课程名称:

时间序列分析

题

目: 降水量预测

院 系： 理学院

专业班级：数学与应用数学10-1

学 号： 87

学生姓名： 戴永红

指导教师：＿＿ 潘洁 ＿

2013年 12 月 13日 1. 问题提出

能不能通过以前的降水序列为样本预测出2002的降水量？

2. 选题

以国家黄河水利委员会建站的山西省河曲水文站1952年至2002年51年的资料为例，以1952年至2001年50年的降水序列作为样本，建立线性时间序列模型并预测2002年的降水状态与降水量，并与2002年的实际数据比较说明本模型的具体应用及预测效果。资料数据见表1。

表1 山西省河曲水文站55年降水量时间序列

时段 降水量(mm) 时段 降水量(mm) 时段 降水量(mm)

1952

1953

1954

1955

1956

1957

1958

1959

1960

1961

1962

1963

1964

1965

1966

1967

1968

1969

1970

1971

1972

1973

1974

1975

1976

1977

1978

1979

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

3．原理

模型表示

均值为0，具有有理谱密度的平稳时间序列的线性随机模型的三种形式，描述如下：

1、()ARp自回归模型：1122tttptptL由2p个参数刻画；

2、()MAq滑动平均模型：1122ttttqtqL由2q个参数刻画；

3、(,)ARMApq混和模型：

11221122tttptptttqtqLL

(,)ARMApq混和模型由3pq个参数刻画；

自相关函数k和偏相关函数kk

1、自相关函数k刻画了任意两个时刻之间的关系，0/kk

2、偏相关函数kk刻画了平稳序列任意一个长1k的片段在中间值11,ttkL固定的条件下，两端t，tk的线性联系密切程度。

3、线性模型k、kk的性质

表2 三种线性模型下相关函数性质

模型

函数 ()ARp ()MAq (,)ARMApq

k 拖尾 kq截尾 拖尾

kk kp截尾 拖尾 拖尾

模型识别 通常平稳时间序列tZ，0,1tL仅进行有限n次测量(50)n，得到一个样本函数，且利用平稳序列各态历经性：11njjZZn做变换，ttZ，1,tnL，将1,,nZZL样本换算成为样本1,,nL，然后再确定平稳时间序列{,0,1}ttL的随机线性模型。

3.3.1 样本自相关函数

平稳序列21012,,,,,LL， ()0tE，对于样本，定义自协方差函数：

112211ˆnkkknknkjkjjnnL，0ˆˆˆ/kk。同时为了保证ˆkk，ˆkk一般取50,/4nkn。常取/10kn。

3.3.2 确定模型类别和阶数

在实际应用中，我们常用有一个样本算出的ˆkk，ˆkkkk判别k，kk是拖尾还是截尾的。随机线性模型的三种形式的判别分别如下：

1、若k拖尾，kk截尾在kp处，则线性模型为()ARp模型。k拖尾可以用的点图判断，只要样本自相关函数的绝对值愈变愈小；当kp时，平均20个样本偏相关函数中至多有一个使ˆ2/kkn，则认为kk截尾在kp处。

2、若kk截尾，k在kp处截尾，那么线性模型为()MAq滑动平均模型。kk拖尾可以根据样本偏相关函数的点图判断，只要ˆkk愈变愈小。当kq时，若平均20个样本自相关函数中至多有一个使ˆ2/kn。

3、若样本自相关函数和样本偏相关函数都是拖尾的，则线性模型可以看成混和模型。

模型参数估计

1、()ARp模型参数估计：

()ARp模型有2p个参数：212,,,,,ppL。利用Yule-Walker方程，利用Toeplitz矩阵求逆和作矩阵乘法的方法算样本偏相关函数kk。()ARp模型的参数值不必作专门的计算，只要在样本偏相关函数计算的记录中取出样本参数值即可。此时12,,,pL,都已经确定了，经过推理我们可以得到：201pjjj。

2、()MAq滑动平均模型参数估计：

22221221+1ˆˆˆˆ(1),0ˆˆˆˆˆˆˆ(),1qkkkqkqkkqLL

可得1q个方程，求212ˆˆˆˆ,,qL，即解这个非线性方程组。

3、(,)ARMApq混和模型参数估计

对于满足一个条件：1111......ttptpttptqaaa采用先计算 12ˆˆˆ,,,pL，在计算212ˆˆˆˆ,,qL的方法，具体如下：1）可利用Toeplitz矩阵和作矩阵乘法的方法求出12ˆˆˆ,,,pL。2）令'11...tttptp混和模型化为：'11...tttptqaaa这是关于't的()MAq模型，用't的样本协方差函数估计212ˆˆˆˆ,,qL的值。

4. 步骤

采用MATLAB处理数据。

1、对一个时间序列做n次测量得到一个样本函数12,,nZZZL。实验采用表1中的降水量数据，50n。

图1 山西省河曲水文站55年降水量时间序列

2、数据预先处理：做变换ttZZ，其中501150jjZZ

图2 将时间序列变为期望为0的平稳时间序列

3、计算样本自协方差函数k，样本自方差函数k。 0ˆˆˆ/kk，其中0,1,2,3,4,5k，112211ˆnkkknknkjkjjnnL。由图-3数据可得：随着k的增大，k越来越小，具有拖尾性。

图3 计算样本自相关函数

接下来计算偏相关函数kk(1k)。利用Yule-Walker方程，利用Toeplitz矩阵求逆和作矩阵乘法的方法算样本偏相关函数kk。2/500.283，由图-4得到的数据可得，2kp时，只有一个偏相关函数大于。所以确定阶数为：2p。

图4计算偏相关函数

5、由上综述：确定模型为(2)AR模型。下面进行(2)AR模型参数的估计。

111ˆˆ0.1695，222ˆˆ0.0190，由图-3的，0ˆ1.6320e+004，由公式201pjjj得：2ˆ1.5855e+004

图5 噪声方差的计算

由上可知模型为：120.16950.0190tttt，又知11402.82njjZZn，12402.820.1695(402.82)0.0190(402.82)ttttZZZ，2ˆ1.5855e+004。

最后确定(2)AR模型为：

120.16950.0190478.75ttttZZZ，2ˆ1.5855e+004

6、通过确定的模型估计2002年的降水量

一步估计公式：1ˆˆˆ(1)(1)0.16950.0190478.75kkkZZkZZ。其中，2001年的降水量为234.4mm，2001年的降水量为289.6mm。

20020.1695*234.40.0190*389.6478.75431.62Zmm

一步预报误差为2ˆ279.66mm，而2002年实际降水量为487.3mm。为了提高预报准确度，可以提供更多样本点，进行预报估计。

5．部分程序代码及注释

rainfall=[ ……];

b=length(rainfall);

z=sum(rainfall)/b; ………………………………计算均值

w=rainfall-z; ………………………………由tZ构造t序列

sumw=zeros(1,6);

sumw1=0;

for j=1:50

sumw1=sumw1+w(j)^2; ..……………………………..计算0

end

for k=0:5

for i=1:(b-k)

sumw(k+1)=sumw(k+1)+w(i)*w(i+k); …………….......计算k

end

end

r=sumw/b;

r0=sumw1/b;

p=r/r0; ……………………….计算自相关函数k

kk11=p(2); ………………………计算11

a2=[1,p(2);p(2),1]

a22=inv(a2);

kk2=a22*p(1,2:3)'; ………………………计算22

kk22=kk2(2,1);