本科毕业论文(设计)

论文题目：有理数域上多项式的因式分解

学生姓名： 学 号： 专 业： 班 级： 指导教师：

完成日期： 年 月 日 有理数域上多项式的因式分解 内 容 摘 要 多项式理论是学习高等代数和解析几何必不可少的内容，它具有独立完整不基于其他高代理论基础的体系，并且为学习代数和其他的数学分支提供理论依据.因式分解，也叫做分解因式，是我们研究有理数域上多项式理论的核心之一，也是进一步学习代数和科学知识的必备基础.因此，在这里我们要对有理数域上多项式的因式分解进行研究.

本文讲述了有理数域上多项式因式分解的条件和方法，通过多个判别方法判断多项式因式分解的充分条件；在多项式可以因式分解的基础上，总结出应用于多项式因式分解的简便算法，给出实例供参考；并在实际应用中融入因式分解的意义和目的.

关键词：有理数域 多项式 因式分解 Rational polynomial factorization domain Abstract Polynomial theory is the study of Higher Algebra and analytic geometry essential content, it has independent and complete not system based on other generation of high theoretical basis and algebra and other branches of mathematics learning and provide a theoretical basis. Factorization, also called factorization, we study the rational number field polynomial theory is one of the core, also for further study of the essential basis of the algebra and scientific knowledge. Therefore, here we want to factor the polynomial over the rational number field decomposition was studied.

This paper tells the factorization of polynomial factorization of rational number field conditions and methods, through multiple discriminant method to determine sufficient conditions for polynomial factorization; in polynomial can factorization based, summed for simple algorithm for polynomial factorization, give an example for reference; and in the practical application into factorization of meaning and purpose.

Key words：Rational number field polynomial factoring 目 录 一、多项式的相关概念 .......................... 错误!未定义书签。 （一）一元多项式和一元多项式环的概念 ........ 错误!未定义书签。 （二）多项式整除的概念 ...................... 错误!未定义书签。 二、有理数域上的多项式的可约性 ................ 错误!未定义书签。 （一）有理数域与实数域和复数域的区别 ........ 错误!未定义书签。 （二）多项式的可约性和因式分解的相关理念 .... 错误!未定义书签。 （三）本原多项式的基本内容 .................. 错误!未定义书签。 1.本原多项式的概念 ......................... 错误!未定义书签。 2.本原多项式的性质 ......................... 错误!未定义书签。 （四）判断多项式在有理数域上的可约性 ........ 错误!未定义书签。 1.爱森斯坦( 判别法 ............... 错误!未定义书签。 2.布朗判别法 ..................... 错误!未定义书签。 3.佩龙判别法 .................... 错误!未定义书签。 4.克罗内克判别法 ................ 错误!未定义书签。 5.反证法 ................................... 错误!未定义书签。 6.有理法（利用有理根） ..................... 错误!未定义书签。 7.利用因式分解唯一性定理 ................... 错误!未定义书签。 8.综合分析法 ............................... 错误!未定义书签。 三、多项式的有理根及因式分解 .................. 错误!未定义书签。 （一）求根法 ............................... 错误!未定义书签。 （二）待定系数法 ........................... 错误!未定义书签。 （三）重因式分离法 ......................... 错误!未定义书签。 （四）应用矩阵的初等行变换法 ............... 错误!未定义书签。 （五）利用行列式的性质 ..................... 错误!未定义书签。 四、结论 ...................................... 错误!未定义书签。 参 考 文 献 ................................... 错误!未定义书签。 序 言

代数问题是方程问题，方程问题就是求解问题.低阶方程的求解具有一般的代数方法（一次到四次）[1]，而对于高次方程的求解关键在于掌握多项式的因式分解.

因式分解是集分解变形为之意，综合应用以前所学的知识，是解决许多数学问题的有力工具.它是研究各种运算和代数的恒等变形，采用了大部分相同的变形技能和技巧，如常用的因子提取、公式化配方等.因此，因式分解不只是数学上的一个重点，也是一个难点.

在本文中，研究的有理数域上多项式的因式分解实际上是整系数多项式的分解.整系数多项式是一个无限集，如何判断它可约迄今为止还没有精确和易操作的方法，所以文中针对这个难点进行研究讨论.

一、多项式的相关概念 （一）一元多项式和一元多项式环的概念 多项式是代数学中重要的基础知识，它不仅与高次方程有密切联系，在其他方向为学习代数知识也做了很好的铺垫，因此，我们必须清楚多项式的基本内容.

定义1 设是一非负整数，表达式

其中全属于数域，称为系数在数域中的一元多项式，或者简称为数域上的一元多项式.[2]

多项式可以加、减、乘，例如：

根据上述式子的计算，可以看出数域上的两个多项式通过加、减、乘等运算后，其结果仍然是数域上的多项式.

接下来，我们引入一个概念. 定义2 所有系数在数域中的一元多项式的全体，称为数域上的一元多项式环，记为，称为的系数域.[3] 之后我们要讨论的有理数域上多项式的因式分解是在一个固定的数域上的多项式环中进行的.

（二）多项式整除的概念 我们讨论过一元多项式可以容易地进行加、减、乘法运算，但是多项式之间的除法并不像其他运算那样可以普遍地做.因此整除运算就成为了两个多项式之间区别于其他运算更值得探讨的课题.

和高中代数一样，作为一种表达式，可以用一个多项式去除另一个多项式，求得商和余式，如： 设

接下来，我们作除法：

于是，求得商为，余式为，所得结果可以写成下列形式： 定理1（带余除法） 对于中任意两个多项式和，其中，一定有中的多项式存在，使

成立，并有或，并且这样的是唯一决定的. 证明（唯一性） 设另外有多项式使

成立，其中或,于是有 即 如果，就假设，那么 即可得出 又因为 所以上述式子不可能成立，这也证明了，同时 定义3 数域上的多项式通常称作整除，存在数域上的多项式使等式成立，我们用表示整除，用表示不可以整除.当时，就称为的因式，称为的倍式.

事实上，整除多项式原理使我们很轻松的了解多项式因式分解的原理.

二、有理数域上的多项式的可约性 （一）有理数域与实数域和复数域的区别 我们知道，有理数域，实数域和复数域的范围不同.为了能更好的分析有理数域上多项式的因式分解，我们要区分有理数域，实数域和复数域的概念，只有将单项涵义牢记于心，我们才能知道多项式在各个数域中需要分解到何种形式，这里先做简要介绍.

首先，有理数包括：（1）整数：正整数，负整数和；（2）分数：正分数，负分数；（3）小数：有限小数和无限循环小数[4].所有有理数组成一个集合，即为有理数集.而有理数集是一个域，可以在其中进行四则运算（0作除数除外），用字母表示.

其次，实数可以包含所有的轴点数量，直观的看作是有限小数和无限小数，是有理数和无理数的统称，用字母表示.

再次，是写成如下形式的数，和是，是，是实数和虚数的统称，用字母表示.

（二）多项式的可约性和因式分解的相关理念 定义4 数域上次数的多项式称为域上的不可约多项式，如果它不能表成数域上两个次数比的次数低的多项式的乘积.

定理2（因式分解及唯一性） 数域上每一个次数的多项式都可以唯一地分解成数域上一些.而是指，若有

那么必有,根据因式的次序适当排列得到