图1
图2
图3
自主证明
图1
解：
图3
解：
自主证明
图2
定理：勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b，
斜边为c，那么
a2 b2 c2. a
c
b
即 直角三角形两直角边的平方和
等于斜边的平方.
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°，
则 a2 b2 c2.
勾
股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”， 下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边 称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
1. 已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a=2， c=5，求b.
2. 在Rt△ABC中，∠B＝90°，a=3，
b=4，求c.
A
B
C
即：A、B、C的面积有什么关系？
SA+SB=SC
3．由上面的条件可知，这三
个正方形的边长分别是1、1
和2，那么刚才的面积关系可
以用一个等量关系式来描述
2
吗？请你写出这个等式.
SA+SB=SC
12 12 （ 2）2
两条直角边的平方和等于斜边的平方.
这里的等腰直角三角形如果腰长 不是1，而是其他数，还会有刚才的 结论吗？
直角 三角形
直角三角形的三边a、b、 c有没有等量关系呢？
创设情境 引入课题
问题2 三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？
追问 由这三个正方形 A，B，C的边长构成的等腰 直角三角形三条边长度之间 有怎样的特殊关系？
B
A
C
2. 请你计算这三个正方形的 面积，它们之间存在什么数 量关系？能否用一个等式表 示出来？
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时
本课重点：勾股定理 的证明及深刻理解 Zx```xk
数学家曾建议用这个图作为与“外 星人”联系的信号.
你知道这是为什么吗？
你 见 过 这 个 漂 亮 的 图 案 吗 ？
一般三角形
两个锐角互余.
三个内角和是180°， 两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边.
髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根
据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图
围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形 （黄
色）．勾股定理在数学发展中起
到了重大的作用，其证明方法据
朱实
说有400 多种，有兴趣的同学可 以继续研究，或到网上查阅勾股 c 定理的相关资料．
黄实
b （b-a）2
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
直角三角形的两条直角边的平方和等于 斜边的平方.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B 和∠C所对的三条边分别是a、b、c.
求证：a2 b2 c2.
请先用手中的全等直角三角形按图示进行摆
放，然后根据图示的边长，选择其中一个图形， 分析其面积关系后证明.
勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c，
那么
a2 b2 c2.
1.成立条件： 在直角三角形中；
2.公式变形: a2 c2 b2 , b2 c2 a2;
b
c
3.作用：已知直角三角形任意两边长， a
求第三边长.
（注意：哪条边是斜边）
感受数学文化
这个图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解《周
a
初步应用定理
练习1 求图中字母所代表的正方形的面积．
225 A
144
80 A
24 Ｂ
A 8
17
初步应用定理
练习2 如图，所有的三角形都是直角三角形，四 边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D 的边长分别 是12，16，9，12．求最大正方形E 的面积．
B
A
C
D
E
初步应用定理
通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干 个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一 棵美丽的勾股树．
Z```x```xk
是不是所有的直角三角形 都是这样的呢？
根据表中 数据，你 得到了什 么？
A
A的面积
C B
B的面积
C A
B
C的面积
左图
4
9
右图
16
9
SA SB SC
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a、b和斜边长c 来表示图中正方形的面积吗？
C A
B
C A
B
SA SB SC
a2 b2 c2