不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。

()()()如：x x x +--<1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <()f x（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解 （四）基本不等式2a bab +≤1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号. 2．如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形： 有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.3．如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：（1(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c R ，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的2222211a b a b ab a b++≥≥≥+∈222a b c ab bc ca ++≥++a b c ==0,0a b m >>>b b m a a m+<+浓度问题）。

不等式主要题型讲解（一） 不等式与不等关系题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）1. 设2a >，12p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（二） 解不等式 题型三：解不等式解不等式2(1)(2)0x x -+≥。

3 .25123xx x -<---2. 不等式2120ax bx ++>的解集为{x|-1＜x ＜2}，则a =_____, b=_______3. 关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02>-+x bax 的解集为题型四：恒成立问题4. 关于x 的不等式a x 2+ a x +1＞0 恒成立，则a 的取值范围是_____________5. 若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.6. 已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

2a b+≤题型五：求最值7. 求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2（2）当时，求(82)y x x =-的最大值。

8. （耐克函数型）求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。

9. （用耐克函数单调性）求函数2y =的值域。

（1） 若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 . （2） 已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。

（3） 已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值.（4） 已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值.题型六：利用基本不等式证明不等式10. 已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++22211. 已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。

求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（四）线性规划题型八：目标函数求最值12. 满足不等式组，求目标函数的最大值13. 已知,x y 满足约束条件：03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩ ,则222x y x ++的最小值是14. 已知变量（其中a>0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a 的取值范围为 。

15. 已知实数x y ，满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，，．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ ）题型九：实际问题某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。

现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？复习――不等式的基本知识参考答案高中数学必修内容练习---不等式 1. ②③⑥⑦⑧； 2. p q >； 3.当01x <<或43x>时，1+3log x ＞2log 2x ；当413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当43x =时，1+3log x ＝2log 2x ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+≤-+0,087032y x y x y x y x k +=3230,330.10x y x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩满足约束条件若目标函数z ax y =+4.∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a 21=Q （p b a b a =⋅>+lg lg )lg lg Q ab ab b a R ==>+=lg 21lg )2lg( ∴R >Q >P 。

5.6. {|1x x ≥或2}x =-；7. (1,1)(2,3)-）； 8. 不等式2120axbx ++>的解集为{x|-1＜x ＜2}，则a =___-6____, b=__6_____9.),2()1,(+∞--∞ ）.10. 解：当a ＝0时，不等式的解集为{}1x x >； 2分当a ≠0时，a (x －a1)(x －1)＜0；当a ＜0时，原不等式等价于(x －a 1)(x －1)＞0不等式的解集为11x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或； ............................................................................... 6分当0＜a ＜1时，1＜a 1，不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； ............................................. 8分当a ＞1时，a 1＜1，不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； .................................................. 10分当a ＝1时，不等式的解为φ． ............................................................................................ 12分11. _____0≤x ＜4________ 12. 12m >-） 13.(],16m ∈-∞14. 解：（1）y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）15. （1）解5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。