波腹处势能始终为0 (2) cos t = 0 各质点都回到平衡位置，此时所有 质点的势能dEp都为零；而动能dEk达到最大，而 且动能集中在波腹附近。
2 2 2 2π 2 dEp 2dVA sin x cos t
x) sin 2 t
波节处动能始终为0
16.6 驻波
当波节点间质点振幅最大时： y A B
A O -A A O -A A O -A A O -A
A O -A
B
P
C
P
P
（A）
(B) P ( D)
P (C)
16.6 驻波
例7.6 有一平面简谐波
y入
向右传播，在距坐标原点O为l=5λ的B点被垂直界面反射， 设反射处有半波损失，反射波的振幅近似等于入射波振 幅。求： 入射波 P B （1）反射波波动方程 X x O l （2）驻波方程 反射波 （3）在原点O到反射点B之间各个波节和波腹的坐标。 解（1）入射波在B点的振动方程
16.6 驻波
16.6.4 弦线上的驻波与简正模式
在两端拉紧、绳长为L 的弦上的波经两端 反射后在弦上形成驻波，两端点均为波节。
n 驻波波长必须满足条件 l n , n 1,2,3,... 2 u 2l ——不连续 n n n
n
2l
这些频率称为弦振动的本征频率，对应的 振动方式称为简正模式。 最低的频率称为基频，其它整倍数频率为谐频。
2u
在右端即x=l/2处，
l y 2 A cos[ (t ) 2 ] A cos( t ) 2u l 2 2u
y2=Acos ( t + ）
16.6 驻波
y y1 y2
x l y 1 A cos[ (t )] u 2u x l y2 A cos[ (t ) ] u 2u

dEk 2dVA cos (
2 2 2
2π
1 y 2 2 π 2 2 2 dEp EdV ( ) 2dVA sin x cos2 t 2 x

x) sin t
2
16.6 驻波
dEk 2dVA cos (
2 2 2
2π
(1) cos t = ±1 各质点的位移达到最大,dEk为零， 势能 dEp 不为零。波节处势能最大；在波腹处势 能最小。势能集中在波节附近。
演示程序：弦线上的驻波
16.6 驻波
两端固定的弦振 动的简正模式
一端固定一端自由 的弦振动的简正模式
ln
n
2
n 1,2,
l
1 n l (n ) n 1,2, 2 2
1
2
l
1
4
2 2 l 2
33 l 2
32 l 4 53 l 4
16.6 驻波
笛中的驻波
2π y2 A cos( t x)
2π x) A cos( t 2π x)
x)
A cos( t
2 A cos


2π

x cos t
16.6 驻波
演示程序：驻波
y 2 A cos
2π

x cos t
O
16.6 驻波
16.5.2 驻波的特征 2π y 2 A cos x cos t


小 结
波腹处质点的振幅最大；波节处质点始终静止。
在波节两侧质点的振动相位相反，振动的速度方 向相反；在相临两波节之间质点的振动相位相同， 振动的速度方向相同。 驻波中能量没有向前传播。

2l 三、弦线上的驻波与简正模式 n n
16.6 驻波
例：图中画出一向右传播的简谐波 在t时刻的波形图，BC为波密介质 的反射面，波由P点反射，则反射 波在t时刻的波形图为:
t x A cos 2( ) T
y入B
t l A cos 2( ) T
16.6 驻波
y入B
y反B
t l A cos 2( ) T
t l A cos[ 2( ) ] T
反射波在B点的振动方程
反射波的表达式
t l (l x) y反 A cos[ 2( ) 2 ] T t x y反 A cos( 2 21 2 ) T t x A cos 2( ) T
(2) 驻波的表达式为
t x t x y y入 y反 A cos 2π( ) A cos 2π( ) T T 2π 2π 2 A sin x sin t T
16.6 驻波
(3) 驻波波节 2π sin x0
2π


x kπ
点O 到点B 之间的波节
k x 2
2π
反射波的表达式
(l x)

t l (l x) y反 A cos 2π( ) π 2π T
16.6 驻波
反射波的表达式
t x 2l y反 A cos 2π( ) π T
l=5
t x y反 A cos[ 2π( ) 21π] T t x y反 A cos 2π( ) T
x y1 A cos[ (t ) 1 ] u
设左行波的波动表达式(以绳的中心为坐标原点)
x y2 A cos[ (t ) 2 ] u
16.6 驻波
l 绳的中心为坐标原点，在左端 x 2 y1 =Acos t
l y1 A cos[ (t ) 1 ] A cos t 2u l 1
L (2n 1)
n
4
n=1 n=2
2L n 2n 1 u u n (2n 1) n 4L
基频： 第一谐频
n=3
n=4
n 1, 2,3.
Second harmonics
u 1 4L
3u 2 4L
5u 3 4L
16.6 驻波
一、驻波的形成 沿x 轴正、反两方向传播的两列简谐波，如 果它们的振动频率和振幅都相同，初相差恒定， 就会叠加形成驻波 。 二、驻波的特征
势能曲线 X
驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化， 在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能 主要集中在波腹，势能主要集中在波节。.

驻波中能量没有向前传播 驻波是媒质的一种特殊运动状态，它是稳定态
演示程序：驻波的能量
16.6 驻波
16.5.3 半波损失
Z = u 媒质的特性阻抗 波密媒质： Z 值较大 波疏媒质： Z 值较小
xk

2
,
k 0,1,2,3,...
x (2k 1) , 4

k 0,1,2,3,...
相邻波腹（节）间距
2 相邻波腹和波节间距 4
演示程序：驻波的波腹和波节
16.6 驻波
二、驻波的相位
y 2 A cos
2π
在波节x = /4两侧

x cos t
左侧：/4 x /4 2 A cos
2π
2π

x0
x0
右侧：/4 x 3/4
2 A cos

在波节两侧，质点的振动相位相反，振动 的速度方向相反； ——在波节处产生的相位跃变 在相临两波节之间，质点的振动相位相同， 振动的速度方向相同。
演示程序 ：驻波的相位
16.6 驻波
16.6 驻波
16.5 驻波
16.5.1 驻波的形成 16.5.2 驻波的特征 16.5.3 半波损失 16.5.4 弦线上的驻波与简正模式
16.6 驻波
当海浪从悬崖或码头反射的时候，能看到它与 入射波叠加后形成一个固定的浪头，这就是驻波
16.6 驻波
16.5.1 驻波的形成
驻波的形成 沿x 轴正、反两方向传播的两列简谐波，如果它 们的振动频率和振幅都相同，初相差恒定，就会叠加 形成驻波
16.6 驻波
（2）驻波的表达式为
y y入 y反
t x t x A cos 2（ ) A cos 2( ) T T 2 2 2 A sin x sin t T 2 （3）波节处 sin x0 2 x k, (k 0,1,2, ,10) k x 2
选择题. 某时刻驻波波形曲线如图所示，则a，b两 点处振动的相位差是
√
A. π
B. π/ 2
C. 0
D. 无法确定
y
o
a
b
x
16.6 驻波
三、驻波的能量
体积元dV 的振动动能和弹性势能
1 1 y 2 2 dEk (dm) v ( dV )( ) 2 t 2 1 y 2 1 2 y 2 dEp EdV ( ) dVu ( ) 2 x 2 x 2π y 2 A cos x cos t
2π
2π
16.6 驻波
例题* 两人各执长为l 的绳的一端，以相同的角 频率和振幅在绳上激起振动，右端的人的振动比 左端的人的振动相位超前，试以绳的中心为坐标 原点描写合成驻波。由于绳很长，可不考虑反射。 绳上的波速设为u 。 解 设左端的振动为y1 =Acos t，则右端的振动 为 y2=Acos ( t + ）。 设右行波的波动表达式(以绳的中心为坐标原点)
16.6 驻波
波疏
波密媒质：反射点出现波节
u1 u2
1 2

1u1 2u 2
2
即在反射点反射波的相位有 突变
——半波损失
16.6 驻波

波密
波疏媒质： 反射点出现波腹
u1
u2