矩阵求逆中的上三角阵求逆

1．背景

• 常见方法：

– 伴随矩阵法

– 初等行变换法

– Gauss-Jordan消元法

– 矩阵分解法

• L-U分解法

• QR分解法

• SVD分解

• 满秩分解

• Jordan分解

• 矩阵分解后再求逆矩阵的优点：

– 三角阵大量元素为0，

– 正交阵的逆是其转置矩阵，

– 酉矩阵的逆是其共轭转置矩阵，

这些特性利于求得逆矩阵。

2．L-U矩阵分解法

• 分三个步骤：

– L-U分解

– 上三角阵求逆

– 矩阵乘法

3．上三角阵求逆

我们采用初等行变换先得到三角矩阵逆矩阵的一般公式。对于n阶上三角矩阵U，得到增广矩阵如下： 11121212221211.1nnnnnnuuuluuAllu111213141112131422232422232413334333444441111uuuuvvvvuuuvvvUUuuvvuv111.AUL11121222101(|)001nnnnUUUUUUIULLMMOMOL

在求逆过程中，先计算逆矩阵主对角线上得元素值，即取原矩阵主对角元素的倒数。然后再求与矩阵主对角线平行且最接近的那一个斜列上元素值，接着依次求所有主对角线平行斜列的元素值。

由以上步骤可以给出U逆矩阵V的计算公式：

11(1,2,...,)(1,2,...,1;1,...,)iiiijkjikkiijiivinuvuvinnjinu

由上式及步骤分析可以得到逆矩阵求解流程如下：

11121222000nnnnVVVVVVLLMMOML

在流程图帮助下我们可以做出脉动阵列，方便于硬件处理。

对于下三角矩阵，我们可以做如下处理：

111TTTTLLL

先计算下三角矩阵L的转置，再求上三角矩阵TL的逆，最后得到1L。

4．上三角阵求逆的脉动结构

• 除法运算 乘加运算