第９卷第４期 太原师范学院学报（自然科学版） Ｖｏ１．９ Ｎｏ．４ ２０１０年ｌ２月 ＪＯＵＲＮＡＩ ＯＦ ＴＡＩＹＵＡＮ ＮＯＲＭＡＬ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）Ｄｅｃ． ２０１０
变精度粗糙集模型与应用
张国荣 王治和 周 涛
（西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃兰州７３００７０）
（摘要］ 介绍了Ｚｉａｒｋｏ变精度粗糙集模型、８约简和广义变精度粗糙集模型；讨论了广义变精 度粗糙集模型８上、下近似算子的基本性质，分析了该模型与Ｚｉａｒｋｏ变精度粗糙集模型之间的关 系，最后用实例分析了０约简过程． （关键词］ 变精度粗糙集模型；Ｂ约简；广义变精度粗糙集模型 ［文章编号］ １６７２—２０２７（２０１０）０４—００１４－０４ （中图分类号］ＴＰＩ８ ［文献标识码］ Ａ
０ 引言
近年来，随着计算机、网络和通讯等信息技术的急速发展，数据日益丰富，但数据分析工具贫乏，因此系
统地开发数据挖掘工具就成为焦点．粗糙集（Ｒｏｕｇｈ Ｓｅｔｓ）是由Ｐａｗｌａｋ于１９８２年提出的一种数据分析理论， 是研究不完整数据、不确定知识表达的新型数学工具，能够处理模糊不精确、不确定或不完全信息，不需要预
先给定某些特征或属性的数量描述，直接从给定问题的描述集合出发，通过一对上、下近似算子确定给定问 题的近似域，从而找出该问题的内在规律．粗糙集理论已经成为数据挖掘的一种新工具，并且在该领域获得 了成功的应用．但传统粗糙集理论建立在等价关系上，这限制了它在实际中的应用．于是Ｚｉａｒｋｏ提出了变精
度粗糙集模型．它是Ｐａｗｌａｋ粗糙集模型的扩展，基本思想是在Ｐａｗｌａｋ粗糙集模型中引入参数Ｂ（Ｏ≤ ＜
０．５），即允许一定程度的错误分类率存在．
１ Ｚｉａｒｋｏ变精度粗糙集模型［１ｑ］
定义１ 设ｘ和ｙ表示有限论域Ｕ的非空子集．令
ｆ（ｘ，ｙ）一 １一ｌ Ｘ ｎ Ｙ ｌ／ｌ ｘ『， ！ｘ！＞ｏ， ｌ ０， Ｉ Ｉ一０． 其中，ｆ ｘ｝表示ｘ的基数．称ｃ（ｘ，ｙ）为集合ｘ关于集合ｙ的相对错误分类率．
定义２ 设（Ｕ，Ｒ）为近似空间，其中论域【，为非空有限集合，Ｒ为Ｕ上的等价关系，Ｕ／Ｒ一｛Ｅ ，Ｅｚ，…， Ｅ ｝为Ｒ的等价类或基本集构成的集合．对于Ｘ ｕ，０≤ｐ＜０．５，定义ｘ的 下近似、 上近似、 边界域、卢
负域分别为：
Ｒ ｘ—Ｕ｛Ｅ∈ｕ／Ｒ Ｊ ｃ（Ｅ，ｘ）≤ ， Ｒ Ｘ—Ｕ｛Ｅ∈Ｕ／Ｒｌ ｃ（Ｅ，Ｘ）＜１－８｝，
ｂｎｒ￣Ｘ—Ｕ｛Ｅ∈Ｕ／ＲＩｐ＜ｃ（Ｅ，Ｘ）＜１－ｐ｝， ｎｅｇｒ￣Ｘ—Ｕ｛Ｅ∈Ｕ／ＲＩ ｃ（Ｅ，Ｘ）≥１一 ｝． Ｘ的ｐ正域（或Ｘ的 下近似）可理解为将Ｕ中的对象以不大于ｐ的分类误差分于Ｘ的集合．ｘ的 负
域为将【，中的对象以不大于 的分类误差分于～ｘ的集合．Ｘ的卢边界域是由那些以不大于卢的分类误差 既不能分类于ｘ又不能分类于～ｘ的Ｕ中的对象所构成的集合．
定理１ 对于Ｖ ｘ Ｌ，，Ｒ８（Ｘ）一ｎｅｇｒ￣（～Ｘ），其中，～Ｘ一【，一ｘ．
收稿日期：２０１０－０９—１４ 作者简介：张国荣（１９７８一），女，山西五台人，忻州师范学院专科部助教，西北师范大学在读硕士研究生，主要从事数据库技术及应用 研究．
第４期 张国荣：变精度粗糙集模型与应用 １５
证明 ￣（ｘ）＝Ｕ｛ＥＥＵ／ＲＩｆ（Ｅ， ）≤ ｝一ｕ｛ＥＥＵ／ＲＩ ≤ ）一
ｕ｛ＥＥ Ｕ／Ｒ Ｉ １一 ≥１一 ）二＝：ｕ｛ Ｅ ＵＩＲ Ｉ ｆ（Ｅ，～ｘ）≥ｌ一 ）＝＝＝ｎｅｇ （～ｘ）．
１．１近似质量
设Ｐ Ｃ，分类质量 （Ｐ，Ｄ）定义为 （Ｐ，Ｄ）一』＿＿ 一Ｊ＿ ，
其中，Ｕｖｅｕ／ｏｉｎｄ（Ｐ）口Ｙ为决策属性集Ｄ相对于条件属性集Ｃ在 下的正域，反映了在给定分类正确率卢下， 知识能正确分类的能力．
１．２近似约简 条件属性Ｃ关于决策属性Ｄ的口近似约简满足以下两个条件：
１） （．Ｐ，Ｄ）一 （ｒｅｄ（Ｃ，Ｄ），Ｄ）； ２）从ｒｅｄ（Ｃ，Ｄ）中去掉任何一个属性，都将使１）不成立． 其中，ｒｅｄ（Ｃ。Ｄ）为Ｃ的一个属性子集．
２广义变精度粗糙集模型嘲
定义３设Ｕ是有限非空的论域，Ｒ是Ｕ上一个任意二元关系，称（Ｕ，Ｒ）为广义近似空间．对于任意的
子集ＸＣＵ，ｏ＜ｆｌ＜ｏ．５，Ｎ（ ）为ｚ的邻域，ｘ关于广义近似空间（【，，Ｒ）的 下近似、卢上近似、 边界域和 负域分别定义为：
ａｐｒ￣Ｘ—Ｕ｛Ｎ（ ）Ｉ ｃ（Ｎ（ ），Ｘ）≤口｝，
ａｐｒｐＸ＝Ｕ｛Ｎ（ ）Ｉ ｃ（Ｎ（ｚ），Ｘ）＜１一 ｝，
ｂｎｒ Ｘ—Ｕ｛Ｎ（Ｉｚ）Ｉ ＜ｆ（Ｎ（ｚ），Ｘ）＜１－８｝， ｎｅｇｒｅＸ—Ｕ｛Ｎ（ｚ）ｌ ｃ（Ｎ（ ），Ｘ）≥１－８）．
命题１ 设（Ｕ，Ｒ）为广义近似空间，对于Ｖ Ｘ Ｕ，ａｐｒｅ（～Ｘ）一ｎｅｇｒ￣（Ｘ），其中，～Ｘ＝＝＝Ｕ—Ｘ．
证明 （～ｘ）一ｕ｛Ｎ（ 删（ ～ｘ ｝一ｕ｛№）ｌ１一 ≤ ｝一
ｕ｛Ｎ（ ）Ｉ ≤ ｝一Ｕ｛Ｎ（ｚ）ｌ １～ ≥１一卢）一ｎｅｇｒａ（ｘ）．
命题２设（Ｕ，Ｒ）为广义近似空间，ｏ￣ｐ＜ｏ．５，则广义变精度粗糙近似算子满足性质： １）ａｐｒａＸ￣ａｐｒｐＸ．
２）当Ｒ自反时，ａｐ Ｕ一 【，一【，．
３）ａＰＤＯ＝ａｐｒ￣０—０．
４）ｘ ｙ 型 ｙ；ａｐｒｐＸ￣＿＿ａｐｒｐＹ． ５）ａｐｒ￣（Ｘｎｙ）￣ａｐｒｐＸ（７ ａｐｒ￣Ｙ．
６）ａｐｒｉｌ（ＸＵＹ）￣＿＿ａｐｒｐＸ Ｕａｐｒ。Ｙ．
７）ａｐｒａ（ＸＵｙ）￣＿＿一ａｐｒＢＸ ＵａｐｒＣＹ．
８）ａｐｒ￣（Ｘｎｙ） ａｐ ｎ ａｐＤＹ．
９）ａ≥ Ｘ 型 ；ａｐｒ．ＸｉａｐｒＣＸ． 证明性质１）由上、下近似的定义直接推出． ２）若存在ｙＥ Ｕ，对于任意ＳＣ Ｅ Ｕ，有ｙ Ｎ（ｚ），ａｐｒ￣Ｕ—ａｐｒ￣Ｕ＝／＝Ｕ．而Ｒ自反时，ｃ（Ｎ（ ），Ｕ）一０，有
ａｐ Ｕ一型ｐＵ一【，，原式得证．
３）ＶｘＥＵ，若Ｎ（ｚ）一０，则ｃ（Ｎ（ｚ）， ）一ｏ＜ｐ，ａｐｒ￣Ｏ＝ａｐｒ￣０＝０；若ｊ Ｎ（ｚ）≠Ｄ，有
ｃ（Ｎ（ ），０）一ｌ＞ｐ且ｆ（Ｎ（ ），０）一１＞１一 ，故原式得证．
１６ 太原师范学院学报（自然科学版） 第９卷
４）ｘ ｙ时ｆ（Ｎ（ ），ｘ）≥ｃ（Ｎ（ ），ｙ），故 ｘ 型ｐｙ； ｘ ｙ．
５）ＸＮＹＣ＿Ｘ，Ｘ ｒ３ｙ ｙ．由性质４），可得 （ＸｆｆｌＹ）￣ａｐｒｐＸ， （ＸｆｆｌＹ）￣ａｐｒｐＹ． 故ａｐｒ￣（ｘｎｙ） 型 ａｐｒｅＹ．同理可证性质６）、７）、８）．
６）当ａ≥ｐ时，Ｖ ｆ（Ｎ（ｚ），ｘ）≤卢推出ｃ（Ｎ（－ｚ），ｘ）≤ａ，故 ≥ ａｐｒ．Ｘ＿＿＿￣ａｐｒＣＸ，一ａｐｒ ｘ 口ｘ．
２．１ 与Ｚｉａｒｋｏ变精度粗糙集模型的关系
设（ｕ，Ｒ）为广义近似空问，当Ｒ是等价关系时，Ｎ（ ）即为变精度粗糙集模型中的 的等价类Ｅ，从而
ｆａｐｒ￣Ｘ—Ｕ｛Ｎ（ｚ）ｌ ｃ（Ｎ（ｚ），ｘ）≤卢｝
ｌａｐｒ￣Ｘ—Ｕ｛Ｎ（ｚ）ｌ ｃ（，＼，（ｚ），ｘ）＜ｌ一 ｝ 等价于
ｆａｐｒｐＸ—Ｕ｛Ｅ∈Ｕ／Ｒ ｌ ｃ（Ｅ，Ｘ）≤ ｝
ａｐｒｐＸ—Ｕ｛Ｅ∈Ｕ／Ｒ Ｉ ｃ（Ｅ，ｘ）＜１一 ） 即经典的变精度粗糙集模型可以看成是广义变精度粗糙集模型限定在等价关系下的特例．
３ 算例
求决策表的｜８约简．数据集如表１．
表１ 决策表 Ｔａｂｌｅ】Ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｔａｈｌＰ
其中，ｃ一｛ｅ ，ｅ。，ｅ。，ｅ ，ｅ ）为条件属性集，Ｄ一｛ｄ）为决策属性集．
Ｓｔｅｐ １ 首先求条件属性ｃ的等价类． ．
Ｕ／｛ｅ１｝一｛｛ 】， ２， ５， ６，ａＴ８），｛３５３， ４， ７， ９）），
Ｌ，／｛ｅ２｝一｛｛．２７１，ｚ２， ４， ５，ｚ６，ｚ８，ｌｚ９），｛ ３，３７７｝｝ Ｕ／｛ｅ３｝一｛｛ａＴ．１，ｚ４，ｚ９｝，｛ ３，ｚ７），｛ ２，，２ｇ５，３７６，．ａＴ８｝） Ｌ，／｛ｅ４｝：｛｛ｚ１，，ａＴ２，３７３， ４，ｚ５， ６，．ａＴ８， ９｝，｛ｌｚ７｝｝
Ｕ／｛ｅ５｝：｛｛ １， ２，ｚ４，３５６， ７，Ｌｚ８， ９｝，｛ｚ３，ｚ５｝｝ 经过求各属性间的交集运算，得到条件属性Ｃ的等价类为：Ｘ 一｛．ｚ ｝，Ｘ 一｛３５。｝，Ｘ。：｛ ｚ ， 。），Ｘ
一｛ ４，３５９｝，ｘｓ一｛ｚ５｝，Ｘ６一｛．２７７）．决策属性Ｄ的等价类：Ｄ１一｛ １，ｚ２，Ｉｚ３，ｚ４｝，Ｄ２一｛－ｚ５， ６， ７，ｚ８， ９｝．
利用公式ｆ（ｘ，ｙ）：＝二｛１一。ｘｎ 。／。ｘ ：ｘＩ＞一，，可得ｃ（Ｘ１，Ｄ１）＝１０ ０ 一 ＝。，同理ｆ（ｘ ， ｌ ， ｌ Ｘ ｌ一， 一 ｌ １ Ｊ …一 …
Ｄ１）一０，ｆ（Ｘ３，Ｄ２）一０．３３３，ｆ（Ｘｌ，Ｄ１）一０．５，ｃ（Ｘ５，Ｄ２）一０，ｃ（Ｘ６，Ｄ２）一０． 当 ∈［Ｏ．３３３，Ｏ．５）时，利用公式 （Ｐ，Ｄ）一 一 ，可得ｙ一７／９，决策属性
集Ｄ相对于条件属性集Ｃ在 下的正域为｛ｚ ，．ｚ ， 。５７７５， ，３５７，ｚ ｝．
Ｓｔｅｐ ２ ｘＣＴＮｆ￣集 ｝，利用上面所求结果，知Ｕ／｛ ｝一｛ ，ｘ ，Ｘ。），其中ｘ 一｛ ， ， 。｝，Ｘ。一 ｛ ３，３５７｝，ｘｓ一｛３５２，３５５，ｚ６， ｓ｝．同上类似，利用公式，计算得ｃ（ｘ】，Ｄ１）：＝：０．３３３，ｃ（Ｘ２，Ｄ ）一０．５，ｃ（Ｘ。，Ｄ ） 一０．２５ １ １ ｌ １ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ 一２ ２ ｌ ２ １ ２ ２ ２ ２
一ｌ ２ Ｏ １ ２ ２ Ｏ ２ ｌ 第４期 张国荣：变精度粗糙集模型与应用 １７
当 ∈［Ｏ．３３３，０．５）时，求得ｙ一７／９，决策属性集Ｄ相对于属性集｛ 。｝在卢下的正域为｛２７ ， ，ｚ ， ，
６，ｚ８，ｚ９｝． Ｓｔｅｐ ３ 对于属性集｛ｅ ，ｅ。，ｅ５），【，／｛ｅ１，ｅ３，ｅ ）＝＝＝｛Ｘ１，Ｘ２，Ｘ。，Ｘ ，Ｘ５，Ｘ６｝，其中，Ｘ 一｛ｚ１），Ｘ２一｛ｚ３｝，
Ｘ３一｛ｚ２，ｚ６， ８｝， ４一｛ ４，ｚ９），Ｘ５一｛ ５），Ｘ６：ｆｚ７）． 同上类似，得Ｃ（Ｘ１，Ｄ１）一０，Ｃ（Ｘ２，Ｄ１）一０，Ｃ（Ｘ３，Ｄ２）一０．３３３，ｆ（Ｘ４，Ｄ１）＝０．５，Ｃ（Ｘ５，Ｄ２）＝０，ｆ（Ｘ６，
Ｄ２）一０． 当 ∈［Ｏ．３３３，０．５）时，ｙ一７／９，决策属性集Ｄ相对于条件属性集｛Ｐ。，Ｐ。 ）在卢下的正域为｛ ，ｚ ，ｚ。，
５，Ｓｔ＂６，ｚ７， ８｝． Ｓｔｅｐ ４据Ｚｉａｒｋｏ所给约简定义，约简实质上是约简前后决策表的信息不发生变化，对任意ｏ＜ｆｌ＜ｏ．５， 都能保持分类质量与原决策表相同，故得出属性集｛ｅ ，ｅ。，ｅ ｝和｛ｅ。｝都是原决策表的约简．
从上述分析过程不难看出，Ｚｉａｒｋｏ的约简定义其实并不稳定，约简过程会产生反复．本例就是一个最好 的说明．属性集（ｅ ，ｅ。，ｅ ｝是原决策表的一个约简，但去掉任一属性，如ｅ ，则并不是原决策表的约简，但再去
掉属性ｅ。后，属性集｛ｅ。）又成了原决策表的约简．
４ 结束语
变精度粗糙集理论有效扩充了传统粗糙集理论，阈值 的引入，增强了模型的知识分辨能力，同时也为 近似决策规则的获取打下了基础．在 约简过程中，由于约简子集的不唯一性，因此，每次约简需到单属性为
止．如何将相关理论研究结果应用于信息系统知识发现是下一步要解决的问题． 参考文献： ［１］Ｚｉａｒｋｏ Ｗ，Ｖａｒｉａｂｌｅ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ｍｏｄｅｌ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍ Ｓｃｉｅｎｃｅ，１９９３，４６（１）：３９—５９ ［２］张文修，吴伟志，梁吉业，等．粗糙集理论与方法［Ｍ］．北京：科学出版社，２００１ ［３］赵越岭，王建辉，顾树生．基于变精度粗糙集阈值的选取ＥＪ］．控制与决策，２００７，２２（１）：７８—８０ ［４］周杰，王加阳，罗安．变精度粗糙集模型约简层次研究［Ｊ］．计算机工程与应用，２００７，４３（１２）：１７３—１７６ ［５３孙士保，姚磊磊，吴庆涛，等．变精度粗糙集模型及其应用研究［Ｊ］．计算机工程与应用，２００９，４５（７）：１０—１３