不等式知识的探究与延伸

一、 不等式的一个重要性质

设m，n为正整数，若m>n，则m1n

例1、己知正整数a，b，c，d满足a<2b，3b<4c，5c<6d，7d<2003，则a的最大值是

解a，b，c，d为正整数且a<2b，3b<4c，5c<6d，7d<2003，

286,200317ddd的最大值为286．

又343,615cdcc的最大值为343

又bbcb457,413的最大值为457

又aaba913,21的最大值为913.

二、 用不等式求最大值或最小值

在不等式ax中x=a是最大值，在不等式xb，x=b，是最小值

例2、己知三个非负数a，b，c满足3a十2b十c=5，2a十b一3c=1，若m=3a十b一7c求m的最大值和最小值

解：3a十2b十c=5，2a十b一3c=1

3a十2b=5-c(1)，2a十b =1+3c(2)

（1）（2）式中消去含b的项，得a=7c一3（3）

（1）（2）式中消去含a的项，得b=7一11c（4）

a，b，c为非负数

可得00117037ccc解得11773c

由m=3c-2可得m的最大值为111最小值为75

三、 双向不等式的简捷解法

双向不等式aa且y

若a

解：原不等式等价于

212142033xx

211250xx

根据积的符号法则有:

(1)2110250xx(2)2110250xx

不等式（1）无解．

不等式（2）的解集是11522x

故原不等式的解集是11522x

四、 最佳方案的决策方法

我们知道运用数学知识解决实际问题的方法是：从实际问题中获取所需的信息---分析处理有关信息---将实际问题转化为数学问题---解答原实际问题．

例4、某学校刻录一批教学用的VCD光盘，若要电脑公司刻录，每张需9元，（包括空白VCD光盘费），若学校自刻，除学校租用刻录机需120元外，每张还需成本4元，（VCD光盘费）问刻录这批VCD光盘，到电脑公司刻录费用省，还是自刻费用省？请说明理由？

解：设需刻录x张VCD光盘，到电脑公司刻录需9x元，则刻需（120十4x）元．

当9x>120十4x时，即x>24时，自刻费用省．

当9x=120十4x时，即x=24时，到电脑公司与自刻费用一样．

当9x<120十4x时即x<24时到电脑公司刻录费用省．