（2）在3与7的公倍数中找除以5余3的数。 ∵[3，7]=21，21÷5=4（余1），（21×3）÷5=12（ 余3），∴63就是符合条件的数。
（3） 在3与5的公倍数中找除以7余2的数。 ∵[3，5]=15，15÷7=2（余1），（15×2）÷7=4（余 2），∴30就是符合条件的数。
（4） 将上面得到的分别符合三个条件的三个数相加: 70×2+21×3+15×2=233。
二、一次同余方程组
定理１：设 m1,,mk 是两两互素的正整数,那 么对于任意整数 a1,,ak ,一次同余方程组
x a 1 (mod m 1 )

x


a
2 (mod

m2
)
x a k (mod m k )
必定有解，
明朝程大位编著的《算法统宗》里记载 了此题的解法，他是用一首歌谣叙述出来的：
三人同行七十稀， 五树梅花廿一枝， 七子团圆正半月， 除百零五便得知。
解答算式是： 70×2＋21×3＋15×2＝233， 233－105×2＝23.
上面解法的步骤及理由是：
（1） 先在5与7的公倍数中找除以3余1的数，进而找到 除以3余2的数。 ∵[5，7]=35，35÷3=11（余2），（35×2）÷3=23（ 余1），而（70×2）÷3=46（余2），∴140符合条件。
∴23是满足该题的最小解， 它的所有解为 X=105k+23(k=0,1,2, …)。
注释：
‘‘物不知其数’’问题及其解答，是
我国古代研究一次同余方程组并取得辉煌成 果的经典例证。
上面的解法中，总是先求出余1的数，再 求出余几的数，这种解法逐渐被总结为简洁 实用的‘‘求一术’’。‘‘物不知其数 ’’又名 ‘‘秦王暗点兵’’。
∵70（或140）是5和7的倍数，而3除余1（或余2） 的数。21（或63）是3和7的倍数，而5除余1（或余 3）的数。15（或30）是3和5的倍数，而7除余1 （或余2）的数。
∴233是满足除以3余2、除以5余3和除以7余2的数。 又∵[3,5,7]=105，233-2×105=23也是它的解，而 且23＜105。
其解为 xM 1M 1 1a 1M kM k 1ak(m m )o ，这d里
mm1mk ，M
j

m mj
，
MjMj11(modmj) ，(1 j k) 。
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一次同余方程
一、‘‘物不知其数’’问题及其 解法
二、知其数’’问题及其 解法
大约在公元4世纪，我国南北朝时期有一部 著名的算术著作《孙子算经》，其中就有这样一 个‘‘物不知其数’’问题：
“今有物， 不知其数， 三三数之剩二， 五五数之剩三， 七七数之剩二， 问物几何？ 答曰：二十三”。