第5章 参数估计与假设检验练习题1、设随机变量 X 的数学期望为 μ ，方差为 σ2 ，（X 1 ，X 2 ，···，X n ）为X 的一个样本，试比较 ))(1(12∑=-n i i X n E μ 与 ))(1(12∑=-n i i X X n E 的大小。

（ 前者大于后者 ）2、设随机变量 X 与Y 相互独立，已知 EX = 3，EY = 4，DX = DY = σ2 ，试问：k 取何值时，Z = k ( X 2 - Y 2 ) + Y 2 是 σ2 的无偏估计 。

（ 16 / 7 ）3、设正态总体 X ~ N ( μ , σ2 ) ，参数 μ ，σ2 均未知，（ X 1 ，X 2 ，… ，X n ）（ n ≥ 2 ）为简单随机样本，试确定 C ，使得 ∑-=+-=11212)(ˆn i i i X X C σ为 σ2 的无偏估计。

（ )1(21-n ）4、假设总体 X 的数学期望为 μ ，方差为 σ 2 ，),...,,(21n X X X 为来自总体 X 的一个样本，X 、S 2 分别为样本均值和样本方差，试确定常数 c ，使得 22cS X - 为 μ 2 的无偏估计量.（ 1 / n ）5、设 X 1 ，X 2 是取自总体 N ( μ , σ2 ) （ μ 未知）的一个样本，试说明下列三个统计量2114341ˆX X +=μ，2122121ˆX X +=μ，2132131ˆX X +=μ 中哪个最有效。

（ 2ˆμ ）6、设某总体 X 的密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧><=其它03),(32θθθx x x f ，（ X 1 ，X 2 ，… ，X n ）为该总体的样本， Y n = max ( X 1 , X 2 , … , X n ) ，试比较未知参数 θ 的估计量 X 34 与n Y n n 313+ 哪个更有效？（ n > 1 时，n Y nn 313+ 更有效 ）7、从某正态总体取出容量为10的样本，计算出150101=∑=i ix，27201012=∑=i i x 。

求总体期望与方差的矩估计 μˆ 和 2ˆσ 。

（ 15 ；47 ）8、设总体 X 具有密度 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+-Cx C x xC x f 01);()11(1ϑϑϑϑ ，其中参数 0 < ϑ < 1，C 为已知常数，且C > 0，从中抽得一样本 X 1 ，X 2 ，… ，X n ，求参数 ϑ 的矩估计量。

（ 1 - C /⎺X ，其中 ∑==ni i X n X 11 ）9、设总体 X 服从（ 0，ϑ ）上的均匀分布，其中 ϑ > 0 是未知参数，（ X 1 ，X 2 ，… ，X n ）为简单随机样本，求出 ϑ 的矩估计量 ϑˆ ，并判断 ϑˆ 是否为 ϑ 的无偏估计量。

（ 2⎺X ，其中 ∑==ni i X n X 11 ；是 ）10、设（ X 1 ，X 2 ，… ，X n ）为总体 X 的一组样本，总体 X 密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--其它01011);(12x x x f ϑϑϑϑ ， 其中 ϑ > 1 且未知。

试求该总体未知参数 ϑ 的极大似然估计量。

（ ∑=-=ni i M L E X n 1ln 11ˆϑ ）11、设总体 X 的概率密度为 ⎩⎨⎧∉∈-=-)1,0(,0)1,0(,)1();(1x x x x f θθθ ，其中 θ > 0 是未知参数，（X 1 ，X 2 ，…… ，X n ）是取自总体X 的一个样本，试求：总体期望 EX 的最大似然估计量值和最大似然估计量。

（ nx x ni ini iM L E ---=∑∑==11)1l n ()1l n (ˆϑ ；nXXni ini iMLE ----=∑∑==11)1ln()1ln(ˆϑ ）12、设样本 X 1 ，X 2 ，… ，X n 为取自分布密度为 f ( x ) 的总体，其中⎩⎨⎧<≥=--000)()(1x x e x x f xr ϑϑϑ （ r 已知），ϑ > 0，求参数 ϑ 的极大似然估计。

（ x r M L E =ϑˆ ，其中 ∑==ni i x n x 11 ； X r M L E =ϑˆ ，其中 ∑==n i i X n X 11 ）13、已知某地区各月因交通事故死亡的人数为 3，4，3，0，2，5，1，0，7，2，0，3 。

若死亡人数X 服从参数为 λ 的Poisson 分布，求：（1）λ 的极大似然估计值；（2）利用（1）的结果求 P ( X > 2 ) 。

（ （1）5.2ˆ=MLE λ ； （2）0.4562 ）x11-（ 参数 σ 未知，且 σ > 0 ），（1）试求未知参数 σ 的极大似然估计量；（2）检验其无偏性。

（ （1）∑==ni i MLE X n 11ˆσ；（2）无偏估计量 ）15、设总体 X 密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它00);(2222x ex x f x ϑϑϑ， （参数 ϑ > 0 且未知）， 取样本 （X 1 ，X 2 ，… ，X n ） ，求总体未知参数 ϑ 的最大似然估计量和矩估计量。

（ ∑==n i i M L E X n 1221ˆϑ ； πϑ2ˆX ME = ，其中 ∑==n i i X n X 11 ）16、设总体 X 具有密度函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-其它010);(1x xx f ϑϑϑ （ 其中 ϑ 为未知参数，且ϑ > 0 ） ，取自总体 X 的一组样本（ X 1 ，X 2 ，… ，X n ），求 ϑ 的矩估计量和极大似然估计量。

（ 21ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X XMEϑ ， 其中 ∑==ni i X n X 11 ； 21ln ˆ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=n i i MLEX n ϑ ）17、设随机变量X ~ ⎩⎨⎧≤>=-0)(x x xe x f xλλ （ 未知参数 λ > 0 ），且 EX = μ 。

取样本（ X 1 ，X 2 ，… ，X n ），求总体期望 μ 的矩估计量和极大似然估计量，并检验其无偏性。

（ X ME=λˆ ，其中 ∑==n i i X n X 11 ，无偏； 22ˆX MLE =λ ，其中 ∑==ni i X n X 11， μμλλ≠==n XE E MLE 62ˆ2，有偏 ）18、作 n 次独立重复试验，观察到事件A 发生了m 次，试证明 P ( A ) = p 的矩估计和极大似然估计均为 m / n 。

19、方差 σ 2 已知，置信度为 1 - α ，为使正态总体均值 μ 的置信区间长度不大于 L ，样本容量至少为多少？（ 不小于 22/224ασu L的最小正整数 ）20、设总体 X ~ N ( μ , 102 ) （ μ 未知），若要使 μ 的置信度为 0.95 的双侧置信区间的长度为4，求样本容量n 最小应为多少？（ 97 ）21、由总体 X ~ N ( μ , σ2 ) （ σ2 未知）取得一个样本 X 1 ，X 2 ，… ，X 9 ，计算出⎺x = 10，2)10(91912=-∑=i ix ，试求 μ 的双侧置信区间（ α = 0.05 ）。

（ （ 8.847 , 11.153 ） ）22、从一批钉子中随机抽取16枚，测得平均长度为 2.125 cm ，样本标准差为 0.01713 cm ，假设钉子的长度X 服从方差为 0.012 的正态分布，求总体X 的均值 μ 的置信度为90% 的置信区间（计算结果保留小数点后三位有效数字）。

（ （ 2.121 , 2.129 ） ）23、从一大批电子元件中随机抽取100只，测得元件的平均寿命为 1000小时，如果电子元件的寿命服从正态分布，且均方差 σ = 40 小时，求 α = 0.05时，电子元件平均寿命的置信区间。

（ （ 992.16 , 1007.84 ） ）24、设总体X 容量为4的样本为 0.5，1.25，0.8，2.0，已知 Y = lnX 服从正态分布 N ( μ , 1 )，（1）求总体X 的数学期望；（2）求 μ 的置信度为95%的置信区间。

（ （1）21+μe ； （2）（ - 0.98 , 0.98 ） ）25、假设钢珠的直径服从正态分布，现从钢珠的生产线中抽取容量为9的样本（单位：mm ），测的直径的平均值⎺x = 31.05，s 2 = 0.252 ，试求：总体 μ 和 σ2 的双侧置信区间（α = 0.05；t 0. 025 ( 8 ) = 2.306，t 0. 05 ( 9 ) = 1.8333，325.3)9(295.0=χ，919.16)9(205.0=χ，535.17)8(2025.0=χ，18.2)8(2975.0=χ）。

（ （ 30.858 , 31.242 ） ； （ 0.0285 , 0.2294 ） ）26、设总体 X ~ N ( μ , σ2 ) ，参数 μ ，σ2 均未知，（X 1 ，X 2 ，···，X n ）为简单随机样本，∑==n i i X n X 11，∑=-=ni i X X W 122)(，若假设 H 0 ：μ = 0，H 1 ：μ ≠ 0。

试写出假设检验时使用的统计量的表达式。

（ )1(/-=n n W XT ，其中 ∑==n i i X n X 11，∑=-=ni i X X W 122)( ）27、设某批产品的某项质量指标服从正态分布，并且方差根为150，从该批产品中抽取容量为25的一组样本，并测得该项指标的平均值为1645（单位），问是否可以认为这批产品得该项指标值为1600（单位）？（ α = 0.05 ； t α / 2 ( 24 ) = 2.064 ，Φ 0 ( 1.96 ) = 0.975 ，t α ( 25 ) = 1.708 ）（ U - 检验法，双侧，接受 H 0 ，可以 ）28、某灯泡厂所生产的灯泡的使用寿命 ξ ~ N ( μ , σ2 ) ，如果生产正常时，μ = 2000（小时），现在抽检25个灯泡后，得⎺x = 1832，s = 498，试问生产是否正常（ α = 0.05 ）？（t - 检验法，双侧，接受H0，正常）29、某食品厂用自动装罐机装罐头食品，规定当标准重量为250克，标准差不超过3克时，机器工作正常。

每天定时检查机器情况。

现抽取16罐，测的平均重量为252克，样本标准差为4克，假定罐头重量服从正态分布，试问该机工作是否正常（α = 0.05 ）？（不正常）30、设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取25位考生的成绩，算得平均成绩为81.5分，标准差为15分。