2007年12月Dee二2007应用数学与计算数学学报

COMMONAPPLMATHANDCOMPUT第21卷第2期VOIZINo2

时变自回归模型系数的估计及预测王永民‘何幼桦’忻莉

莉

1王巧兰‘

摘要本文对一般时变自回归模型(TVAR)的时变系数提出一种估计方法即建立

一

个关于时变系数的向量自回归时间序列模型利用最小二乘方法计算其系数矩阵在此基

础上预测时变系数从而得到时变自回归序列的点预测另外给出了点预测和区间预测的方法关键词时变自回归向量自回归最小二乘法区间预测

TheParametrieEstimationandPredietio

n

forTime一VhryingARModel

WangYongmin‘HeYOuhua‘XinLili‘WangQiaolan‘AbstraetByestablishingtheveetorauto-regressiontimeseriesmodeltheauthors

useleastsquarealgorithmtoestimatethemodel5ParametermatrixandPredie

tthe

timevaryingparametersofatimevaryingautoregression(AR)modelB筋edonabove

eonelusionfinallywePresentamethodforpointPredietionandintervalpredietionKeywordstimevaryingaut任regressionveetorautoregressionleastsquareal

g

o-

rithmintervalPredietion

1己!

吉

~J.且二二

现实问题中很多时间序列数据都是非平稳的与平稳的时间序列相比非平稳时

间序列并不表现出任何明显趋向于一个不变值到目前为止已经证明有几种方法对

于处理此类问题十分有效例如对于处理金融时间数据非常有效的格兰杰的协整分析

方法和差分方法[’]还有H皿912]等于1998年提出的基于经验的模式分

解及其

Hi

lbel’t

时频谱也称之为局域波分析方法时变参数模型法是近年来应用于非平稳数据分析与

处理的一种新方法陈4}这种方法一般用具有时变系数的自回归模型和滑动平均模型

来表征非平稳随机序列这些模型的特点就是其系数具有时变性其本身可以看作是

一组时间序列因此对时变参数的估计算法研究是相当有意义的在文献同中作者

采用递推最小二乘法求解非平稳随机信号模型的时变参数同时比较了不同基时间函数的选取对估计算法的影响本文将时变系数看作互相相关的多维时间序列采用向最

本文2006年1月6日收

到

本文系国家自然科学基金重大研究计划面上项目

(90411006)的部分结果

1上海大学理学院数学系上海200444;CollegeofseieneesSha,ighaiUniversitySlla,lghaiZ()(

)

妇斗

China应用数学与计算数学学报21卷自回归来估计系数并给出区间预测方法最终结果表明预测效果比将时变系数当作多个孤立序列情形更好

2时变自回归模型的系数估计

2.1

时变自回归模型

设{瓜n任N}为零均值非平稳时间序列对于X。建立一个系数依赖于时间的p阶自回归模型(即时变线性自回归模型)

P瓜一艺叻

,(n)Xn一,+、

J=1(21)

氛相互独立且气日)卉州功1(n)功2(f(n)=(沪服从N(0嵘)记为TVAR(川我们讨论当模型(21)中的系数不是相互独立的情况此时通过构造一个p维的向量时间序列

…沪;(n))‘建立一个p维的向量自回

归模型如下

f(n)一

艺妒f(

。一

哟

+R

几

(2

2)

其中Ak一(a男);x,;凡一(:1(n):2(。)…r;(n)),;

:

。服从、

(o。2几只;)

首先给出一个定理通过定理来构造系数时间序列的数据{

f(n)n

(N}

定理21对于模型(21)满足约束

条件

低一艺冉(n)瓜

一J

j二1

并使目标函数艺一价,(n)一功

j(n

一‘

)12

达到最小的功、(n)(k=12…川应满足

沪、(n)=沪、(n

一1)+

X。一艺功

,(n一l)瓜一,

夕=lP瓜一无(

23

)

置嗽一,

证明首先根据Lagrange乘子法构造目

标函数

J一艺一功,(n)一价;(n一1)12+2‘(Xn一艺九

(

n)瓜一,)

由于aJ

口价、(。

)

二2(功、(n)一沪、(n一l))一2久

瓜一

、2期王永民等时变自回归模型系数的估计及预测

因为口Ja功、(。)念=0得2>0说明满足上式偏导数为零的点为目标函数的全局最小值点令

a价、(。)

叻、(n)=功、(n一1)+久X一、

再由上式及约束条件

PPP

瓜一艺(九(n一‘)十“X倪一,)X陀一,一艺九(。一‘)X陀一,+“艺

X

足一,

J二1夕=1了=1

得X。一艺沪。(n一1)X二一;

J=lP艺X足_

代人叻、(司二沪、(n一1)+入Xn一、即证得结论

根据上述定理当样本观测值xlXZ…xN以及初值{叻、(n)1蕊kn簇好

为已

知条件时就可以确定模型的系数序列{功、(n)p+1镇n石N1毛k(对的值对此

序列的任何l步预测毋、(N+l)将得到原序列x。的l步预测

值

戈N+‘一艺毋J(N+‘)戈、+,一;(,、‘时戈、+,一;一XN+‘一,

)

22模型系数的最小二乘估计

设A‘A“…A的最小二乘估计是办且“…且则满足

祀日

l

f(。)一又护f(。一“)一S

In

ln

AlAZ

N尹p

2

A艺又{州n)一艺艺a黔叻;(n一

咐

n=P++l=1左=lj=1

我们采用标量形式写出模型(22)对于每一个下标:1三乞三p有如下形式

必(n)一艺艺a{全,功,(n一k)+“(n)

无=17=1

现在构造最小二乘函数

S‘(a{“,

)一艺{功(n)-

P

艺艺谬

州

“一“)

}

k=IJ=1(24)n=p++1其中*一12…,;“一‘2…仁估计值城护应使(z.4)取到最小值所以令

口s、!一l二U

”“{丁’}。

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(25)