Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔｓ
一种基于改进阈值函数的小波阈值降噪算法
倪培峰，胡雄
（上海海事大学物流工程学院，上海２０１３０６）
摘要：针对小波阂值降噪中硬阈值函数和软阈值函数的不足，结合现有文献提出一种新的阈值函数。新阈值函数
克服了传统阈值函数的缺点，保证了阈值函数的连续性，同时可以通过改变参数灵活地调节函数。在新阈值函数的
基础上结合改进的阈值确定方法，提出一种新的降噪算法。通过ＭＡＴＬＡＢ仿真，对几种小波降噪算法进行了试验分
析，利用信噪比和均方根误差两个指标进行评价。结果表明，相比于传统的降噪算法，新降噪算法取得了更好的降
噪效果。 关键词：小波降噪；阈值函数；阈值选取；信噪比；均方根误差
中图分类号：ＴＰ３９１ 文献标识码：Ａ ＤＯＩ：１０．１６１５７／ｉ．ｉｓｓｎ．０２５８—７９９８．２０１６．０８．０２４
中文引用格式：倪培峰，胡雄．一种基于改进阈值函数的小波阈值降噪算法【Ｊ１．电子技术应用，２０１６，４２（８）：９８—１００，１０４．
英文引用格式：Ｎｉ Ｐｅｉｆｏｎｇ，Ｈｕ Ｘｉｏｎｇ．Ａ ｎｅｗ ｗａｖｅｌｅｔ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｄｅ－ｎｏｉｓｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ，２０１６，４２（８）：９８－１００，１０４．
Ａ ｎｅｗ ｗａｖｅｌｅｔ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｄｅ－ｎｏｉｓｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ
Ｎｉ Ｐｅｉｆｅｎｇ，Ｈｕ Ｘｉｏｎｇ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｌｏｇｉｓｔｉｃｓ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｈａｎｇｈａｉ Ｍａｒｉｔｉｍｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ ２０１３０６，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｉｍｉｎｇ ａｔ ｔｈｅ ｄｅｆｅｃｔｓ ｏｆ ｈａｒｄ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｏｆｔ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｎ ｗａｖｅｌｅｔ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｄｅ—ｎｏｉｓｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ａ ｎｅｗ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｅｔｉｏｎ ｗａｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｉｎｇ ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅｓ．Ｔｈｅ ｎｅｗ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃａｎ ｏｖｅｒｃｏｍｅ ｔｈｅ ｗｅａｋｎｅｓｓ ｏｆ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．ａｎｄ ｇｕａｒａｎｔｅｅ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ｏｆ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｔｉｍｅ ｔｈｅ ｆｕｎｅｔｉｏｎ ｃａｎ ｂｅ ｆｌｅｘｉｂｌｙ ａｄｊｕｓｔｅｄ ｂｙ ｃｈａｎｇｉｎｇ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｂａｓｅｄ Ｏｉｌ ｔｈｅ ｎｅｗ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａ ｎｅｗ ｗａｖｅｌｅｔ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｄｅ－ｎｏｉｓｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗａｓ ｐｒｏ— ｐｏｓｅｄ ｃｏｍｂｉｎｇ ｗｉｔｈ ａｎ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｏｕｇｈ ＭＡＴＬＡＢ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，ｓｅｖｅｒａｌ ｋｉｎｄｓ ｏｆ ｗａｖｅｌｅｔ ｄｅ—ｎｏｉｓｉｎｇ ａｌｇｏ— ｒｉｔｈｍ ｗｅｒｅ ｔｅｓｔｅｄ ａｎｄ ａｎａｌｙｚｅｄ．ｕｓｉｎｇ ｓｉｇｎａｌ—ｔｏ—ｎｏｉｓｅ ｒａｔｉｏ ａｎｄ ｒｏｏｔ—ｍｅａｎ—ｓｑｕａｒｅ—ｅｒｒｏｒ ａｓ ｔｗｏ ｉｎｄｉｃａｔｏｒｓ ｆｏｒ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ｒｅ— ｓｕｈｓ ｓｈｏｗｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｎｅｗ ｎｏｉｓｅ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｅｔｔｅｒ ｎｏｉｓｅ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｅｆｆｅｃｔ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｄｅ— ｎｏｉｓｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｗａｖｅｌｅｔ ｄｅ—ｎｏｉｓｉｎｇ；ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ；ＳＮＲ；ＲＭＳＥ
０引言
实际的工程测量测试中，工程信号在采集和传输过 程中，总会因外界的干扰引入噪声，为了准确地获得有
用信号，降噪是信号分析前必须经过的预处理环节。传
统降噪方法的不足在于使信号变换后的熵增高，无法刻
画信号的非平稳特性并且无法得到信号的相关性『１Ｊ。而
小波变换在时域和频域同时具有良好的局部化性质，并
且小波变换具有众多优良的特性，如多分辨率特性、低
熵性、去相关性和选基灵活性等。这些特性很好地克服
了传统方法的不足，使得小波变换适用于信号的降噪处
理。因此利用小波变换进行降噪，已经成为近几年研究
的热点。
运用小波变换处理噪声的方法主要分为３类：
ＭＡＴＬＡＢ提出的模极大值处理算法【 ；ｘＵ提出的空域相
基金项目：上海海事大学研究生创新基金资助项目（ＹＸＲ２０１５１２２）
９８ 欢迎网上投稿ＷＷＷ．ＣｈｉｎａＡＥＴ．ｃｏｒｎ 关降噪算法 ；ＤＯＮＯＨＯ提出的阈值降噪算法ｌ４】。其中，以
闽值降噪算法最为常用。阈值降噪算法中，通过对分解后
的小波系数进行阈值处理以达到降噪的目的。最常用的
阈值函数是由ＤＯＮＯＨＯ在１９９５年提出的硬阈值函数和
软阈值函数，但这两种函数也存在不足之处。采用硬阈值
函数时，由于硬阈值函数的不连续，导致重构信号可能出
现局部震荡；采用软阈值函数时，与真实小波系数之间存
在恒定的偏差，导致重构后信号的精度下降 ｌ。针对软、
硬阈值函数存在的缺点和不足，本文提出一种新的阈值
函数。新阈值函数既保证了阈值函数的连续性，又能避免
软阈值固定偏差的缺点。并通过ＭＡＴＬＡＢ仿真分析验证
了改进的小波阈值降噪算法优于传统阈值算法。
１小波阈值降噪原理
假设一维离散含噪信号由式（１）表示
（ ）：Ｓ（ ）＋Ｅ（ ）
《电子技术应用》２０１６年第４２卷第８期 Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔｓ
其中，ｘ（ｋ）是含噪信号；ｓ（ｋ）是原始标准信号；Ｅ（ｋ）是叠
加的高斯白噪声，其服从Ｎ（０，０－２）分布。
小波变换后，有用信号的能量集中于幅值较大的小
波系数，而噪声能量则分布在整个小波域中【 。因此，较
大的小波系数是由有用信号引起的，较小的小波系数则
代表噪声。基于小波系数的特征，ＤＯＮＯＨＯ和ＪＯＨＮ— ＳＴＯＮＥ 提出了阈值降噪算法。首先确定一个阈值，即选
择一个合适的数，当小波分解系数小于阈值时，认为这
部分系数主要是由噪声引起的，予以舍弃；当系数大于
阈值时，认为这是由信号引起的小波分解系数，就把这
一部分进行阈值处理，然后用阈值处理后的量化系数进
行重构，即为降噪后的信号。小波阈值降噪的基本步骤
如图Ｉ所示。
Ｉ ：鎏坌壁Ｈ塑篁竺里Ｈ重塑笪呈ｌ
图１小波阈值降噪步骤
２改进阈值算法
阈值的确定直接影响着小波阈值降噪的效果。如果
阈值取得太小，噪声依然存在；如果阈值取得太大，那么
有用信号的重要信息也可能被滤除。最常选用的通用阈
值可用式（２）表示：
Ａ＝ 、，／ （２）
其中，Ⅳ为信号的长度， 为噪声的均方差估计值，
由式（３）给出：
＝
因为通用阈值有过扼杀有用信号的风险，文献［６】提
出一种基于层间相关性的阈值选取方法。本文在此基础 上结合分层阚值的思想对该阈值算法进行改进，如式（４）
所示：
ｌＯ·７Ａｊ Ｋ（ ）∈［０，０．５ｒ）
９Ａ ㈤ ’ ｆ０． ， Ｋｆｎ１ Ｅ『ｏ．８ｒ，ｒ１
【 Ｋ（ｎ）∈［ｒ，＋∞）
其中，ｒ为常数， ， 为小波分解第 层位置ｎ处的阈值，
Ａ 为第．，层的阈值，其表达式如式（５）所示：
Ｊ ＝ Ｖ２１ｎ（Ｎ）／ｌｎ（ｊ＋１） ，
Ｌｏ］＝ｍｅｄｉａｎ（Ｉ ， ｉ）／ｏ．６７４ ５ 一
式中， ， 为第 层上的小波系数，＇『为分解层数。
Ｋ（ｎ）为定义的一个参数，用来表征小波系数的层间
相关性，其定义如式（６）所示：
）： （６）
式中，Ｗ（：，ｎ）表示点Ｉ１，处的所有小波系数。
当Ｋ（ｎ）∈【０，ｒ），点ｎ处的小波系数相关性较强，点
ｎ处可能是一个信号点；当Ｋ（ｎ）∈【ｒ，＋∞），点／７，处的相
关性较差，该点可能是由噪声引起的。由式（４）可知，新
阈值方法通过比较小波系数层间相关性，对不同点ｎ的
《电子技术应用》２０１６年第４２卷第８期 阈值进行修正。当Ｋ（ｎ）∈【０，０．５ｒ）时，小波系数间的相关
性很大，该点非常有可能是纯信号点，对阈值进行收缩，
取为０．７Ａ ；当Ｋ（ｎ）∈【０．５ｒ，０．８ｒ）时，小波系数的相关性
比较大，该点有可能是信号点，该点的阈值取为０．８ ＡＪ；
当Ｋ（ｎ）∈［０．８ｒ，ｒ）时，相关性较大，该点依旧可能是信号
点，减小阈值收缩程度，取为Ｏ．９Ａｊ；当Ｋ（ｎ）∈【ｒ，＋。。）时，
认为小波系数的相关性较小，该点几乎不可能是纯信号
点，将阈值取为ＡＪ。
Ｋ（ｎ）在计算时，要求不同层上的小波分解系数的数
目一致，因此需要采用平稳小波变换（ＳＷＴ）。ｒ是测量小
波系数相关性的一个重要参数，取值太小，可能会过扼
杀有用信号，取值过大，可能会保留较多的噪声信息。通
过相关实验，ｒ取为０．５～１．５之间时，降噪效果比较好。
本文中，ｒ取为１。
３构造新阈值函数
传统的阈值函数是由ＤＯＮＯＨＯ提出的软阈值函数
和硬阈值函数，软阈值函数定义如式（７）所示，硬阈值函
数定义如式（８）所示。
ｍ：｛ ｇｎ（ ， ）（。 ，ｋＩ－Ａ）。 ， 。≥Ａ ｆ７）
。 【０ ｌ ，＾Ｉ＜Ａ
ｆ８） ’ ｌ０ Ｉ ， Ｉ＜Ａ 一 硬阈值函数在小波域内存在间断点，在重构信号时
会出现局部震荡现象；软阈值函数虽然在小波域内连
续，但是阈值处理后的小波系数与真实小波系数存在恒
定偏差，会造成信号高频有用信息的丢失。
本文结合文献【８】与文献【９］中的方法，构造了一个
新的阈值函数，如式（９）所示：
Ｗｊ． ：
｛ ， ＋（ 一“）ｓｇｎ（ ， ）（。 ，ｋｌ— 而 ‘ ， ’≥Ａ
／ｏ Ｉ ， Ｉ＜Ａ
（９） 其中，Ｍ：１一ｅ ‘ · ，且０ｃ为正数， 为正数。
由式（９）可知，当ｆ ， Ｉ一士Ａ时， 一Ｏ，即新阂值函
数在 ． ＝±Ａ处是连续的，克服了硬阈值函数不连续的
缺陷，重构信号不会有震荡产生；当 一±ｏ。时， Ⅲ／
， 一１，即当小波系数足够大时，新阈值函数等同于硬
阈值函数，从而克服了软阈值函数 ¨与 之间具有
恒定偏差的问题；同时新阈值函数具有高阶可导性。从
表达式中可以看出，当 一０且 一Ｏ时，新阈值函数即
为软阈值函数；当 一＋∞时，ｕ一１，新阈值函数即为硬
阈值函数；适当选取Ｏｔ和ＪＢ的值，新阈值函数可以在硬
阈值函数与软阈值函数之间进行调整，灵活性更强。硬、
软阈值函数的图形如图２（ａ）、图２（ｂ）所示，选取不同的
和Ｊ８的新阈值函数如图２（ｃ）、图２（ｄ）所示。
９９