4+6
3 + 12
4 + 6 + 12
3+4+6
3+6
3+6
3+4
3+4
伊斯兰清真寺装饰图案
8
三角形镶嵌
旧金山圣玛丽教堂
富勒是第一个运用六边形和五边 形构成的球形薄壳建筑结构，作成能 源耗费极低，强度却很强大的建筑物， 后来这种结 构被广泛运用，现代运 动的足球，就是运用这个结构所制造。 这个结构也协助科学家发现了碳C60， 后来被称为 富勒烯。
抄写在纸草上的残片
第一个印刷版本
明 徐光启译本
胞体几何（Cell Geometry）
能够无间隙拼连的单一的正多边形只有三种：正三角形、正方形、正六边形。因为它 们的内角是360°的整分数：360 ° /12 = 60 °, 360 ° /4 = 90 °, 360 ° /6 = 120 °。
六边形在自然界中因为其最接近圆形，是上述三种图形中最符合“经济法则”——同样面积，边长最短。
同，则称这两个图形是“拓扑同构” 。 拓扑几何——研究几何图形在一对一连续变换中了不变的性质。不考虑几 何图形的尺寸、面积、体积等度量性质和具体形状。
此图和上面 两图同构
此图和上面 两图不同构
放射形 街道
方格形 街道
上述圆、三角形、方形和任意封闭曲线同构 在拓扑变换中封闭围线的“内”和“外 ”的区分不变，边线上点的顺序不变。 高校教材《中国建筑史》第五版
拓扑学奇趣：莫比乌斯带 Mö bius Strip
家莫比乌斯发明
德国数学
将一个长方形纸条 的一端固定，另一端扭
转半周后，把两端粘合
在一起 ，得到的曲面就 是莫比乌斯带。 用一种颜色，在纸圈上面涂抹，画笔没有越过纸边，却把 整个纸圈涂抹成一种颜色，不留下任何空白。或，一个蚂蚁不 越出纸边，就可以爬过纸面所有表面。 小试验：（1）如果在裁好的一条纸带正中间画一条线（正反两面都画上中线），粘 成莫比乌斯带，然后沿中线剪开，把这个圈一分为二，结果会怎样？ （2）在裁好的一条纸带正中间画两条线（三等分带子宽度，正反两面都画上
从外到里，从里到外的路径与边界交奇数次；从外到外，从里到里的路径与边界交
偶数次。路径可以是曲折的，也可以穿过边界进进出出。 房屋就是封闭图形（体），人流流线就是“路径”，墙是“边界”，墙上的门就是 “交点”。
球和立方体同构，与轮胎不同构。
欧美小住宅和中国四合院的拓扑结构不同，前者与球同构，后者与轮胎同构。
自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。
局部与整体在形态上具有统计意义上的相似性，称为自相似性
曼德布伦特经过详细计算得出以下结果： 测量步长为500公里时，则海岸线长度为2600公里； 测量步长为100公里时，则海岸线长度为3800公里;
......
正是在这样的一些概念和理论的讨论基础上，20世纪70年代末80年 代初，产生了新兴的分形几何（fractal geometry）。 曼德布伦特1975年发表《分形对象：形态，机遇和维数》，确立了 分形几何理论体系。1982年改版为《自然的分形几何学》，对自然界中 的分形现象进行几何学解释。曼德布伦特给出分形的定义：分形是局部 与整体在某种意义下存在相似性的形状。强调分形物体基本特征： (1)每点处有无限的细节；对于分形物体的放大，可以连续地看到 如同在原图中出现的更多的细节。 (2)物体整体与局部特性之间的“自相似性”，或者说唯有具备自 相似结构的那些几何形体才是分形。 后来，英国数学家法尔科内提出分形应具有以下所有五个基本特征 或其中的大部分： ⑴形态的不规则性；⑵结构的精细性；⑶局部与整体的自相似性； ⑷维数的非整数性；⑸生成的迭代性。
拓扑几何——“橡皮几何”
以色列的一位城市规划学者在清华建筑 学院做讲座，说到老北京的街道都是南北正
交，而中东的城市街道弯曲。两者的街道形
态在拓扑上“同构”的。每一个交叉口都是 两条街道相交。 一个几何图形任意“拉扯”（就像画在橡皮上），只要不发生割裂和粘接
，可做任意变形，称为“拓扑变形”。两个图形通过“拓扑变形”可以变得相
最早用公理法则建立起演绎数学体系的典范。古希腊数学的基本 精神，是从少数的几个原始假定（定义、公设、公理）出发，通过逻 。 辑推理（因为∵… …，所以∴… …） ，得出结论。（并可作为新的 可接受的命题） 爱因斯坦：“西方科学的发展是以两个伟大成就为基础，那就是： 希腊哲学家发明的形式逻辑体系（在欧几里得几何学中），以及通过 系统的实验发现有可能找出因果关系（在文艺复兴时期）”。
P229 “拓扑同构图”
上述四个图形不同构：封闭曲线，开口曲线，有一个三叉
点的开口曲线，有一个四叉点和两个封闭域的封闭曲线
在拓扑变换中端点、三叉点、四叉点、封闭域数量不变。
封闭图形的“里”与“外”
封闭围线构成一个封闭图形，如何判别“里”与“外”呢？在图形的“外”部确定 一点，这容易判定，只要它离图形足够远。从这一点出发到需判定的点的路径，如果和 围线（边界）相交奇数次，则需判定的点在“里”，如果和围线（边界）相交偶数次， 则需判定的点在“外”。当然首选的出发点在“里”，从此点到需判定的点的路径，如 果和围线（边界）相交奇数次，则需判定的点在“外”，如果和围线（边界）相交偶数 次，则需判定的点在“里”。也可简述为：
段一段量再加起来，在现场用厘米为单位“精细”地去量，
结果都不一样。客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的 尺度去测量。如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一 些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加， 但是一些厘米量级以下的还是不能反映出来。
其次，什么是英国的海岸线（长度），它不像万里长城，绵延万里， 只要不怕费时费事，总可以量出来。但海岸线不同，百万分之一地图上 是曲曲折折的，万分之一地图还是曲曲折折的，到现场观察，百米的海 岸线还是曲曲折折的，甚至蹲下来看眼前的海岸线（水与岸的交界线） 还是曲折的。即海岸线在不同的尺度下具有相似性。一些客观事物具有
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蒙特利尔博览会美国馆
富勒
1967
富勒发明的张力杆件穹窿，直径76 m。三角形金属网状 结构组合成一个球体。 “以最小追求最大。” (Doing the most with the least.) 圆球建筑以“无一定尺寸限制的结构”为概念，不连续的和连续的张力相结合，以最小的 材料和最合理的结构、最小的投资创造出最大的内部空间。 富勒说，“评判建筑结构优劣的一个好指标，是遮盖一平方米地面所需要的结构重量。常 规墙顶设计中，这数字往往是2500公斤每平方米，但‘网球格顶’设计却可以用4公斤每平方 米完成。”
线），粘成莫比乌斯带，然后沿线剪开，结果又会怎样？沿着线剪的时候，要不要剪
完一条线，再剪另一条线？ 感兴趣的同学，课下可以尝试一下。
马清运设计的莫比乌斯造型雕塑
扎哈设计的莫比乌斯造型雕塑
杭州科技馆方案
威尼斯双年展上的莫比乌斯圈 UN Studio
2010世博会丹麦馆 BIG
分形几何
1967年，英国学者曼德布伦特(Mandelbrot)在《科学》 杂志发表论文“英国的海岸线到底有多长？”。 首先，这个问题涉及到如何丈量，在一张百万分之一地图 上量，在若干张万分之一地图上量再相加，到现场用米尺一
美国佛罗里达千岛群岛 Florida Panhandle
瀑布的形态
闪电的形态
Mandelbulb3d生成的3d分形图形
美国羚羊谷实景照片
超越无限空间装置
法国艺术大师Serge Salat
印度, 孟买, Tote餐厅
塞瑞尔
谢 谢 !
建筑与数学
几何图形
演讲人： 米超、陶丙德、张宇
பைடு நூலகம்
黑格尔说过：“建筑是地球引力的艺术”
建筑物的屋盖形状可以三维变化，丰富多彩，“奇形怪状”；墙体可以 在平面上“曲折”，而在竖直方向通常是直立的；当屋顶和墙面合成一体， 墙也可以是三维变化的形状。但是建筑物的楼层只能是水平的，人们需要 在上面活动。
《几何原本》古希腊 欧几里得
“水立方”（奥运游泳馆）表皮 Skin
尽管每个元泡形状不同，但交点都是三条边相交的“ Y ”形 。
镶嵌图形
通过“拉伸”或“压扁”，等腰三角形、长方形、扁六边形，也能以单一个体无间隙镶嵌。
用不同的正多边形来拼铺整个平面，但每一个交叉点周围的正多边形种类和顺序都相
同，叫做半正镶嵌图。半正镶嵌图有8种。