关于复半单线性李代数的loop 代数的幂零元的一些结果占 国 兴 （指 导 教 师：舒 斌）[摘要] 本文讨论了复半单线性李代数g 的无限维loop 代数g L g L C ⊗≅)(中的幂零元问题，包括：①给出了)(g L 中幂零元的刻画，得到了与有限维复半单李代数情况下一致的结果．②对照有限维复半单李代数的Jacobson-Morozov 定理，给出了)(2sl L 中所有可能的Jacobson-Morozov 意义下的标准三元组（即构成同构于2sl 的子代数的一组标准基），从而给出)(2sl L 中所有具有如Jacobson-Morozov 定理中所述的能“嵌入”某一标准三元组这一性质的幂零元的具体形式．由此说明该定理在)(g L 的情形下不成立；给出了)(},,{g L Y X H ⊆成为标准三元组的必要条件．③类似于有限维复半单李代数在内自同构群作用下幂零轨道的刻画，在)(g L 中引入等价关系．由此引入幂零元的“轨道”，并给出“轨道”的刻画：每个“轨道”由确定的自然数的分划来决定．[关键词] loop 代数、幂零元、标准三元组、轨道、分划0 基本概念与记号以下总假定2),,(≥⊆n C n gl g 是域C 上的半单线性李代数（关于李代数的基本概念，请参看[3]）, l g C=dim．],[1-=tt C L 为C 上的Laurent 多项式代数． 令g L g x L t f x t f g L C i i i ni i ⊗≅∈∈=∑=},)(|)({)(1，则)(g L 关于以下换位运算构成C 上的无限维李代数：g y x L t g t f y x t g t f y t g x t f ∈∈∀=,,)(),(],,)[()(])(,)([，称)(g L 为C 上g 的loop 代数（参看[4]）．不妨将)(g L 中的元素看成以Laurent 多项式为元素的n 阶矩阵，例如：)(2sl L 中的任意元素均可表示为如下形式：L ,c(t),a(t),b(t)(t)c(t) -a t)a(t) b( c(t) b(t) - a(t)∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛≅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010*********．定义1：设,0)(,1,=≥∈m adx m g x 使得若存在则称x 在g 中幂零．定义2：设,0)(,1),(=≥∈m adX m g L X 使得若存在则称X 在)(g L 中幂零．定义3：设g y x h ∈,,，y x h ,,都不为0，若h y x y y h x x h =-==],[,2],[,2],[， 则称},,{y x h 为g 中的标准三元组．定义4：设)(,,g L Y X H ∈，Y X H ,,都不为0，若H Y X Y Y H X X H =-==],[,2],[,2],[， 则称},,{Y X H 为)(g L 中的标准三元组．1 )(g L 中幂零元的刻画关于g 中的幂零元的刻画，我们有下述结果（参看[1] Proposition 1.1.3）：设),,(C n gl g x ⊆∈则x 在g 中幂零当且仅当0,1=≥m x m 使得存在．在)(g L 中，我们可得到类似的刻画：定理1：)(g L X ∈在)(g L 中幂零当且仅当0=nX ．证明：将)(g L 视为L 上的李代数，),(g L X ∈∀可仿照域C 上的李代数情形作出)(g L 的导子adX 在g 的任一组基}2,1|{l i g x i =∈下的变换矩阵．设i li ij j x t f x adX )()(1∑==,,)(L t f ij ∈l j ≤≤1，则令adX 在此组基下的变换矩阵为))((t f ij ．接下来给出证明中要用到的三个引理：引理1：设00,1),,(==≥∈nmxxm C n gl x 当且仅当使得则存在 (参看[6]) ．引理2：设0g ),,(=⊆∈nxx C n gl g x 中幂零当且仅当在则．证明：由[1]Proposition 1.1.3，再利用引理1，可看出结论． #引理3：存在无限多个0,≠∈a C a 使得)())((C M a f n ij ∈幂零（这里指矩阵的幂零性） 的充要条件是：存在,1≥m 使得0))((=mij t f ．证明：充分性：显然．必要性：))(())((t g t f ij lij =设,注意到)())((C M a g l ij ∈，利用引理1，则存在无限 多个0,≠∈a C a 使得0))((=a g ij ，于是有l j i t g ij ≤≤=,1,0)(，))((t g ij 0=，即 0))((=lij t f ．取l m =即可． #现在来完成定理1的证明：设,)(,)(1L t l x t lX i i li i∈=∑=由定义有)(g L X ∈在)(g L 中幂零当且仅当,0)(,1=≥m adX m 使得存在而根据)(g L 及))((t f ij 的定义，后者又等价于存在0))((,1=≥mij t f m 使得．由引理3，这又等价于存在无限多个0,≠∈a C a 使得)())((C M a f n ij ∈幂零．再由引理2，可得知它的充要条件为：存在无限多个0,≠∈a C a 使得0))((1=∑=ni pi i x a l ，而这相当于0))((1=∑=ni pi i x t l ，即0=nX．综上所述，定理1成立．#注记：实际上，由上述证明过程不难看出，)(g L X ∈在)(g L 中幂零当且仅当0)(=ladX ， 当且仅当0=nX ．注意到2sl 中元素x 幂零当且仅当0)det(=x ，不难得到推论1：)(2sl L X ∈在)(2sl L 中幂零当且仅当0)det(=X ．2 关于)(2sl L 中所有可能的标准三元组及Jacobson-Morozov定理在)(g L 情形的讨论关于g 中的幂零元与标准三元组的关系，我们有以下结论：Jacobson-Morozov 定理（参看[1]）：对于g 中的任一幂零元x ,总存在g y h ∈,,使},,{y x h 为一标准三元组．我们把具有Jacobson-Morozov 定理所述性质的幂零元称为能嵌入某一标准三元组的幂零元．引理4：设},,{y x h 为g 中的标准三元组,则x 在g 中幂零．证明：由2sl 的有限维表示理论（参看[2]2.2及[3]定理6.1.6），再利用[1]Propostion1.1.3，可 得结论． #由引理4，我们立即可以得到)(},,{g L Y X H ⊆成为标准三元组的一个必要条件：推论2：设},,{Y X H 为)(g L 中的标准三元组，则X 在)(g L 中幂零．证明: 设g x L t l x t lX i i i pi i∈∈=∑=,)(,)(1,由引理4及引理1，可知0,00≠∈∀t C t ，0))((01=∑=ni pi i x t l ，于是，0))((1==∑=ni pi i nx t l X．由定理1，中幂零在L(g)X ． #很自然的，我们来考虑在)(g L 的情形下，Jacobson-Morozov 定理的情形如何？对于2sl g =，我们将给一个完整的解答．下面我们将确定)(2sl L 中所有可能的标准三元组．设},,{Y X H 为)(2sl L 中的一标准三元组，可令 Lc c c b b b a a a -ac b a ,Y -ac b a ,X -ac b a H Y X H Y X H Y X H Y YY Y X XX X H HH H ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,,,,,,,,,满足H Y X Y Y H X X H =-==],[,2],[,2],[．定理2：)(2sl L 中标准三元组},,{Y X H 的所有可能形式为：I)1=H a①⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--------n H n n H nH nH t a b t a ta b t a b Y at X b H 11121 21 41- 21-,0 0 0,1- 0 1， Z n b L b a C a H H ∈≠∈≠∈,0,,0,． ②⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--0 0 0,0 0 0,1- 00 11 n nt a Y at X H ，Z n a C a ∈≠∈,0,． ③⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--0 0 0,- - ,1- 2-0 1X 2X1 X n n n X n at Y aat a t a a X at a H ，0,,,0,≠∈∈≠∈X X a L a Z n a C a ．II)1-=H a设上面的情形1=H a 中可能的标准三元组为},,{000Y X H ，则1-=H a 时所有可能的标准三元组为},,{000X Y H ---．III)12≠Ha当且仅当X H H Y H H Y H H X H H a c a a b a a c a a b a )1( ,)1( ,)1( ,)1(++--H H HY X c b a a a =-=214时，有如下标准三元组：．L a a c b a -a a ac a a ba ,Y -a a ac a a b a ,X -ac b a H Y X H H H Y H YH H Y H Y X H X H H X HX H HHH ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,,,, , 11 11证明：由标准三元组的定义可得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=-⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-)9( 22)8( 22)7( )6( )5( )4( 2)3( )2( )1( 2H Y X YX H Y X Y X H Y X Y X Y Y H YH Y Y H Y H Y Y H Y H X X H XH X X H X H X X H X H c c a a c b a b b a a b c c b c c a a c b a b b a a b c c b c c a a c b a b b a a b c c b 由以上九个式子，容易得到H H H H Y H Y H X H X H Y H Y H X H X H H c b b a b c c b a b b a a b b a b c c b b 22))(())((+=--+---=H H H H Y H Y H X H X H Y H Y H X H X H H c a b c c a a c b c c b b c c b c a a c c 22))(())((+=--+---=3))(())((H H H H Y H Y H X H X H Y H Y H X H X H H a c b a a b b a c a a c c a a c a b b a a +=--+---=由以上三个式子，0)1(,0)1(,0)1(222=-+=-+=-+H H HH H H HH H H HH c b a c c b a b c b a a ．由0≠H ,必有 12=+H H H c b a （10） 下面分三种情况讨论：I) 1=Ha由（2）有0=X H a b , 由（10）有0=H H c b ．接下来分两种情况：0≠H b ,则由（6），0==X H a c ．由（1），0=X c ． 由（7）, 1=Y X c b , 于是可令 Z n a C a ta c atb nY nX ∈≠∈==--,0,,,1由（4），nH Y t a b a ---=121．再由（5），nH Y ta b b ---=1241此时可写出相应的},,{Y X H 的形式：Zn b L b a C a t a b t a t a b t a b Y at X b H H H n H n n H nHn H ∈≠∈≠∈⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--------,0,,0, 21 41- 21-,0 0 0,1- 0 1111210=H b ,由（6），0=Y H a c ．再分(1.2.1)(1.2.2)两种情况讨论：0=H c ，由（3），0=X c ．由（9），0=Y X c a ．由（5），0=Y b ．由（4）， 0=Y a ．再由（7），1=Y X c b ．结合0=Y X c a 有0=X a ．此时可写出相应 的},,{Y X H 的形式：Zn a C a t a Y at X H n n∈≠∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--,0,0 0 0,0 0 0,1- 00 110≠H c ，由0=Y H a c 可知0=Y a ．由（4），0=Y b ．由（9），Y X H c a c 2-=． 由（7），1=Y X c b ．再由（3），Y X X c a c 2-=．此时可写出相应的},,{Y X H 的形式：,,,0,0 0 0,- - ,1- 2-0 1X 2X1 X ≠∈∈≠∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--X X n n n X n a L a Z n a C a at Y a at a t a a X at a H II) 1-=Ha此时设上面的情形1=H a 中的标准三元组为},,{000Y X H ，则1-=H a 时的标准三元组为},,{000X Y H ---．III)12≠Ha由（2），X H H X a b a b =-)1(， 由（3），X H H X a c a c =+)1(， 由（5），Y H H Y a b a b =+)1(， 由（6），Y H H Y a c a c =-)1(，由上面四个式子可以得出X H H Y H H Y H H X H H a c a a b a a c a a b a )1( ,)1( ,)1( ,)1(++--． 结合上面四个式子及（8）（9）可得)1(4 ),1(422-=--=-H H Y X H H H Y X H a c a a c a b a a b ． 由上面两式可得142-=-H Y X a a a ．否则，将有0==H H c b ，结合（10）有12=H a ，则又回到第一、二种情形．综合所述事实，在满足X H H Y H H Y H H X H H a c a a b a a c a a b a )1( ,)1( ,)1( ,)1(++--H H HY X Hc b a a a a =-=≠2214,1的条件下，不难验证L a a c b a -a a ac a a ba Y , -a a ac a a b a ,X -ac b a H Y X H H H Y HYH H Y H Y XH X H H X HX H HHH ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,,,, , 11 11为一标准三元组．至此已给出了)(2sl L 所有可能的标准三元组的形式． #推论3：)(2sl L 中的幂零元X 可嵌入标准三元组中（即存在)(,2sl L Y H ∈，Y H ,都不为0，使},,{Y X H 成为)(2sl L 中的标准三元组）当且仅当X 具有下列形式之一： ①Z n a C a at X at X n n ∈≠∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=,0,0 0 0 0 0 0 ，，或 ②L a Z n a C a a at a t a a X Xn n X ∈∈≠∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--,,0,- - X 2X1 ， ③L p Z n a C a p p p at X X X n∈∈≠∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛=,,0,- 1- X 2X ， ④存在 ,)1( ,)1( ,)1( ,,,,Y H H Y H H X H H Y H H H a b a a c a a b a L a c b a +--∈使 X H H a c a )1(+，H H HY X Hc b a a a a =-=≠2214,1，此时L a -a a ac a a b a X X X H XH H X HX∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=,11．推论4：Jacobson-Morozov 定理在)(g L 的情形下不成立．也就是说，并不是)(g L 中的每个非0幂零元X ,都存在非0的)(,g L Y H ∈，使得H Y X Y Y H X X H =-==],[,2],[,2],[．证明：取2sl g =．Z n a C a at c b c X b X n X X X X ∈≠∈≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,0,,,,0 0 000 0或当时,0)det(=X ．由推论1，X 在)(2sl L 中幂零．但由推论3，X 不可嵌入任一标准三元组中． #3L(g)中的幂零“轨道”考虑g 的内自同构群在g 上的作用，我们把g 中幂零元在g 的内自同构群作用下的轨道称为g 中的幂零轨道（参看[1]）．g 中只有有限多个幂零轨道．所有g 中的幂零轨道与一些带权的Dynkin 图之间存在着一一对应．那么，)(g L 中的幂零“轨道”的刻画又如何呢？下面将通过)(g L 中一等价关系来刻画)(g L 中的幂零“轨道”．在)(g L 中规定一关系“~”：设)(,g L Y X ∈，当且仅当存在Y ~X ),(g L P ∈P Y X P P ⋅=⋅≠,0)det(．引理5：以上定义的关系“~”为)(g L 中的等价关系．证明：记L 的分式域为^L ，类似的有g L g L C ⊗≅^^)(，不妨将)(g L 等同于)(^g L 中相应的元素．则上述关系“~”实际上就是域^L 上的矩阵的相似关系：尽管域^L 上的矩阵的相似关系为X,Y )(^g L ∈,X~Y 当且仅当存在P Y X P P g L P ⋅=⋅≠∈,0)det(),(^满足，但当)(),(^g L P g L P ∉∈时，只须取作为L 的分式域上的矩阵P 的各元素“分母”乘积)(t f ,令P t f P ⋅=)('，则有'''),(YP X P g L P =∈．于是，~为域^L 上的矩阵的相似关系在)(g L 上的限制，引理5得证． #设X 在)(g L 中幂零,不难看出，X 的“~”等价类中元素都在)(g L 中幂零．于是我们可将上面定义的幂零元等价类看作幂零“轨道”，以便同g 中的幂零轨道相比较．下面将引进分划的概念．自然数n 的分划为一个有序正整数组],,,[21k d d d ，满足n d d d d d d k k =++>≥≥≥ 2121,0．记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k k d d d d d d JJ J X 0 0 0 0 0 0 00 0 2121],,,[ ，其中i d J 为i d 阶对角线元素为0的Jordan 块，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 1 0 id J ．下面仍采用引理5证明中的记号．域^L 上的幂零矩阵必相似于对角线元素为0的Jordan 矩阵（参看[5],3.10,ex6），故)(g L 中的幂零元等价类由n （),(C n gl g ⊆）的一个分划唯一确定，即存在n 的唯一分划],,,[21k d d d ，使],,,[21~X k d d dX ．我们把这样的],,,[21k d d d 称为)(g L 的一个特征分划．．．．；相仿的，可定义g 在相似等价关系下特征分．．．划．．为了记录分划中同一数出现的次数，引入指数记号： r i r r r i defi r i i t t t t t t t t t t t t rr>>>=2111121],,,[],,[121我们知道，g 中幂零元素的相似等价类也由n 的一个分划唯一确定，注意到g x L t l x t lX i i i pi i∈∈=∑=,)(,)(1，将t 用任意非0复数代替则得到g 中的元素．综上所述，我们有，定理3： )(g L 中的幂零“轨道”由)(g L 的一个特征分划唯一确定，且)(g L 中的特征分划与g 对应的特征分划是一致的．记)(n P 为n 的所有分划构成的集合,))((g L P 为)(g L 的所有特征分划集，)(g P 为g 的所有特征分划集．由上述结论，再结合[1]中的Theorem5.1.1，5.1.2，5.1.3，5.1.4，可得，推论5： )()())((n P sl P sl L P n n ==)}2(mod)2(mod|)12(],,{[)())((21211212≡≡+∈==++kkiriinni dnPdddsoPsoLP r，则若)}2(mod)2(mod1|)2(],,{[)())((212122≡≡∈==k kiriinni dnPdddspPspLP r，则若)}2(mod)2(mod|)2(],,{[)())((212122≡≡∈==k kiriinni dnPdddsoPsoLP r，则若参考文献：[1] David H.collingwood and William M.McGovern, Nilpotent Orbits in Semisimple LieAlgebras,V an Nostrand Reinhold Math.Series．[2] Roe Goodman and Nolan R.Wallach,Representations and Invariants of the ClassicalGroups,Cambridge University Press,1998．[3] 孟道骥，复半单李代数引论，北京大学出版社，1998.1．[4] 万哲先，Kac-Moody代数导引，科学出版社，1993．[5] Nathan Jacobson,Basic Algebra I,W.H.Freeman and Company,1974．[6] 陈志杰，高等代数与解析几何（下），高等教育出版社，2001.2．11。