6.3 方阵的合同

T

12(),,

,n f X X AX x x x =二次型只含未知数的

().f X A 平方项的充分必要条件是的矩阵为对角矩阵,因此X PY =用非退化线性替换将二次型

T

(),f X X AX P =化为标准形等价于求非奇异矩阵使得T

.

P AP 为对角矩阵▌

4命题

,A B 则称与是合同的定义,.A B n 设为阶矩阵T

,

P AP B ,P 如果存在可逆矩阵使得

.

A

B 记为

(1),A B 如果与是合同的(3),A B 如果与是合同的(4),A B 设与是合同的(2),A B 如果与是合同的.

A B n 设与都是阶矩阵A C 那么与是;合同的,B C 与是合同的()();

r A r B 那么,A 如果是对称矩阵B 那么也是对

.称矩阵;B A 那么与也是合同的▌

1性质

{1,2,

,},i s ∈对所有的12s A A A ⎛⎫

⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭准对角矩阵.是合同的那么▌

,

i i A B 如果与是合同的5命题12

s B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

与

2定理,A 如果是对称矩阵使得

12

T

n b b P AP b ⎛⎫ ⎪

⎪= ⎪ ⎪⎝

⎭

,P 那么存在可逆矩阵.

A 即对称矩阵可以合同到对角矩阵,特别地,A 如果是实对称矩阵,P 那么存在实的可逆矩阵T

.P AP 使得是实的对角矩阵,为对角矩阵▌

,E 如果是初等矩阵T

E AE A 那么相当于对作相

:

同的初等列变换和初等行变换,

A E A i j 如果的右边乘上表示互换的第列与第列T

;A E A i j 那么的左边乘上表示互换的第行与第行,A E A i h 如果的右边乘上表示的第列乘以非零常数T

;

A E A i h 那么的左边乘上表示的第行乘以非零常数,A E A i k j 如果的右边乘上表示的第列的倍加到第列T

.A E A i k j 那么的左边乘上表示的第行的倍加到第行2性质▌

,P 因为是可逆矩阵,A 设是对称矩阵,P 是可逆矩阵T

.P AP 满足是对角矩阵P 可以表示为有限个2.6,根据定理初等矩阵的乘积12

.s P P P P =T

T

12

12()()s s P AP P P P A P P P =,

因此T T T 2

1

12(())

.

s

s P

P P AP P P =T 1

1P AP A 因为意味着对作一对相同的初等列变换和初

,等行变换A 所以可以经过有限对相同的初等列变换和.

初等行变换化为对角矩阵

P A 求可逆矩阵将对称矩阵合同到对角矩阵的方法

(1)(2);

n A n n H I ⎛⎫

⨯= ⎪⎝⎭

构造矩阵(2)H n 用相同的初等列变换与初等行变换将的上面个

n 下面的个行构成的,A 行构成的方阵化为对角矩阵P 方阵即为.A n 设为阶对称矩阵.

T

.

P P AP 满足为对角矩阵