第14卷第6期 中国惯性技术学报 Vol.14 No.6 2006年12月 Journal of Chinese Inertial Technology Dec. 2006

文章编号：1005-6734(2006)06-0060-03

硅微机械谐振陀螺仪的非线性分析 盛 平，王寿荣，吉训生，许宜申 （东南大学 仪器科学与工程系，南京 210096）

摘要：给出了硅微机械谐振陀螺仪的结构，介绍了硅微机械谐振陀螺仪的工作原理，详细推导并给出了陀螺仪的输出频率和标度因数非线性的计算公式；基于影响谐振陀螺仪标度因数的参数，分析了由谐振器的振幅和梳齿静电驱动力引起的硅微机械谐振陀螺仪的非线性特性，给出了振动幅度与谐振频率关系的表达式。实验结果表明，陀螺仪的整体性能主要取决于谐振器振动幅度的稳定性。 关 键 词：陀螺；谐振频率；非线性；双端音叉谐振器 中图分类号：U666.1 文献标识码：A

Nonlinear analysis on silicon micromachined resonant gyroscope SHENG Ping, WANG Shou-rong, JI Xun-sheng, XU Yi-shen (Department of Instrument Science and Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China )

Abstract: The operating principle of a silicon micro-machined resonant gyroscope was introduced and its structure was given. The output frequency of the gyroscope and the calculation expressions of scale factor nonlinearity were deduced. Based on the parameters that may influence the scale factor of the resonant gyroscope, the nonlinearity characteristic, which was caused by the resonator amplitude and electrostatic comb-finger driving-force, was analyzed. Finally, the relationship between the resonance frequency and vibration amplitude was presented. The results indicated that the performance of the silicon micromachined resonant gyroscope was determined by the stabilization of the vibration amplitude of resonator. Key words: gyroscope; resonance frequency; nonlinearity; double-ended tuning fork resonator(DETF)

0 引 言 谐振传感器输出的频率信号稳定性好，不易受噪声干扰，在传输和处理过程中也不易出现误差。近年来，基于谐振原理，利用表面微机械加工技术和体硅微机械加工技术研制的谐振器件已有报道，但关于硅微机械谐振陀螺仪的鲜有报道。当硅微机械谐振陀螺仪具有较高的Q值时，陀螺仪非线性将导致谐振频率点的漂移。因此，研究硅微机械谐振陀螺仪非线性特性，对提高陀螺仪的性能很有必要[1]。

1 硅微机械谐振陀螺仪工作原理 硅微机械谐振陀螺仪的结构示意图如图1所示，主要由三部分构成：陀螺仪敏感质量块部分、杠杆传递部分、双端音叉谐振器(DETF)部分。其中，陀螺仪敏感质量块部分用于敏感输入角速度，杠杆传递部分用来放大哥氏（Coriolis）力，谐振器部分主要是将陀螺质量块输出给它的轴向哥氏力转化成相应的频率输出[2]。

基金项目: 国家863资助项目（编号：2002AA812038） 收稿日期：2006-08-19；修回日期：2006-09-26 作者简介：盛平(1977—)，男，博士研究生，研究方向为微型仪表及微系统技术。 电子邮箱：pshengcn@163.com

梳齿 质量块 锚驱动方向 杠杆

检测方向 DETF图1 硅微机械谐振陀螺 仪的结构示意图 61 盛平等：硅微机械谐振陀螺仪的非线性分析 第6期 在静电梳齿电压的驱动下，敏感质量块部分和双端音叉谐振器部分发生谐振，当有角速度输入时，敏感质量块在Y方向上产生哥氏力，并通过杠杆结构放大哥氏力，被放大了的哥氏力作用在谐振器的输出轴向上，使谐振器的谐振频率发生变化，敏感梳齿检测频率的改变量，测出输入角速度。

2 硅微机械谐振陀螺仪的非线性分析 2.1 标度因数非线性分析 当谐振器的谐振梁在轴向力cF的作用下，采用双端差动输出时，频率变化量为[3][4]：

0011rcrcffSFfSF∆=+−−

(1)

式(1)中，10312rrrrCEIfLMπ=为梁的固有谐振频率，221rrCLSCEI=，cF为每根梁受到的轴向力，E为杨氏模量，rI为梁的 截面惯矩，rL为梁的长度，rM为梁的等效质量，1C、2C为取决于谐振梁振动模态的常量。 式(1)展开并忽略高次项可得： 30

1[()]

8rccffSFSF∆=+

(2)

由硅微陀螺仪的静电梳状驱动工作原理可知[1]，力cF与输入角速度Ω关系为： 1112πc

AFQF

f=Ω

(3)

式(3)中，A为杠杆的放大系数，1F、1Q、1f分别为陀螺仪敏感质量块的静电驱动力的幅值、品质因数、谐振频率，

Ω

为输入角速度。将式(3)代入式(2)，整理得： 223211211

0

1111

1[()]

2π82πrr

r

rr

CLAFQCLAFQffCEIfCEIfΩΩ∆=+ (4)

从式(4)可知，输出频率有两部分组成，第一项反映了陀螺仪的标度因数，第二项反映了标度因数的非线性，可用来对标度因数的非线性进行估算。对式(4)的第一项求导，可得： 2221121102

1111

()12π2πrrrrrr

CLAFQCLAFQffCEIfCEMIfΩ∂∆

==

∂ (5)

从式(5)中可知，陀螺仪的标度因数取决于DETF谐振器的梁长、等效质量、截面惯矩、振动模态、材料的杨氏模量，与杠杆的放大系数、质量块的静电驱动力幅度、质量块谐振器的1Q值成正比，与质量块谐振器的频率成反比。

2.2 谐振器振幅引起的非线性分析 考虑谐振器振幅引起的非线性时，弹性恢复力的高阶小量不能忽略，其动态特性可以由下述动力学方程来表示[5]：

33,r

rrrrerr

MxMxKxKxFQω+++=󰀅󰀅󰀅 (6)

式（6）中，223,312rrrCEAKL=为三阶弹性系数，erF为谐振器的梳齿静电驱动力，rA为梁的截面积，rω为谐振器的固有谐振频率，rQ为谐振器的品质因数。

由式（6）可知，谐振器的谐振频率可写成：3,2234rrrKXMωω⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠。展开成级数并忽略高次项，简化为： 3,2

3(1)8r

rr

KXKωω≈+ (7)

式(7)指出，谐振器振的幅导致谐振频率的偏移，偏移量大小跟振幅的平方成近似的线性关系。对梳齿驱动的谐振器来说，振幅X分别与交流驱动电压幅度Vi、直流偏置电压Vd成正比，当谐振器的非线性效应不可忽略时，交流驱动电压幅度和直流偏置电压的增加会造成谐振频率的增加。 2006年12月 中国惯性技术学报 62 2.3 梳齿静电驱动力引起的非线性分析 图2为梳齿电容驱动结构示意图。对梳齿电容求导，可得[1]：

()002

2(21)Chbhnnxgaxεε∂=+−

∂−

(8)

式(8)中，n为梳齿的齿数，0ε为真空介电常数，h为齿厚，b为齿宽，a为静止时动（静）齿端与静（动）齿的间距，x为动齿在某一瞬时的位移，g为齿间隙。 梳齿电容动静齿之间存在静电吸引力，考虑式(8)中C/x∂∂的非线性项，则外加驱动电压后动静齿之间的静电吸引力为：

()22002

11(2(21))

22

ChbhFVVnnxgaxεε∂==+−

∂−

静电

(9)

式(9)中，V为动静梳齿之间所加的驱动电压。当a>>x，将式(9)展开，并忽略高次项： 22003

(21)hbhFVnVnxgaεε≈+−静电 (10)

将式(10)代入式(6)，整理可得： 23203,03

((21))rrrrr

bhhMxMxKVnxKxVnQgaωεε++−−+=󰀅󰀅󰀅 (11)

由式(11)可看出，梳齿电容的非线性使谐振器的等效刚度减小，造成谐振频率的漂移。 3 实验数据分析 直流偏置电压值Vd=19 V，交流驱动电压的幅值Vi=7.5 V、8.5 V和9.5 V

时，输出信号幅频特性曲线如图3，其中曲线1、曲线2、曲线3分别为交流驱动电压幅值取7.5 V、8.5 V和9.5 V时输出信号幅频曲线。谐振器的谐振频率分别为46.725 kHz、46.827 kHz、46.965 kHz。由图3可以看出，交流驱动电压幅值增加时，振动幅度增加，谐振频率点产生偏移。振动幅度越大，幅频曲线不对称越明显。振动幅度随频率增加慢慢增高，到某一点时突然降低。这是典型的非线性振动特性，是由于振幅过大所引起的，这时弹性恢复力的三阶弹性系数3,rK不能忽略。

4 结束语 本文介绍了硅微机械谐振陀螺仪的工作原理，详细分析了硅微机械谐振陀螺仪的非线性特性，给出了陀螺仪标度因数非线性的估算公式，指出谐振器振幅会导致谐振频率的偏移，偏移量与振幅的平方成近似的线性关系。梳齿电容的非线性使谐振器的等效刚度减小，造成谐振频率的漂移。实验验证了理论分析结果。在实际应用中，选择并稳定谐振器振动幅度对陀螺仪的整体性能具有重要影响。

参考文献: [1] 王寿荣. 硅微型惯性器件理论及应用[M]. 南京：东南大学出版社，2000. [2] Seshia A A, Howe R T, Montague S. An integrated micro electromechanical resonant output gyroscope[C]//15th IEEE Micro electromechanical Systems Conference. Jan. 2002: 20-24. [3] Raymond J. Roark, Warren C. Young. Formulas for stress and strain[M]. 5th ed. McGraw Hill, 1975. 147-172. [4] Hopkins R E, Borenstein J T, Antkowiak B M, et al.. The Silicon oscillating accelerometer: A MEMS instrument for strategic missile guidance][C]//The Missile Sciences Conference(held in Monterey). CA, Nov. 2000. 7-9. [5] Roessing T A. Integrated MEMS tuning fork oscillators for sensor application[D]. Ph.D Thesis, University of California, Berkeley, 1998: 58-68.