2.2 纠缠见证
纠缠见证是能够觉察纠缠的一类算符，而且这类算符比较经济，它不需要量子态
的全部信息就能觉察纠缠。也因为如此，总是能找到更好的纠缠见证算符，直到
找到理想的为止。Terhal 于 2000 年提出违背 Bell 不等式可以表示为对纠缠的
见证。纠缠见证的理论因此就发展起来了，其概念应用到量子信息的很多不同问
的，那么 W tr W
0。反之 W
0，则 是可分离的。这样就
可以说 W 觉察到了 的纠缠。
2.2.2 理想纠缠见证算符 在介绍理想纠缠见证算符先介绍两个引理。
引理 1：用 W 表示一个纠缠算符，让W2 是比W1 更好的见证算符，而且
inf 1DW 1
1 W2
将可分离态 AB
pk

k A

mn
Bk

k
定义新矩阵 m,n n,m 新矩阵 就是由 经部分 A 转置后得到的矩阵。 部分转置不是幺正变换，但 矩阵仍是厄米矩阵。 矩阵可写为
=
pk

k A
T


k B
k
因为 A T 仍是一个密度矩阵。所以 矩阵没有一个负的本征值。
态之和的形式，如下式
= pi i i i
对于每一个纯态，其纠缠度是部分熵纠缠度。
E( ) tr(A log2 A) tr(B log2 B ) 而混合态 的纠缠度由形成纠缠度来定义，它是所有纯态分解的部分商纠
缠度平均值中的最小值：
E() min piE(i ) i
Keywords: PPT criterion entanglement witness formation entanglement Text:
量子力学的发现，使人类在物理世界发现了一系列奇异的现象。1935 年， Einstein，Podolsky 和 Rosen 等人发现了纠缠的非常奇异的非经典性质，这一 关乎量子力学基础的概念与现象让物理学家进行了半个多世纪的研究，诞生了 Bell 不等式、波姆理论等许多有趣的工作。但关于纠缠与可分的明确定义直到
Peres 于 1996 提出的。该判据可表述为对于一个包含两个子系统的量子系统，
密度矩阵 AB 是可分离态的必要条件为对两体中任一体做部分转置后得到的矩
阵仍是个密度矩阵。
对于 2 2或23（A 态空间维数是 2，B 态空间为 3）的情况，此判据是充分必要 的，但对其他情况，此判据只是必要而不充分条件。
W1
（1）如果 W1 0，那么 W2 0。（2）如果 W1
（3） 0，那么 。（4） 1
W1
W1
W1
0，那么 W2 W1
引理 2：如果存在一个正定算符 p 和1 0让W1 1 W2 p 那
么W2 是比W1 更好的见证算符。
1989 年才由 Werner 给出。在最近的二十年里，随着量子信息这门交叉学科的快
速发展，人们开始越来越清楚的意识到纠缠还是一种非常有用的量子资源，它可
以用在量子计算与量子通信等方面，不仅如此物理学家还发现纠缠在其他物理现
象比如量子相变中扮演了重要的角色，并且最近几年人们又意识到纠缠在有效模
拟多体量子系统中的作用。因此，为了更好的了解纠缠，如何判定纠缠及度量纠
判断一个两体以上量子态是否为纠缠态不仅是一个难与不难的问题而且是一个
能与不能的问题。纠缠的度量也面临同样的情况。目前，对于量子纠缠理论的这
两个问题，也只是对两体的量子态了解的比较全面清楚。
1. 两体系统量子态分类
两 体 纯 态 是 两 体 系 统 A+B 态 空 间 Ha Ha 中 任 一 相 干 叠 加 态 ， 可 表 示 为
量子态纠缠的判据和度量理论只是在两体的量子系统的理论中比较完善， Peres 和 Wooters 分别对判据和度量做了比较好的工作。对于三体系统，三体的 纯态还是可以通过部分求迹得到约化密度矩阵，用纠缠见证算符来进行判断三体 之间的纠缠关系。对于三体的混合态及以上的多体量子态，纠缠的判据和度量都 难以得到一个比较好的结果。
题中。 2பைடு நூலகம்2.1 纠缠见证的定义
一个算符W W 作用到态空间 = A B 上如果满足三个条件就是纠缠 见证算符，一是对于所有的直积向量 e, f 都有 e, f W e, f 0 。二是它至
少有一个负的本征值。三是 tr W 1。由条件一可以得到如果 是可以分离
态，如何度量其中纠缠的大小也是一个问题。
量子纠缠是量子理论中一种独特而又很复杂的现象。这种纯量子现象反映了量子
理论的本质——相干性、或然性和空间非定域性。作为一种重要的资源，量子纠 缠被广泛应用与量子信息和量子计算中。而要将量子纠缠利用起来的前提是了解
量子纠缠的本质。一个量子态纠缠的判据和度量便是其本质的两个体现。然而，
函数 E 可表示为
11 c2
E(C) h 2

h(x) xlog2 x (1 x)log（2 1 x)；
其中C( ) max 0,1 2 3 4， 是厄米矩阵 R 的
本征值，也是非厄米矩阵 本征值的平方根。
4.总结和展望
征整个系统量子特性的纠缠度不应增加。
4.对于直积态，纠缠度是可加的。纠缠度的定义有四种，一是部分熵纠缠度 （the partial entropy of entanglement），二是相对熵纠缠度，三是形成纠缠 度，四是可提纯纠缠度。
给定一个两体量子系统的密度矩阵 ，将该密度矩阵分解为所有可能纯
量子纠缠的判据和度量
摘要：本文将介绍量子纠缠理论中最基本的两个问题：纠缠的判据和度量。 由于两体以上量子态纠缠判据和度量的困难，本文主要介绍的 PPT 判据和纠缠见 证（纠缠判据）以及形成纠缠度（纠缠度量）都是针对的两体量子态。
关键词：PPT 判据 纠缠见证 形成纠缠度
Abstract: in this paper, we will introduce two basic problems in quantum entanglement Theory: the criterion and measure of entanglement. Because of the difficulty of the entanglement criterion and the measurement of the above two states, the PPT criterion and the entanglement witness (the entanglement criterion) and the entanglement degree (entanglement measure) are all the quantum states of the two states.
式的态。
2. 纠缠判据
通常纠缠判据可分为两类，一种是正定映射(positive maps)。一个正定映射的
例子就是 PPT 判据中的部分转置（partial transposition)。另一种就是纠缠
见证（entanglement witness)。
2.1 PPT 判据
PPT 判 据 即 为部 分 转 置正 定 判据 (positive partial transposition) ， 是
定理：对于所有的 P 和 0 ，W (1 )W P 不是纠缠见证算符，
那么 W 即是理想的见证算符。 3.纠缠度量 由于从不同的角度来定义对纠缠程度的度量，因此纠缠度的定义有好几种。
但这些纠缠度应满足以下共同的准则： 1.可分离态的纠缠度为零。 2.对系统的任一组分进行任何的局域幺正变换（LU）不应该改变其纠缠度。 3.在各参加方的各自局域操作以及其间的经典通信的这一大类操作之下，表
上式实际求解很困难，在 Wooters 的文章中，将混合态的形成纠缠度写为了
的函数形式，这样得到形成纠缠度就容易多了。
首先定义自旋翻转。对于纯态有 = y ，其中 是 复共轭。 对 于 混 合 态 有 =（ y ）y ( y y)， 形 成 纠 缠 度 则 为 E( ) E (C( ) )
AB
Cm n
m

A
n
B

m

A
n
为正交归一基矢
B
mn
两体纯态可分为可分离纯态和纯态纠缠态。
对于未关联态，密度矩阵可写为 AB A B
可分离态包括可分离纯态和可分离混态，可写作未关联态之和
AB
pk

k A

Bk
,
pk 1
k
k
不可分离态即为纠缠态，包括纠缠纯态和纠缠混态，是所有不能写成可分离态形
[参考文献] [1]张永德量子信息物理原理—北京：科学出版社，2005 [2]A.Peres,Phys.Rev.Lett.77.1413(1996) [3]WootersW K Phys.Rev.Lett.802245(1996) [4]M.Horodecki,P.Horodecki,andR.Horodecki,Phys.Lett.A223,8(1996)
缠就成为了量子信息理论中的一个基础性问题。一方面，许多判定纠缠的充分条
件条件被提了出来。另一方面，人们同时还提出了大量的纠缠度量用来刻画纠缠
态的纠缠大小。然而，尽管人们在这二十几年来做了大量的努力，到目前为止纠
缠都始终没有被完全的理解。这表现在，判定任意一个给定量子态是否为纠缠态
这个问题仍然是一个非常有挑战性并且至今未解决的问题，同时如果它是纠缠