ ）一 ， ０＜ｒ＜Ｓ（ｔ），ｔ＞０ （２） ： （ｓ（ ），￡）， ＞０ （３） ｓ（ｏ）：１， （ｒ，０）＝Ｗ。（ｒ），０≤ｒ≤．ｓ（ ）（４） （ｏ，￡）＝０， （ｏ， ）＝０， ＞０ （５） 钾（Ｓ（￡）， ）＝ （ ），ｔ＞０ （６） 其中 ，Ｗ，Ｓ是未知函数，它们分别代表活肿瘤细胞 移动速度、药物浓度和肿瘤细胞球体半径，ｋ 为细 胞净繁殖率（ｉ．ｅ．ｋ ＝细胞繁殖率一细胞死亡率）， ｋ 是正常数。且 ＝ｋｏｒ２ｏ／Ｄ ， ＝Ｄ ％Ｗ０ ／（ｋｏ ） 是无量纲参数，其中ｋ。是在理想状况下（ｉ．ｅ．在 养分充足、空间自由、细胞增殖不受阻碍的条件 下）的细胞繁殖率，ｒ０是肿瘤的初始半径，Ｄ 是药 物扩散系数，ｏＬ。是与药物降解率有关的细胞杀伤 率，ｗ。外部最高药物浓度， 单个活肿瘤细胞的平 均体积，ｋ。，ｒ。，Ｄ ，Ｗ。， 是正常数，从而卢， 也是正常数。考虑了两种不同形式的药物效用函数 （Ｗ）： （ ）： ， 。 。（１） Ｌ ／（ｋｄ＋Ｗ），ｃａｓｅ（Ⅱ） 其中 是药物效用函数，ｋ 是一个临界药物浓度。 易知Ｃａｓｅ（Ｉ）线性动力系统和Ｃａｓｅ（１Ｉ）米氏动 力系统有不同的形式，显然ｋ（ｗ）是Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续 的。 本文的主要目的是对这个非线性问题做严格的 数学分析。我们将讨论以下３个问题：①局部解的 存在唯一性；②整体解的存在唯一性；③稳态解的 分布。 在第１—３节中，将在下面的假设下讨论整体 解的存在唯一性： （Ａ ）０≤Ｗ（ｔ）≤面，其中历是一个正常数； （Ａ：）Ｗ。（ｒ）在０≤ｒ≤Ｓ（ｔ）时是连续可微的， Ｗ ０（ｒ）是Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续的，ｉ．ｅ．Ｗ（ｒ）∈ ’ （０，Ｔ）。 在第４节中将在下面假设下讨论稳态解的分 布： （Ｂ，）ｆ Ｅ Ｃ ［０，０Ｏ），厂（Ｗ）＞０， ０）＝０（即 对Ｖ Ｗ＞０，有 Ｗ）＞０），其中 Ｗ）如第４节中 定义）。 （Ｂ ）ｇ∈Ｃｌ［０，∞），ｇ （Ｗ）＜０且在任意的区 间上不恒等于零，且存在 ＞０使得ｇ（Ｗ ）＝０ （即当０＜Ｗ≤Ｗ 时，ｇ（Ｗ）＞０；当Ｗ ＜Ｗ＜历 时，ｇ（Ｗ）＜０），其中ｇ（Ｗ）如第１节中定义。 （Ｂ。）＝（Ａ ）。 本文主要结果如下： 定理１假设条件（Ａ。），（Ａ ）满足，则对 任意的Ｔ＞０，系统（１）一（６）存在唯一的整体解 （ｓ（ｔ），仞（ｒ，ｔ）），当０≤ｔ≤Ｔ时，ｓ（￡）∈Ｃ ［０，Ｔ］， 且０≤Ｗ（ｒ，ｔ）≤面。 定理２假设条件（Ｂ ），（Ｂ ）和（Ｂ ）满 足，则下列结论成立： （ｉ）当ｇ（ｗ）＜０时，或者等价地说Ｗ ＜ ＜面 时，系统（１）一（６）有唯一的稳态解。 （ｉｉ）当ｇ（面）＞０时，或者等价地说Ｏ＜Ｗ≤Ｗ 时，系统（１）一（６）没有稳态解。
１问题的简化 将（１）代入（２）可得一个等价的问题如下 （Ｆ２ｙ）＝ｇ（ ），０＜ｒ≤．ｓ（ ），￡＞０（７） Ｏｗ＋ Ｏｗ
＝ （ｒ２ ）一ｇ（ｗ）一ｈ（ｗＶ Ｗ Ｗ Ｗ），＿十——＝— ——ｌ ｒ— — Ｊ一 ，．
Ｂ 、 ～
０＜ｒ＜Ｓ（ ），ｔ＞０ （８）
： （ （ ），￡），￡＞０ （９） ｓ（ｏ）＝１，Ｗ（ｒ，０）＝Ｗ０（ｒ），０≤ｒ≤Ｓ（￡） （１Ｏ）
ｖ（Ｏ， ）：０， （０， ）＝０，ｆ＞０ （１１） （Ｓ（ｆ），ｔ）＝Ｗ（ ），ｔ＞０ （１２） 其中 ｇ（ｗ）＝ 一 （Ｗ），ｈ（ｗ）＝ （ｗ）／（ｆｌａ） 显然ｇ（Ｗ）和ｈ（Ｗ）是Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续的。 作变量替换
Ｊ ｏ （１３） ¨ 并记 “（ｚ，下）＝．ｓ（￡） （ｒ，ｔ）， （ｒ）＝Ｊｓ（ ），ｎ（ｚ，ｒ）＝ｗ（ｚ，ｔ） 则自由边界问题（７）一（１２）转换为在固定区域 ｛（ ，７－）１０≤ ≤１， ≥０｝上的初边值问题如下： ３２ 中山大学学报（自然科学版） 第５１卷 １，ｄｚ０（ｚ２ｕ）＝叼 （ ）ｇ（凡）
，ｏ＜ ＜ｌ， ＞０
（１４） ｕ（０， ）＝０， ＞０ （１５） Ｏ ｎ ＋ｄ（ ） ＝ １ ０（ｚ ｏ ｎ）
Ｂｚ ｄｚ — ｄＴ ｄｚ ｄｚ
Ｐ（ ，／２）／２一ｑ（．，７，ｎ），０＜ｚ＜１， ＞０（１６）
＝ ） ，丁），ｒ＞０（１７） ＇７（０）＝１，ｎ（ｚ，０）＝ｎｏ（ ），０＜ ＜１（１８） Ｏ ｎ（、ｏ，７－）＝０，丁＞０ （１９）
ｎ（１， ）＝ｎ（ｒ）， ＞０ （２０） 其中 ｄ（ ，丁）＝ｕ（ｚ，ｔｒ）一 Ｍ（１，ｒ） 且 Ｐ（７７，ｎ）＝叼 （ ）ｇ（ｎ），ｇ（叼，ｎ）＝叼 （ ） （ｎ） （２１） 上面的结果可以总结为如下引理。 引理１ 在变量替换（１３）下，初边值问题 （１４）一（２０）与自由边界问题（７）一（１２）是等价的。
２基本引理 下面我们将介绍一个基本引理，首先引进一些 记号： （ｉ）记Ｑ ＝｛（ ， ）１ ０＜ｚ＜１，０＜ ＜Ｔ｝，Ｔ ＞０； （ｉｉ）对１≤Ｐ＜∞，记 ’ （Ｑ ）为抛物区域 Ｑ，上的ｔ向异性Ｓｏｂｏｌｅｖ空间，ｉ．ｅ． ’ （Ｑ ）＝｛“∈ （Ｑ ）ｆ ｅＬ （Ｑ ），ｍ＋２ｋ≤２｝