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巧构造 妙解题
1. 直接构造
例1. 求函数fxxx()sincos32的值域。

分析：由于fxxx()sincos32可以看作定点（2，3）与动点（-cosx，sinx）连线的斜率，
故f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。
解：令cossinxx，，则221表示单位圆

fxk()
3
2



表示连接定点P（2，3）与单位圆上任一点（，）所得直线


kk()320
的斜率。

显然该直线与圆相切时，k取得最值，此时，圆心（0，0）到这条直线的距离为1，
即||32112kk

所以k2233
故22332233fx()

例2. 已知三条不同的直线xyasinsin3，xyasinsin3，
xyasinsin3
共点，求sinsinsin的值。

分析：由条件知sinsinsin，，为某一元方程的根，于是想法构造出这个一元方
程，然后用韦达定理求值。

解：设（m，n）是三条直线的交点，则可构造方程mnasinsin3，即
4303mnm)asin(sin
（*）

由条件知，sinsinsin，，均为关于sin的一元三次方程（*）的根。
由韦达定理知sinsinsin0

2. 由条件入手构造
例3. 已知实数x，y，z满足xyzxy692，，求证：xy
分析：由已知得xyxyz692，，以x，y为根构造一元二次方程，再由判别
式非负证得结论。
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解：构造一元二次方程ppz22690
其中x，y为方程的两实根
所以364902()z
即z299
zz200，
故△＝0，即xy

3. 由结论入手构造
例4. 求证：若n3，nN，则13141511123333n
分析：待证式的左边求和的分母是三次式，为降低分母次数，构造一个恒不等式。
111112111
13kkkkkkkk()()[()()
]

所以左边12341345111()()nnn
121231341341451111[()()]
nnnn

1212311112[()]
nn

故原式得证。

例5. 已知实数x，y满足02xyz，求证：

2
22222sincossincossinsinsinxyyzxyz

分析：要证原式成立，即证

4
sincossincossincossincossincosxyyzxxyyzz

即证4sin(coscos)sin(coscos)sincosxxyyyzzz
由三角函数线知可构造下图，此时不等式右边为图中三个矩形的面积之和
SSS123
，而14单位圆的面积为4，所以
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
4
sin(coscos)sin(coscos)sincosxxyyyzzz

故结论成立。