第４１卷第５期　２０１１年９月　东南大学学报（自然科学版）　

ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＳＯＵＴＨＥＡＳＴ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏ１．４１　ＮＯ．５　Ｓｅｐｔ．２０１１　

ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１—０５０５．２０１１．０５．０３０　

水泥基复合材料中纤维和裂缝的几何关系及其模拟　

吕　忠　陈惠苏　袁海峰　

（东南大学材料科学与工程学院，南京２１１１８９）　（东南大学江苏省土木工程材料重点实验室，南京２１１１８９）　

摘要：基于裂缝和纤维随机分布于基体中这一理想假设，借助随机几何学和积分几何学的基本　

理论知识，分别从纤维和裂缝的角度探究了水泥基复合材料中乱向分布的裂缝和纤维之间的量　化关系．建立了基体中纤维和裂缝的关系模型，包括多尺度纤维和单个圆盘状裂缝关系模型及　

单个纤维和多尺度圆盘状裂缝关系模型．结果表明，量化关系由其各自在水泥基复合材料中的数　量密度和尺寸参数所决定．同时采用计算机模拟技术验证了所得理论结果的可靠性，模拟了纤　

维和裂缝在基体中的空间分布状态和相交的实际过程．　关键词：纤维；裂缝；积分几何学；计算机模拟技术；桥接效率　

中图分类号：ＴＵ５２８．０１　文献标志码：Ａ　文章编号：１００１—０５０５（２０１１）０５—１０５４－０５　

Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ　

ｂｅｔｗｅｅｎ　ｆｉｂｅｒｓ　ａｎｄ　ｃｒａｃｋｓ　ｉｎ　ｏｆ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ　

ｃｅｍｅｎｔｉｔｉｏｕｓ　ｃｏｍｐｏｓｉｔｅｓ　

Ｌｔｉ　Ｚｈｏｎｇ　Ｃｈｅｎ　Ｈｕｉｓｕ　Ｙｕａｎ　Ｈａｉｆｅｎｇ　

（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｅｒｉａｌｓ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｏｕｒｅｓｔ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ　２１　１　１８９，Ｃｈｉｎａ）　（Ｊｉａｎｇｓｕ　Ｋｅｙ　Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ　ｏｆ　Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　Ｍａｔｅｒｉａｌｓ，Ｓｏｕｔｈｅａｓｔ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ　２１１１８９，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｉｄｅａ１　ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ　ｔｈａｔ　ｃｒａｃｋｓ　ａｎｄ　ｆｉｂｅｒｓ　ｒａｎｄｏｍｌｙ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅ　ｉｎ　ｃｅｍｅｎｔｉｔｉｏｕｓ　ｃｏｍｐｏｓｉｔｅｓ　ｍａｔｒｉｘ　ａｎｄ　ｉｎ　ｖｉｒｔｕｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｇｅｏｍｅｔｒｙ　ａｎｄ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｇｅｏｍｅ—　ｔｒｙ，ｔｈｅ　ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｒａｎｄｏｍｌｙ　ｄｉｓｐｅｒｓｅｄ　ｆｉｂｅｒｓ　ａｎｄ　ｃｒａｃｋｓ　ｉｓ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａ—　ｐｅｒ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｖｉｅｗｐｏｉｎｔ　ｏｆ　ｆｉｂｅｒｓ／ｃｒａｃｋｓ　ｓｅｐａｒａｔｅｌｙ．Ｔｈｅ　ｍｕｔｕａｌ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ　ｍｏｄｅ１　ｏｆ　ｆｉｂｅｒｓ　ａｎｄ　ｃｒａｃｋｓ　ｉｎ　ｍａｔｒｉｘ　ｉＳ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ（ｎａｍｅｌｙ．ｔｈｅ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｍｕｌｔｉｓｃａｌｅ　ｆｉｂｅｒｓ　ａｎｄ　ｓｉｎｇｌｅ　ｄｉｓｃ　ｃｒａｃｋ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｍｏｄｅ１　ｏｆ　ｍｕｌｔｉｓｃａｌｅ　ｄｉｓｃ　ｃｒａｃｋｓ　ａｎｄ　ｓｉｎｇｌｅ　ｆｉｂｅｒ）．Ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅ　ｒｅ－　ｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ　ｉＳ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅｉｒ　ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅ　ｄｅｎｓｉｔｙ　ａｎｄ　ｓｉｚｅ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｉｎ　ｃｅｍｅｎｔｉｔｉｏｕｓ　ｃｏｍｐｏｓｉｔｅｓ　ｍａｔｒｉｘ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ｔｈｅ　ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｉｓ　ｖｅｒｉｆｉｅｄ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｓｐａｔｉａｌ　ｅｘｉｓｔｉｎｇ　ｐａｔｔｅｒｎ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｎｇ　ｂｅｈａｖｉｏｒ　ｏｆ　ｆｉｂｅｒｓ　ａｎｄ　ｃｒａｃｋｓ　ｉｎ　ｍａｔｒｉｘ　ａｒｅ　ｓｉｍｕｌａｔｅｄ　ｂｙ　ｃｏｍｐｕｔｅｒ　ｍｏｄｅｌｉｎｇ　ｔｅｃｈ—　ｎｏｌｏｇｙ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｆｉｂｅｒ；ｃｒａｃｋ；ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｇｅｏｍｅｔｒｙ；ｃｏｍｐｕｔｅｒ　ｍｏｄｅｌｉｎｇ　ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ；ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ　ｏｆ　ｂｒｉｄｇｅ　

纤维增强混凝土是混凝土改性的一个重要手　

段，可以使混凝土的抗拉强度、变形能力、耐动荷　性能大大提高　］．对于掺有短纤维的水泥基复合　材料，绝大多数情况下短纤维在混凝土基体内呈　

三维乱向分布＿２］．当纤维方向与复合体受力方向　

一致时，增强效率最佳；而纤维方向与复合体受力　方向垂直时，增强效率最小，甚至会因纤维和基　

体间薄弱界面的影响，使抗拉强度降低，导致方　向有效系数变为负值…．由于很难用实验验证，　

一般在假设纤维的法向角和轴向角具有等概率分　布的条件下，来计算三维乱向分布纤维的方向系　数　】．纤维体积含量、几何形状、排列方式等细观　

收稿日期：２０１１－０１—１０．　作者简介：吕忠（１９８２一），男，博士生；陈惠苏（联系人），男，博士，教授，博士生导师，ｃｈｅｎｈｓ＠ｓｅｕ．ｃｄｕ．ｃａ・　基金项目：国家自然科学基金资助项目（５０７０８０１８）、国家重点基础研究发展计划（９７３计划）资助项目（２００９ＣＢ６２３２０３）、高等学校博士学　科点专项基金资助项目（２００７０２８６０１８）、东南大学优秀博士学位论文基金资助项目（ＹＢＪＪ１１１６）．　引文格式：吕忠，陈惠苏，袁海峰．水泥基复合材料中纤维和裂缝的几何关系及其模拟［Ｊ］．东南大学学报：自然科学版，２０１１，４１（５）：１０５４—　１０５８．［ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１—０５０５．２０１１．０５．０３０］

　第５期　吕忠，等：水泥基复合材料中纤维和裂缝的几何关系及其模拟　１０５５　

因素也都对宏观弹性性能存在很大的影响　．　当基体中裂缝的体积分数处于低水平时，其分　

布形式可以近似为泊松分布　．在脆性材料的研　

究中，文献［９］认为材料中非连续性的缺陷形式可　

以看作是硬币状或椭球型的．微裂缝的扩展性质　

及其非连续性一直是硬化混凝土材料研究中的核　

心问题之一ｌ】　．基于图像分析和体视学方法，可　

以采用裂缝的平均长度来量化素混凝土的微裂纹　

性质，并且试件截面上裂纹长度的概率密度分布　

函数可以用一个指数函数来表达　卜　．对于脆性　

材料而言，从小尺寸的试件到大尺度的结构，幂　

指数法即基体内裂缝尺寸分布的概率密度函数可　

以很好地表达裂缝的尺寸分布信息¨卜　Ｊ．对于混　

凝土材料而言，幂指数法同样适用　．在水泥基　

复合材料中，当裂缝的尺寸满足一定分布的情况　

下，纤维对裂缝桥接作用如何量化地表达、纤维掺　

量对裂纹桥接作用的影响及基体内裂缝的数量密　

度对纤维掺量的要求都是需要解决的问题．　

本文运用积分几何学中运动测度的概念和运　

动测度的基本公式，分析单个裂缝和有尺寸分布纤　

维的基本几何关系以及单个纤维和有尺寸分布裂　

缝的基本几何关系，采用计算机模拟技术来模拟　

随机分布条件下裂缝和纤维的相交过程，且量化　

其相交关系．　

１基体中纤维和裂缝的关系模型　

１．１积分几何学的基本概念　为了更好地理解水泥基复合材料基体中纤维　

和裂缝的几何关系，需要引入运动密度和运动测　

度概念．如图１（ａ）所示，在二维平面上，设给定形　

状图形　在平面上作刚体运动，Ｐ是随意选定的、　

与　相固连并与　一起运动的点，　为与　相固　

连的任意有向线段与Ｘ轴所作的有向角（０≤　＜　

２，ｒｒ），则三相微元的乘积测度ｄＫ＝ｄｘｄｙ　称为　

的运动密度．在积分几何学中运动密度是一系列　

运动构成的运动群空间的不变体积元素，同时运　

动密度在平移和旋转变换下是不变的．具体到一　

般材料性质而言，平移不变即材料的材质具有分　

布一致性，旋转不变即材料的材质具有各向同性　

的性质　．运动密度ｄＫ在区域ｘ上的积分称为　

ｄＫ在区域ｘ的运动测度．如图１（ｂ）所示，运动测　

度的直观意义是与椭圆　相交的一切全等于矩形　

的图形的集合的测度＿ｌ　．　（ａ）图形　的运动密度　（ｂ）运动测度的几何意义　

图１运动密度和运动测度示意图　

随机点过程理论在材料缺陷定位方面有广泛　应用　］，是模型化和分析空间结构的重要统计工　

具　．如果空间物体能够表现出完全的空间随　

机性，即一个空间泊松过程的实现，则可认为此　物体是具有点过程性质的　．　

１．２　多尺度纤维与单个圆盘状裂缝几何关系模型　假定水泥基复合材料基体中每一个位置对应　

一个随机变量，即该位置是否存在纤维或者裂缝　

是随机的，且只有存在和不存在２种情况．　如图２所示，将基体中随机分布的纤维看成　

一个纤维产生的随机过程，则依据凸体的积分几　

何学理论　，此过程可以分解为以下３个相互独　立的过程：　

图２基体中随机分布的圆盘状裂缝和纤维示意图　

①所有纤维的中点　构成一个数量密度为　

Ｐ　的静态随机点过程，Ｐ　是单位体积内纤维中点　的数目（静态是指纤维中点的数量密度不会随着　

所选基体体积变化而发生变化）．如果　是任一　个凸体　（如孔洞或基体试件的小试块等几何体）　

内纤维中点的数目，则其值为　＝ｐ　，其中　表示凸体　的体积．记　为所选包含纤维和凸体　

的样本测试体的体积．　②基体中每个纤维是独立、乱向分布的，且　其取向在单位球面　上是一致分布的，Ｕ是其方　

向上的单位法线，其取向概率密度为ｄｕ／４，ｒｒ，其中　ｄ“是单位球面　的面积元．

　ｌ０５６　东南大学学报（自然科学版）　第４１卷　

③每个纤维的长度ｚ是相互独立的，且假定　

其尺寸分布的概率密度函数为＿厂（，），最长纤维和　最短纤维的长度分别记为　，ｆ　ｉ　．　

与每个纤维对应的参数集为（Ｍ，“，ｚ），随机　纤维过程等价于乘积参数空间Ｗ＝Ｒ×Ｓ×［ｆ　ｉ　，　

ｆ　］上的一个随机点过程，其中Ｍ∈Ｒ，Ｕ∈Ｓ，　∈　

［ｚ　ｉ　，ｆ　］．考虑参数集合　上的乘积测度　

ｄＬ＝　ｆ）ｄＭｄｕｄ！　（１）　

为了运用积分几何学中关于物体的运动密度　和运动测度的基本运动公式［１　，引入乘积参数空　

问Ｗ１＝Ｗ　ｘ［０，２霄）和其上的乘积测度　＝　

ｄＬｄ　，其中　∈［０，２７ｒ）．记ｄＫ＝ｄＭｄｕｄ￣，于是　

有　＝　１）ｄＫｄｌ，其中，　的积分区域为Ｗ１的　

子区域，在积分几何学中ｄＫ称为纤维在三维测试　

体中的运动密度　．设几何凸体　与此随机纤维　过程相交数目的平均值为　，在所有随机纤维Ｆ　

与凸体　相交所构成的区域　ｎＦ上对　进行积　分，可得　

２　＝　ｆ）ｄ　（２）　

式中，　ｎＦ，为随机纤维过程中所有与力相交的长　

度为ｚ的纤维Ｆ所构成的线状区域．　由运动测度理论　可知　

Ｊ　ｄ　＝８１Ｔ　＋２１Ｔ　Ｓｎｆ　（３）　，ＯＮＦ１　可得　

ｎ＝ｐｆ　＋　ｎＥｆ　（４）　

式中，Ｅ　：Ｉ　｛厂（ｚ）ｄｚ为有尺寸分布纤维的平均　Ｊ／ｍｉ“　长度；　，Ｓ力分别为几何凸体　的体积和表面积．　

当几何凸体　是半径为ｒｄ的圆盘状裂缝Ｄ　时，单个裂缝Ｄ与随机分布的有尺寸分布纤维Ｆ　

相交数平均值为　

＝　盯　Ｅ　（５）　ｙＤ　盯ｒｄ　ｆ　

如果随机分布的纤维Ｆ是等长度地分布于基　

体中，即Ｅ　＝ｆｆ，则单个圆盘状裂缝Ｄ和随机分布　的纤维Ｆ相交数平均值为　

Ｄ＝　Ｐｆ盯ｒｄ２１Ｉｆ　（６）　Ｄ　—　叮Ｔｒｄ　Ｌｏ　

１．３单个纤维与多尺度圆盘状裂缝几何关系模型　假设基体中存在随机分布的静态圆盘状裂缝，　

且采用半径，．来表示圆盘状裂缝．若２个圆盘状　裂缝的半径ｒ是相同的，则其具有相同的特征（见　

图２）．设每个圆盘状裂缝的质心为，，如果２个裂　缝重合，则其质心点也重合，即质心　决定了裂缝　

在基体中的空间位置．静态是指圆盘状裂缝在基　体中的数量密度Ｐ　为常数．　将基体中随机分布的裂缝看成是一个裂缝随　机产生的随机过程，则此过程可以分解成以下４　个相互独立的过程：　①所有圆盘状裂缝的质心　形成一个静态随　机点过程．对于基体中给定的区域，其内部质心　的数量密度Ｐ　不会随区域的位置改变而改变．　②各个圆盘状裂缝上的法线方向Ｕ是相互独　立的且法线方向在单位球面　上是一致分布的，　其取向概率密度为ｄｕ／４．ｒｒ．　

③在包含给定圆盘状裂缝的平面上选定一个　有向线段，则该有向线段和平面上的有向线段夹角　为　，这些夹角互相独立且在［０，２竹）上一致　分布．　④假设圆盘状裂缝半径ｒ具有一定尺寸分　布，其分布概率密度函数为ｇ（ｒ）（裂缝尺寸分布　的幂指数法即为ｇ（ｒ）的具体形式　）．记半径，．　的最大值和最小值分别为ｒ　，ｒ　ｉ　，Ａ（，），Ｃ（ｒ）　分别表示单个半径为，的裂缝的面积和周长，则　此基体中圆盘状裂缝的平均面积为　

＝Ｊ　／４（ｒ）ｇ（ｒ）ｄｒ　（７）　Ｊ　ｒｍｉ　平均周长为　

Ｅｃ＝Ｉ　Ｃ（ｒ）ｇ（ｒ）ｄｒ　（８）　Ｊ，ｍｉｎ　对于每个圆盘状裂缝，其对应的参数集为（Ｊ，　Ｕ，　，ｒ）．所以随机圆盘状裂缝过程等价于乘积空　间Ｚ＝Ｒ　ＸＳ×［０，２．ｒｒ）×［ｒ　ｒ　）上的随机点过　程，其中，Ｊ∈Ｒ，Ｕ∈　，　∈［０，２订），ｒ∈［ｒ　ｉ　，ｒ　。　）．　乘积空间ｚ上的乘积测度为　

ｄＸ＝　ｇ（ｒ）ｄＪｄｕｄｑ￣ｄｒ　（９）　

记ｄＫ＝ｄＪｄｕｄ￣，ｄＫ为圆盘状裂缝在三维空　间中的运动密度，在随机裂缝Ｄ和凸体　相交所　

构成的区域　ｎＤ上对ｄＸ进行积分，可得　

ｙｎ　ｄＸ　Ｐ　ｄｚＪｒｆｒｍａ　ｘｇ（ｒ）ｄ　ｎＤ，ｄ　（１０）　

式中，　ｎＤ　为与　相交的一切半径为ｒ的圆盘状　裂缝Ｄ所构成的区域．　由运动测度理论¨　可知　

』　ｄ　＝８订　＋１Ｔ　ＳａＣ（ｒ）＋４７ｒＱａＡ（’＿ｒ）　Ｊ，ＯＮＤｒ　（１１）