・１２・ 嘉兴学院学报 第１６卷第３期２００４年５月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉａｘｉｎｇ Ｃｏｌｌｅｇｅ 。Ｖｏ１．１～６ Ｎｏ．３ ２００４．５
指数分布参数的区间估计和假设检验
蒋福坤’，刘正春
（嘉兴学院信息工程学院，浙江嘉兴３１４００１）
摘 要：该文给出了指数分布参数的区间估计和假设检验的两种方法，并通过数值计算进行了比较。 关麓词：指数分布；区间估计；假设检验。 中图分类号：Ｏ２１２．１ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｅｘｐｏｕｎｄｓ ｔＷＯ ｍｅｔｈｏｄｓ．ｉｎｔｅｒｖａｌ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ａｎｄ ｈｙｐｏｔｈｅｔｉｃａｌ ｔｅｓｔ ｏｆ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｎ ｉｎｄｅｘ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ。ａｎｄ ｍａｋｅｓ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｂｙ ｍｅａｎｓ ｏｆ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｉｎｄｅｘ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；ｉｎｔｅｒｖａｌ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ；ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ ｔｅｓｔ． ＣＬＣｔＯ２１２．１ 文献标识码：Ａ． 文章编号：１００８－－６７８１（２００４）０３－－００１２－－０３
０ 引言 随着科学技术和生产的不断发展，数理统计的应用更加广泛。而区间估计和假设检验问题在统计推
断中占有很重要的地位。对于总体人们常常假设为正态分布，在正态总体下派生出了Ｔ分布、Ｆ分布、
分布，并且研究了期望和方差的各种区间估计和假设检验。而总体服从指数分布也是实际问题中经常碰
到的。在总体服从指数分布的情况下，本文利用概率论知识对区间估计和假设检验问题进行了研究，并
给出指数分布参数的区间估计和假设检验的两种方法。
１ 区间估计和假设检验的方法
１．１ 方法一 １．１．１相关结论 设总体ｘ服从参数为 （ ＞０）的指数分布，ｘ ，ｘ ，…， 是ｘ的一个容量为 的样本，样本的均值
为 ，作统计量 ＝ ，由 分布的相关性质可得：
结论１统计量 ＝ 叉服从参数为 ，ｎ的 分布，即随机变量 分布密度函数 （ｚ）为
ｆ０ ｚ＜０ １— Ａ．ｗ．－ｌｅ－ ｚ ０ 【 ＝两
由结论１可得到
结论２统计量 ＝ 服从参数１， 的 分布，即 的分布密度函数 （ｚ）为
ｆ０ ｚ＜０ｌ …， 一１ ～ｚ ０ 【（，２—１）ｊ一 …
１．１．２参数 的１一口的置信区间 设总体ｘ服从参数为 （ ＞０）的指数分布．ｘ ，ｘ：，…，ｘ 是ｘ的一个样本，统计量 ＝ａｎＸ一服从
参数为１， 的 分布，对于给定的ａ∈（０，１）．由 分布密度函数ｒ（ｘ）Ｕ－－Ｉ以求出，使得
Ｐ｛ （ ）＜： ，２ ＜： 卜一昙（ ）｝：１一口
成立的临界值 兰２（ ）和９＇１－ｚ（ ），于是得到参数 的置信度为１一ａ的置信区间 ｆ ， ），从
＇收稿日期：２００３—０９－－２７．作者简介：蒋福坤（１９５３一），男，浙江桐乡人，嘉兴学院信息工程学院。
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而，总体的平均值 的置信度为１一ａ的置信区间为 ‘ ， ）
其中：』 ０ ｈ’ （ ）ｄｚ一号． （ ）ｄｚ＝＝＝ｌ一号
１．１．３参数 的假设检验
设总体Ｘ服从参数为 （ ＞０）的指数分布．用Ｘ的一个样本Ｘ ，Ｘ ，…，Ｘ 检验原假设Ｈ。： 一
选取统计量７￣＝ａｏｎＸ，当原假设Ｈ。成立时， 服从参数为１， 的Ｆ分布。给定显著性水平ａ，通过计算
可得： ｐ｛ 导（ ）｝一Ｐ｛ 一导（ ）｝一姜
成立的临界值 导（ ）和 一导（ ），拒绝域是［０． １（ ）］ 一要（ ），＋。。）。２ Ｕ Ｅｒ
由样本值算出统计量 的值．若 的值落入拒绝域，则拒绝原假设Ｈ。；否则，接受Ｈ。。
１．２ 方法二
１．２．１相关结论和定理 设总体服从Ｘ参数为 （ ＞０）的指数分布，Ｘ ，Ｘ ．…，Ｘ 是Ｘ的一个容量为 的样本，记 ＝
ｍａ ｘ｛Ｘ ＝ｍｉｎ｛ 则 是 的一个无偏估计量。由顺序统计量的有关分布可以得出：
结论１二元随机向量（Ｓ， ）的联合分布密度函数是
．￡）一 卜
其中：户（ｚ），Ｆ（ｚ）分别为Ｘ的密度函数与分布函数。由结论１又可得出：
结论２ 二元随机向量（【，． ）一（ａＳ． ）的分布密度函数为
０ ～ Ｐ～Ｐ～ ｆ 【 其他 由结论２可得到
定理１ 当 为奇数时，随机变量Ｚ—Ｕ＋Ｖ的分布函数为
）一ｌ ｎ－１ ｎ了（ ）１８
【０ ０
证明 当ｚ＞Ｏ时，Ｆ（ ）＝＝＝Ｐ｛Ｚ ｝一ＰｆＵ＋ ｝
一 一 』 ～一 ～
＝ 』 ｃ — — — ＋ 一一 — ｄ
一 Ｉ ∑（一１） Ｐ ｄ
一专 ｏ ＋ 蓦ｏ ＾一 一 一 ＾一 （一１） 一 ■
＝（一１）Ｔｎ－１ （ ） ８ 一争＋ 蓦
当 ０，Ｆ（ ）一０时，定理得证。
１．２．２参数的的置信区间
设总体 服从参数为 （ ＞０）的指数分布． ． ．…， 是 的一个容量为１＇ｌ的样本，统计量Ｚ—
（ ＋ ）的分布函数为Ｆ（ ）．对于给定的ａ∈（０．１）．由分布函数Ｆ（ ）可求出，使得Ｐ｛ 昙（ ）＜ （ ＋Ｔ）
＜ 一要（ ）｝＝１一ａ成立的临界值 昙（ ）和 一罢（”）．于是得到参数 的置信度为１一ａ的置信区间为：
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ｆ三型 ＼ Ｉ Ｓｑ－Ｔ’Ｓｑ－Ｔ』
１．２．３参数ｉｔ的假设检验
设总体 服从参数为 （ ＞０）的指数分布．用 的一个样本Ｘ ， ，…， 检验原假设日。： 一 选取统计量ｚ一 （ｓ＋丁），当原假设成立时．ｚ的分布函数为Ｆ（ ），给定显著性水平ａ，通过计算可满足
Ｐ｛ｚ 三 昙（ｎ）｝＝Ｐ｛ｚ 一昙（ｎ））一号
成立的临界值 （ｎ）和Ｚ１－睾（ｎ）．拒绝域是（Ｏ’Ｚ＿ａ，（ｎ）］Ｕ［ 一导（ｎ），＋ｏ。）。
由样本观测值算出统计量ｚ的值，若ｚ的值落人拒绝域，则拒绝原假设Ｈ。；否则，接受Ｈ。。
１．３举例 例： 已知某种电子元件的使用寿命服从参数为 的指数分布。现从中抽取２０个元件进行寿命测
试．得数据如下（０－位：小时） １０５０ １１０Ｏ １０８０ １２００ １３００ １０６０ １０９０ １０８０ １１８０ １３２０
１２５０ １３４０ １０６０ １１５０ １１５０ １２５０ １３１０ １０９０ １１４０ １１６０
（１）求平均寿命÷的９５ 的置信区间。
（２）问这种电子元件的平均寿命可否认为是１１７０小时（口一０．０５）。 解：采用方法一计算 （１）已知电子元件的使用寿命Ｘ服从参数为 的指数分布，样本容量ｎ一２０，统计量 ：ｎ 服从参 数为１，２０的ｒ分布．由１～口一０．９５，得口一０．０５。经计算．得到临界值 。．。 （２０）＝１２．２２， 。＿９７ （２０）一２９．
６７，由样本观测值算出￣＝１１６８．于是总体平均寿命 的９５ 的置信区间是（ ， ）＝
（７８７，１９１１）。
（２）检验原假设Ｈ。： １一订１ ，即 一订１
因为ｎ一２０，当日。成立时，统计量 一卉 服从参数为１，２０的Ｆ分布。由ａ一０・０５，经计算得临
界值 。．。 （２０）＝１２．２２． 。． （２０）一２９．６７，拒绝域为［０，１２．２２３Ｕ［－２９．６７，＋ｏ。）；由样本观测值得叉＝
１１６８，统计量 ＝ Ｙ．６１ｆａ ｒ－ ＝１９．９７ ｅ［－０，１２．２２］Ｕ［－２９．６７，＋ｏ。），所以接受原假设 ，即
认为这种电子元件的平均寿命为１１７０小时。 采用方法二计算 （１）这里取样本容量ｎ一１９．用统计量ｚ— （Ｓ＋ ）．当口一０．０５时，由Ｚ的分布函数Ｆ（ ）可得到临 界值 。 （１９）＝１．７７７， （１９）一６．６８，用样本观测值中的前１９个数据代人统计量，计算得 一２３９０，
于是总体的平均寿命 的９ 器，一（（３５７．７８１３４４．９６） 于是总体的平均寿命寺的９５ 的置信区间为（ ， ）一 ・ ， ・
（２）检验原假设Ｈ。：÷一１１７０（略）。
２ 结束语 以上给出了总体服从指数分布的区间估计和假设检验的两种方法，并给出了具体的算例。通过计算
和比较，可看出分别采用统计量７＝２ｎＸ和Ｚ＝２（Ｓｑ－－Ｔ）其计算结果是有差异的，随着样本容量的不同，
这种差异也会发生变化。总体而言，统计量 ＝ 的效果要好于统计量Ｚ＝ （ ＋ ）。
参考文献： ［１］潘高田，胡军峰．小样本的均匀分布参数的Ｉｘ问估计和假设检验［Ｊ］．数学的实践与认识，２００２，（４）：６２９～６３１． ［２］茆诗松，王静龙．数理统计［Ｍ］．上海：华东师范大学出版社，１９９０． （责任编辑丁火）
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