要求电动机在 t f 时间内，从静止状态起动，转 过一定的角度θ后停止，即有:
(0) 0, (t f ) 0,
t f dt
t0
在时间[0，t f ]内，使电枢绕组上的损耗为最
小，即最优控制问题表示为：
J
tf 0
RI
2 a
dt
式中 I a 为最小电枢电流；R为绕组电阻。
将上述最优控制问题，写为典型形式：
式中，u为控制作用，矩阵R，Q 称为权
矩阵，在最优化过程中，它们的组成将对X 和u施加不同的影响。
③线性伺服器问题：
如果要求给定的系统状态X跟踪或者尽
可能地接近目标轨迹 X d ，则问题可公式
化为:
J
1 2
tf t0
[(X
X
d
)T
Q(X
X
d
)]dt
J为极小值。
除此之外，还有最小能量问题、最小 燃料问题等等。
设状态变量 1(t) （转角），2 (t) （角
速度），令：
u(t)
J • d
dt CM
Ia
ML CM
则状态方程为：X(t) AX(t) Bu(t)
式中：
X
(t
)
12((tt)),
A
0 0
10, B
0
CM
J
初始状态给定为： 1 (0) 0, 1 (t f ) 终点状态给定为： 2 (0) 0, 2 (t f ) 0
已知：控制系统的最优性能指标为
J tf [X(t),u (t),t]dt t0
附加约束为系统方程
X(t) f [X(t),u(t),t]
以及对应的边界条件（如给定初始条 件 X(t0 ) X0 ），求控制作用u(t)，使性能指 标J极小。
* 求解：对这种问题应用古典变分法， 作为其扩展的极大（或极小）值原理，或 者用动态规划方法来解决。
* 另一方面，近年来，由于对系统控制质量的要 求越来越高，和计算机在控制领域的应用越来越 广泛，所以最优控制系统受到很大重视。
* 最优控制的目的是使系统的某种性能 指标达到最佳，也就是说，利用控制作 用可按照人们的愿望选择一条达到目标 的最佳途径（即最优轨线），至于哪一 条轨线为最优，对于不同的系统有不同 的要求。而且对于同一系统，也可能有 不同的要求。
例如在机床加工中可要求加工成本最低为最优； 在导弹飞行控制中可要求燃料消耗最少为最优； 在截击问题中可选时间最短为最优等等。 因此，最优是以选定的性能指标最优为依据的。 * 一般来讲，达到一个目标的控制方式很多， 但实际上的经济、时间、环境、制造等方面有各 种限制，因此可实行的控制方式是有限的。
当需要实行具体控制时，有必要选择某 一控制方式。
给定：始点与终点的时间固定，状态自由。 要求确定控制作用u(t)，使性能指标:
J [X(t), t] t f t f [X(t), u(t), t]dt
t0ห้องสมุดไป่ตู้
t0
达到极小值。 由上述最优控制的提法知，约束方程为
J
tf t0
dt
tf
t0;
[X(t),u(t),t] 1
②线性调节器问题：
给定一个线性系统，设计目标为保持 平衡状态，而且系统能够从任何初始状态 恢复到平衡状态。
J 1 t f X T Q Xdt 2 t0
式中 Q为对称的正定矩阵。
或者:
J 1 t f [XT QX uT Ru]dt 2 t0
性能指标J在数学上称为泛函，而在控 制系统术语中称为损失函数。通常，在实 际系统中，特别是在工程项目中，损失函 数的确定很不容易，需要多次反复。
性能指标的选择:
性能指标J是一个标量，在最优控 制中它代替了传统的设计指标，如最大 超调量、阻尼比、幅值裕度和相位裕度。 适当选择性能指标，使系统设计符合物 理上的标准。////
§4.1 最优控制的基本概念 §4.2 无约束最优控制的变分方法 §4.3 线性调节器问题 *§4.4 受约束最优控制的极小值原理 *§4.5 最小时间系统的控制问题
§4.1 最优控制的基本概念
在古典控制理论中，反馈控制系统的传统设 计方法有很多局限性，其中最重要的缺点是:
* 方法不严密，大量地依靠试探法。这种设计方 法对于多输入-多输出系统以及复杂系统，不能 得到令人满意的设计结果。
除特殊情况外，最优控制问 题的解析解都是较复杂的，以至 必须求其数值解。
但必须指出，当线性系统具 有二次型性能指标时，其解就可 以用整齐的解析形式表示。
* 必须注意，控制作用u(t)不 像通常在传统设计中那样被称 为参考输入。当设计完成时， 最优控制u(t)将具有依靠输出 量或状态变量的性质，所以一 个闭环系统是自然形成的。
即性能指标既要能对系统作有意义 的估价，又要使数学处理简单，这就是 对于给定的系统很难选择一个最合适的 性能指标的原因，尤其是对于复杂系
统，更是这样。
性能指标已有了如下几种公式化的形式:
①最短时间问题：
在最优控制中，一个最常遇到的问题是 设计一个系统，使该系统能在最短时间内从 某初始状态过渡到最终状态。此最短时间问 题可表示为极小值问题。
性能指标函数为最小，即：
J t f R[u(t) M L ]2 dt
0
CM
为最小。
§4.2 无约束最优控制的变分方法
所谓无约束，是指控制作用u(t)不受不等 式的约束，可以在整个r维向量空间中任意 取值.
一、古典变分法 无约束最优控制的提法： 已知受控系统的状态方程是: X f (X, u, t) 在 [t0 ,t f ] 范围内有效，式中，X为n维状 态向量，u为r维控制向量。这是等式约束。
最优控制的实现问题: * 如果系统不可控，则系统最
优控制问题是不能实现的。
* 如果提出的性能指标超出给 定系统所能达到的程度，则系统 最优控制问题同样是不能实现的.
例4.1 电枢控制的他激直流电动机动态方程为:
J
d
dt
ML
CM Ia
式中，M L 为恒定负载转矩，J为转动惯量；I a 为
电枢电流； 为电机的角速度； CM 为转矩系数。
考虑这些情况，引入控制的性能指标 概念，使这种指标达到最优值（指标可以 是极大值或极小值）就是一种选择方法。 这样的问题就是最优控制。
但一般来讲不是把经济、时间等方面的 要求全部表示为这种性能指标，而是把其中 一部分用这种指标来表示，其余部分用系统 工作范围中的约束来表示。
将上面的 思想用数学形式表达如下：