尖子生辅导 1、设3.2()21fxxaxbx的导数为()fx，若函数()yfx的图像关于直线12x

对称，且(1)0f． （Ⅰ）求实数,ab的值 （Ⅱ）求函数()fx的极值 解：（I）因322()21,()62.fxxaxbxfxxaxb故

从而22()6(),66aafxxb 即()yfx关于直线6ax对称，从而由题设条件知1,3.62aa解得 又由于(1)0,620,12.fabb即解得 （II）由（I）知32()23121,fxxxx 2()6612fxxx6(1)(2).xx

令12()0,6(1)(2)0.2,1.fxxxxx即解得 当(,2),()0,()(,2)xfxfx时故在上为增函数； 当(2,1),()0,()(2,1)xfxfx时故在上为减函数； 当(1,),()0,()(1,)xfxfx时故在上为增函数； 从而函数1()2fxx在处取得极大值2(2)21,1fx在处取得极小值(1)6.f 2、设()fxxaxbx的导数()fx满足(),()fafb，其中常数,abR． （Ⅰ）求曲线()yfx在点(,())f处的切线方程； （Ⅱ） 设()()xgxfxe，求函数()gx的极值． 解：（I）因32()1,fxxaxbx故2()32.fxxaxb 令1,(1)32,xfab得由已知(1)2,322,3.faabab因此解得 又令2,(2)124,xfab得由已知(2),fb因此124,abb解得3.2a

因此3235()31,(1)22fxxxxf从而又因为3(1)2()3,2f 故曲线()(1,(1))yfxf在点处的切线方程为 5()3(1),6210.2yxxy即

（II）由（I）知2()(333)xgxxxe，从而有2()(39).xgxxxe 令212()0,390,0,3.gxxxxx得解得 当(,0),()0,()(,0)xgxgx时故在上为减函数； 当(0,3),()0,()xgxgx时故在)3,0(上为增函数； 当(3,)x时，()0,()(3,)gxgx故在上为减函数； 从而函数1()0gxx在处取得极小值2(0)3,3gx在处取得极大值3(3)15.ge 3（上海理20、文21）已知函数()23xxfxab，其中常数,ab满足0ab． ⑴ 若0ab，判断函数()fx的单调性； ⑵ 若0ab，求(1)()fxfx时x的取值范围． 【解析】⑴ 当0,0ab时，因为23xxab、都单调递增；所以函数()fx单调递增；……２分 当0,0ab时，因为23xxab、都单调递减；所以函数()fx单调递减；………４分 ⑵ (1)()2230xxfxfxab （i）当0,0ab时，3()22xab， ……………………………… 7分

解得32log()2axb； ………………………………8分 （ii）当0,0ab时，3()22xab， ………………………………11分 解得32log()2axb． ………………………………12分 已知函数ln()1axbfxxx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy。 （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）证明：0x，且1x时，ln().1xfxx

【解析】（Ⅰ）221(ln)'()(1)xaxbxfxxx 由于直线230xy的斜率为12，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2ff即 1,1,22bab





解得1a，1b.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知xxxxf11ln)(，所以， )1ln2(111ln)(22xxxxxxxf

设21()2ln(0)xhxxxx则22)1()(xxxh 当1x时， 0)(xh，而0)1(h，故 当(0,1)x时，()0hx得：0)(-112xhx 当(1,)x时，()0hx得：0)(-112xhx 从而当0x，且1x时，,01ln)(xxxf即1ln)(xxxf. 4（陕西文21）设()lnfxx，()()()gxfxfx． （1）求()gx的单调区间和最小值； （2）讨论()gx与1()gx的大小关系； （3）求a的取值范围，使得()()gagx＜1a对任意x＞0成立． 【分析】（1）先求出原函数()fx，再求得()gx，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意x＞0成立的恒成立问题转化为函数()gx的最小值问题． 【解】（1）由题设知1()ln,()lnfxxgxxx， ∴21(),xgxx令()gx0得x=1， 当x∈（0，1）时，()gx＜0，()gx是减函数，故（0，1）是()gx的单调减区间。 当x∈（1，+∞）时，()gx＞0，()gx是增函数，故（1，+∞）是()gx的单调递增区间， 因此，x=1是()gx的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以()gx的最小值为(1)1.g (2)1()lngxxx

设11()()()lnhxgxgxxxx，则22(1)()xhxx， 当1x时，(1)0h，即1()()gxgx， 当(0,1)(1,)x时，()0hx， 因此，()hx在(0,)内单调递减， 当01x时，()(1)0hxh 即1()().gxgx （3）由（1）知()gx的最小值为1，所以， 1()()gagxa，对任意0x，成立1()1,gaa

即1,Ina从而得0ae。 5（陕西理21）设函数()fx定义在(0,)上，(1)0f，导函数1()fxx，()()()gxfxfx．

（1）求()gx的单调区间和最小值； （2）讨论()gx与1()gx的大小关系； （3）是否存在00x，使得01|()()|gxgxx对任意0x成立？若存在，求出0x的取值范围；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先求出原函数()fx，再求得()gx，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论．

【解】（1）∵1()fxx，∴()lnfxxc（c为常数），又∵(1)0f，所以ln10c，即0c， ∴()lnfxx；1()lngxxx，

∴21()xgxx，令()0gx，即210xx，解得1x， 当(0,1)x时，()0gx，()gx是减函数，故区间在(0,1)是函数()gx的减区间； 当(1,)x时，()0gx，()gx是增函数，故区间在(1,)是函数()gx的增区间； 所以1x是()gx的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以()gx的最小值是(1)1g． （2）1()lngxxx，设11()()()2lnhxgxgxxxx，

则22(1)()xhxx， 当1x时，(1)0h，即1()()gxgx， 当(0,1)(1,)x时，()0hx，(1)0h， 因此函数()hx在(0,)内单调递减， 当01x时，()(1)hxh=0，∴1()()gxgx； 当1x时，()(1)hxh=0，∴1()()gxgx． （3）满足条件的0x不存在．证明如下： 证法一 假设存在00x，使01|()()|gxgxx对任意0x成立， 即对任意0x有02ln()lnxgxxx ① 但对上述的0x，取0()1gxxe时，有10ln()xgx，这与①左边的不等式矛盾， 因此不存在00x，使01|()()|gxgxx对任意0x成立． 证法二 假设存在00x，使01|()()|gxgxx对任意0x成立， 由（1）知，()gx的最小值是(1)1g， 又1()lnlngxxxx，而1x时，lnx的值域为(0,)， ∴当1x…时，()gx的值域为[1,)， 从而可以取一个值11x，使10()()1gxgx…，即10()()1gxgx…,

∴1011|()()|1gxgxx…，这与假设矛盾． ∴不存在00x，使01|()()|gxgxx对任意0x成立． 6（全国课标理21） 已知函数ln()1axbfxxx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy.

（Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）如果当0x，且1x时，ln()1xkfxxx，求k的取值范围.

【解析】（Ⅰ）221(ln)'()(1)xxbxfxxx 由于直线230xy的斜率为12，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2ff即 1,1,22bab





解得1a，1b.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln1()1xfxxx，所以