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股票市场多重分形性的统计描述
苑莹庄新田
（东北大学工商管理学院，沈阳１１０００４）
摘要：以上海股票市场为例．运用多重分形谱方法对其多重分形性进行了实证研究。分析了 多重分形谱的两个参数（分形谱的宽度及最大、最小概率子集分形维数的差）与指数变化趋
势的关系。并进一步研究了多重分形谱参数与时间序列对数收益率的关系。结果表明多重分 形谱参数与指数的变化趋势及对数收益率具有明显的关联性，这说明多重分形分析能够揭示
更多关于市场变化的有用信息．有望以一定概率预测股价的涨落。
关键词：股票市场；多重分形性：相关性
引 言
金融市场是一个复杂体系，其运行规律很难被 理解和刻画。尽管如此．各国学者对金融资产价
格变化行为的探索却从未停止过。早期的传统金
融学认为价格的变化遵循随机游走，其分布服从 正态分布。然而人们通过实证研究发现．市场的 变化规律不是严格随机的．前后具有相关性。
Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ（１９６３）在对棉花价格的研究中发现棉 花的价差显示出时间标度的特征．并且提出资本
市场收益率服从一组称为稳定帕雷托分布的分形
分布［１１。之后Ｍａｎｄｅｌｂ ｒ（】ｔ＆Ｓｔａｎｔｅｌｖ（１９９５）首次将 研究复杂性科学的标度无关性方法引入到经济系
统中来，运用分形理论对标度无关性这一特征从 理论高度上重新进行表述［２１。此后．许多实证研
究都运用分形分析模型．如重标极差分析ｆＲ／Ｓ分
析）模型、Ｌｅｖｙ稳定分布模型等来对实际市场的
历史数据进行实证研究以确认标度无关性特征的
存在［３－５］。然而．这些模型虽然能够确认股指时问 序列的标度不变性，但是它们却不能够说明金融
时间序列中概率分布的标度变化。因为简单分形 只能抓住资产价格过程的某一方面特征．仅仅描 述了资产价格过程变化的一个宏观概貌和长期统
计行为．而并未考虑局部特征，对资产价格过程 的描述远远不够细致与全面．必然失去许多信息。
而多重分形是从系统的局部出发研究其最终整体 特征的方法．它主要借助统计物理的方法讨论概 率的分布规律。用多重分形理论刻画金融市场． 类似于用不同倍数放大镜和显微镜来观察同一事
物．使得对金融市场波动的分解更加细致．从而
可以得到有关价格波动的不同时问标度、不同幅 度的统计信息。它将复杂体系分成许多奇异度不
同的区域来研究，能分层次地了解复杂体系的内 部精细结构和所富含的信息．能够更加真实地描 述金融市场价格变化的复杂统计特征．被认为是
迄今为止最为全面的描述价格波动特征的模型．
它不仅囊括了已有的随机模型所描述的价格波动
特征，更预见了在这些模型中没有体现的价格波 动多重分形特性。Ｈ０（２００３）及Ｓｕｎ（２００１）等
人分别对台湾股票价格指数和香港恒生指数进行 了多重分形统计分析，确认了多重分形特征的存
在Ｍ－ｓ／。而且Ｓｕｎ等人进一步讨论了多重分形谱参
收稿日期：２００６—１１—０３ 基金项目：国家自然科学基金项目资助（７０３７１０６２）。 作者简介：苑莹，东北大学工商管理学院博士研究生；庄新田，东北大学工商管理学院教授，博士生导师。
ＭＡＮＡＧＥＭＥＮＴ ＲＥＶＩＥＷ Ｖｏ１．１ ９ Ｎｏ １ ２（２００７、
３ 维普资讯 http://www.cqvip.com 数与当日及前日恒生指数变化的关系。从而得出
结论认为二者之问具有很明显的关联性。魏宇 （２００５）及周孝华（２００５）等人分别将多重分形谱
方法应用于沪深股市。并从不同角度对其进行了 有益的探讨。其结果具有一定的现实意义［９－１０］。
本文旨在研究上海股票市场的多重分形特性。 即找出股指变化与多重分形谱参数之间的相关关
系。为对股指进行预测提供一些实证证据。本文
首先运用多重分形理论对１９９０—２００５年间上证指
数每日收盘指数进行了实证研究。确认了上海股 票市场多重分形特征的存在。并进一步对２０００—
２００５年上证指数每５分钟收盘指数的高频数据进
行实证研究。分析了多重分形谱参数与指数变化、
对数收益率的关系。结果表明多重分形谱参数与 指数变化、对数收益率具有明显的相关性。
多重分形谱模型
将多重分形理论应用于金融分析中。则求解 多重分形理论的步骤如下：首先。将时间序列进
行归一化处理，用 表示： ／∑Ｐ ，并将归一
化后的时间序列分成时间长度为 的不重叠的时
间窗。其次，求出每个时间窗内（或盒子内）的 价位概率 （ ，该价位概率等于每个时间窗内所
有归一化后的时间序列的和。再次，选取适当的ｑ
值，通过 （ 计算ｇ的配分函数Ｍｑ（ 为：
Ｍｑ＝ （ （１） １ 其中，凡是时间长度为 的时问窗总数，ｑ是一∞
到＋∞上的实数。对于多重分形分布，配分函数随
时间长度服从如下的标度关系：
∞， （２）
根据式（２）可 做出相应的ＬｎＭｑ（ －ＬｎＴ曲线，
如果ＬｎｌＶｌｑ（ 随ＬｎＴ的变化有较好的线性关系，
说明此分布属于多重分形分布。ＬｎｌＶｌｑ（ －ＬｎＴ曲
线的斜率就是下（ｇ），从下（ｇ）中可以计算出多重
分形谱／（ ）。其计算公式如下：
ｄｑ［下（ｇ）］＝ ）
下（ｇ）：ｇ ） ） （３）
（４）
分形谱的宽度△ ＝ ～一 一表征了最大、最小概率
问的差别。相应的最大、最小概率子集分形维数
的差别Ａｆ＝ｆ（ （ 惴）反映了高低价位出现频
ｌ４管理谇论Ｖｏ１．１９ Ｎｏ．１２（２００７） 率的变化。
数据选取及模型中参数的选择
１、数据的选取
（１）对上海股票市场存在的多重分形现象进
行研究。选取了１９９０年１２月１９日一２００５年１１月 ３０日上证指数每日收盘指数。共计３６７２个观察数
据。
（２）对多重分形谱参数与指数变化关系的研
究。选取了２０００年１月４日一２００５年１１月３０日
上证指数每５分钟的收盘指数。共计６６０００个观 察数据。
２、参数的选择
（１）ｑ的选择：理论上的ｑ范围越大越好，但 实际计算中，ｑ增大到一定程度时计算机的工作量 成倍增加会发生溢出性错误。然而口的范围如果
过小，Ｊ ｇ Ｊ每增加１时，ｆ（Ｏ／）的变化仍较大，这
时得到的厂（Ｏ／）只是分形谱的一部分，不能全面反
映研究对象的概率分布。因此，应该根据不同的
数据选取合适的ｑ值。本文在对每日数据进行研
究时， Ｊ ｑ Ｊ最大取６０，并在【．＿６０，６０】之间以
１５为间隔取得９个口值。而在对每５分钟数据进 行研究时，由于指数变化较小，Ｊ ｑ Ｊ取得较大，
最大为１６０，并在【．＿１６０，１６０】范围内以４０为问
隔取得９个口值。
（２） 的选择：根据每日数据和每５分钟数据
的不同。选择时间长度 分别为２ 、２ ２．…．２ 。及１、
２、３、４、６、８、１２、２４、４８天。
实证研究结果
１、上海股票市场的多重分形特征
图１ ｆａ１是１９９０年１２月１９日一２００５年１１月
３０日上证指数每日收盘指数所对应的多重分形谱 ＬｎＭｑ（ ～ＬｎＴ图形。在ｌｏｇ—ｌｏｇ图形中，它反映
了不同ｑ下的眠（ 与 的标度关系。从图１（ａ） 可以看出， （ 随ＬｎＴ的变化具有良好的线性 关系。说明上海股票市场存在着多重分形现象。
图１（ｂ）是通过图１（ａ）中不同ｇ条件下的
（ 与ＬｎＴ的斜率得到的下（ｑ）～ｑ图形，从图中可
以看出该图形是非线性的，印证了多重分形特征
的存在。进一步地，通过公式（３）、 （４）得到．厂
（Ｏ／）～Ｏ／图形，如图１（ｃ）所示。图中所示，Ｏ／的
值是以一个标度范围（０．８２—１．
５１）为特征的，且 维普资讯 http://www.cqvip.com ｌ ｜ ； 盒 彀 营 璺薯ｊ。
Ｌｎ （ａ）Ｌｎ肘 （７）ＮＬｎＴ ｑ （ｂ）Ｔ（ｑ）－ｑ
图１多重分形谱图形
整个标度范围都大于０．５，这不但说明了该时间序
列具有长记忆性的分形特征．而且还刻画了不同 幅度波动下其标度指数也不同的多标度特征，说 明用简单分形模型来描述该股票市场是不充分的，
而应该运用多重分形模型。 ２、多重分形谱参数与指数变化的关系
４５０ ３５０ Ｖ ２５Ｏ １５０ ５０ ｄａｙ ｆａ１日收盘价趋势图
Ｏ．Ｏ３ ０．０２５ Ｏ．Ｏ２ ０．０１５ ｑ ０．Ｏ１ ０．００５ Ｏ ｄａｙ ｆｂ１口指数波动的方差趋势图
ｄａｙ （ｃ１日多重分形谱参数△ｑ趋势图 ０ ０
０ ０ ＯＬ （Ｃ）‘厂（ ）～
ｆｄ１日多重分形谱参数Ａｆ趋势图
图２指数变化、日指数波动方差、日多重分形谱参数 ＡＯｔ及Ａｆ对照图
从图２可知，日多重分形谱参数△ 分布与方
差分布具有统计上的相似性，同时，当价格发生
大幅波动时，日多重分形谱参数Ａｆ也有相应的反
映，且△厂还指示了价格波动的相对高低趋势和波 动方式。
进一步地，为了更好地刻画多重分形谱参数 与股价指数之间所蕴含的关系，选取两天对其进
行多重分形谱的比较，阿３（ａ）、 （ｂ）分别是
２０００年１月１１日和２０００年１月１２日上证指数每
５分钟的收盘指数变化趋势图，每日共有４８个数
据。设一天之中的最高指数为ｐ～，，最低指数为
Ｐ…，１月１１日的指数最大变化为７３．１２（ｐ一一
ｐ￣，，＝１５４３．４３—１４７０．３１），而１月１２日指数的最大变 化为５１．９３（１４８７．１６—１４３５．２３）。在ｐ＝（ｐ～＋ｐ ｎ）／２
处可画一条直线，如图中虚线所示。图３（ａ）中 指数曲线多数在虚线以上，图３（ｂ）中指数曲线多
数在虚线以下
图４（ａ）、 （ｂ）分别是图３（ａ）、 （ｂ）所对 应的多重分形谱图形。从图中可以看出其各自对
应的多重分形谱的宽度和形状各不相同。如１月
１１日的宽度（△ ＝０．０１４）比１月１２日的宽度
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