局部脑血流测定 摘要 本文主要对人体大脑局部脑血流量进行测定，实验使受试者吸入某种放射性同位素的气体，定时测量放射性计数率和呼出气的计数率，由计数率变化速率与计数率和呼出气计数率的关系，求解头部计数率的随时间变化的关系。 针对问题1，首先根据题设可知：由脑血流引起局部地区记数率下降的速率与当时该处的记数率成正比与动脉血从肺输送同位素至大脑引起脑部记数率上升的速率与当时呼出气的记数率成正比的两个关系，得到脑部计数率的变化量的

二元一阶线性非齐次常微分方程：MNdtdN；采用消元法，引入呼出气记

数率与时间的关系函数)(tfM，设定初始值：00|NNtt，可建立一阶线性非

齐次常微分方程模型：0'0|)(NNtfNNtt，进行求解。 针对问题2，对上述模型进行求解，首先对原始数据脑部计数率与时间，呼出气计数率与时间的关系用Matlab进行拟合，得到拟合曲线，由曲线看出呼出气计数率与时间大致成指数关系，进而对呼出气计数率进行取对数的数据变化，

用Matlab进行一次多项式拟合，拟合结果得到：1648.94808.1)(tetfM。将

)(tfM带入微分方程根据一阶线性非齐次常微分方程的通解得)4808.1()4808.1(1648.9CeeeNtt



。用MATLAB对其进行最小二乘法拟

合，求得正比系数501.0，4073.0。 问题二结果检验：1、初值检验：将1t带入，得0N1535与所给初始值1534近似相等，误差r%065.0%100153415341535非常小，验证了结果的准确

性；2、差值检验：由图得差值在直线0y上下波动较小。因此结果比较准确。

关键字 脑血流量系数 常微分方程模型 最小二乘法 差值图 Matlab

一．问题重述 用放射性同位素测定大脑局部血流量的方法如下：由受试者吸入含有某种放射性同位素的气体，然后将探测器置于受试者头部某固定处，定时测量该处的放射性记数率（简称记数率），同时测量他呼出气的记数率。 由于动脉血将肺部的放射性同位素传送至大脑，使脑部同位素增加，而脑血流又将同位素带离，使同位素减少。实验证明由脑血流引起局部地区记数率下降的速率与当时该处的记数率成正比。其比例系数反应该处的脑血流量，被称为脑血流量系数，只要确定该系数即可推算出脑血流量。动脉血从肺输送同位素至大脑引起脑部记数率上升的速率与当时呼出气的记数率成正比。某受试者的测试数据见附表1。 根据题目所给条件与数据，求解一下问题： 1.建立确定脑部血流系数的数学模型； 2.计算上述受试者的脑血流系数。 二．问题分析 2.1 对问题1的分析： 针对问题1，题目中给出了动脉血，脑血流对脑部计数率的影响。首先，脑血流引起局部地区记数率下降的速率与当时该处的记数率成正比，且比例系数反应该处的脑血流量。另外，脉血从肺输送同位素至大脑引起脑部记数率上升的速率与当时呼出气的记数率成正比。由这两个正比关系即可得到脑部地区计数率总的变化率与时间的关系，列出微分方程，建立微分方程数学模型。 2.2 对问题2的分析： 针对问题2，由问题1建立的微分方程模型进行求解。考虑模型是二元一阶方程，无法求解。我们对呼出气的计数率与时间的数据进行处理，用matlab进行拟合得到它们之间的关系方程，带入模型，模型变为一阶线性常微分方程，进而可以求解。

三．模型假设 1.假设题目所给数据均真实可靠； 2.假设受试者的脑血流量不受吸入放射性同位素气体的影响； 3.假设受试者在吸入放射性同位素气体前，脑中无这种放射性同位素气体； 4.假设脑部计数率的下降只与脑血流有关，且下降速率与该处的计数率成正比； 5.假设脑部计数率的上升只与动脉血有关，且上升速率与当时呼出气的计数率成正比； 6.假设每次测量的数据均是相互独立的。

四．符号说明 符号 意义 t 表示时间

)(tN t时刻头部计数率

)(tM t时刻呼出气计数率 )0(

脑部计数率下降的速率与该处计数率成正比关系的比例系

数

 脑部计数率上升的速率与当时呼出气的计数率成正比关系的比例系数 K 自定义常数，1648.94808.1eK

r 误差的大小

 差值

五．模型的建立与求解 5.1.1建模准备 过程分析：以脑部计数率为研究对象，脑部计数率的变化分两个过程：1、脑血流使得脑部计数率下降，并且下降速率与该时刻脑部计数率成正比；2、动脉血使得头部计数率上升，并且上升速率与该时刻呼出气计数率成正比。如图1：

动脉血

头部计数率 脑血流

上升：速率与该时刻头部计数率成正比

下降：速率与该时刻呼出气计数率成正比 图1 头部计数率变化流程图 5.1.2 建模过程 根据头部计数率变化流程图建立以下模型：

设t时刻头部计数率为)(tN，呼出气计数率为)(tM，经过dt时刻，由脑血

流引起的头部计数率的变化NdtdN1，)0(；由动脉血引起的头部计数率的变化MdtdN2，则经过dt时刻头部计数率的总变化量MdtNdtdNdNdN21，即：

MNdtdN，此方程为二元一阶常系数线性常微分方程。 消元法求解：该方程为二元方程，不能求解，考虑消去M。引入呼出气计数率M

与时间t的函数关系：)(tfM，带入原方程得：)(tfNdtdN，即： )('tfNN此方程为一阶线性非齐次常微分方程。设定初始值：00|NNtt，

即求解：0'0|)(NNtfNNtt 5.2.1 模型求解 受试者脑血流系数的计算： 将原始数据脑部计数率与时间，呼出气计数率与时间的关系用matlab进行拟合，得到拟合曲线如图2， 图2 计数率随时间变化趋势图 由图可以看出呼出气计数率与时间大致呈指数函数关系，因此，对呼出气数据进行取对数变换，得表2：

表2 呼出气计数率对数变换表

取对数大于0的部分，用MATLAB进行一次多项式bkty拟合，得拟合系数1648.94808.1bk，拟合曲线如图3：

时间 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5 5.25 5.5

5.75

呼出气记数率 2231 1534 1054 724 498 342 235 162 111 76 52 36 25 17 12 8 6 4 3

2 取对数 7.7102 7.3356 6.9603 6.5848 6.2106 5.8348 5.4596 5.0876 4.7095 4.3307 3.9512 3.5835 3.2189 2.8332 2.4849 2.0794 1.7918 1.3863 1.0986 0.6931 图3 对数变换一次拟合直线 与原始数据得到很好的匹配。取对数后1648.94808.1ty，即

1648.94808.1)ln(tM，1648.94808.1)(tetfM

5.2.2 残差分析： 残差平方和的概念：为了明确解释变量和随机误差各产生的效应是多少，统计学

上把2'1)(yyinii公式数据点与它在回归直线上相应位置的差异称残差，把每个残差平方后加起来称为残差平方和。 对所求的的函数进行数据残差分析：用MATLAB工具求得该残差平方和为：0179.0R，残差平方和很小，说明误差很小。

5.2.3数据检验： 绘制原始数据与M函数的对比图，如图4： 图4 数据检验图 将M代入原方程： 





01648.94808.1'0|NNeNN

ttt

根据线性一阶非齐次微分方程的通式)()(xqyxpdxdy及其通解形式])([)()(Cdxexqeydxxpdxxp，解得：

)4808.1()4808.1(1648.9CeeeNtt



令1648.94808.1eK 得ttCeKeN4808.1，其中都为常数,,CK。 5.2.4模型结果： 采用最小二乘法进行拟合，拟合曲线见图5： 图5 最小二乘拟合曲线 得到参数：501.02.40249.3971CK,根据1648.94808.1eK求得动

脉血头部计数率上升系数4073.0 5.2.5模型检验： 5.2.5.1初值分析检验

当1t时，0NN 代入得：1t时，0N1535与所给初始值1534近似相等 所得误差为：r%065.0%100153415341535误差非常的小，因此验证了该模型

的准确性。 5.2.5.2差值分析检验 设t时刻头部计数率的真实值为y表示，拟合值为'y，差值'yy。做时间——差值图：