第七章 土壤特性的空间变异性土壤特性在空间分布是非均一的，例如在平面上土壤的质地、剖面上土层的厚度，以及土壤含水率、土壤水分运动参数、土壤水基质势（负压）、含盐量等在同一时刻，即使是相距很近的点，其数值也是不同的。

这种土壤特性在空间上分布的差异性称为土壤特性的空间变异性。

为了探讨土壤各种因素的变化规律，必须进行田间试验，布设观测点和取样点，由于土壤特性空间变异性的存在，观测和取样点数目不宜过少，但因受人力、物力的限制，也不宜过多，这样，就存在确定合理取样数目、对未观测点进行估值、利用土壤特性的变异规律对田间土壤水分运动进行分析等问题。

以下将分别对这些问题作简要介绍。

第一节 土壤特性的变异性和合理取样数目一、土壤特性的变异性分析[55，63，68，69]土壤特性受随机因素的影响，在一定的空间内进行多次试验所取得的数值可能是不同的，因而存在一定的偶然性。

如将土壤特性看作是一个随机变量Z ，在空间上变化看作是独立的变化，则其变化特征可由其概率密度函数产P （x ）表示。

X 为土壤特性x 的可能取值，发生这一事件的概率为p （x ）。

发生随机变量X 的取值小于或等于X 的事件的概率为⎰∞-=≤xdx x p x X p )()( （2-7-1）概率P （X ≤x ）称为累积概率，概率密度函数P （x ）为一非负函数，P （x ）≥0，且 P （－∞〈x 〈∞〉=⎰∞∞-dx x p )(。

累积概率函数P （X ≤x ）。

有时写成：)()(x P P x F ≤=F （x ）称为随机变量X 的分布函数。

随机变量有多种分布形式，对于土壤特性最常见的有以下两种。

1．正态分布在这种情况下概率密度表达式为222)(ex p[21)(σσπm x x p --=] (2-7-2) 式中δ、m ——常数随机变量X 服从正态分布，记为X ～N （m ，δ2）。

在m=0，δ=1时的正态分布，称之为“标准正态分布”，记为 N （0，l ）。

⎰⎰∞-∞---==x xm x dx x p x F 222)(ex p[21)()(σσπ] (2-7-3) 2．对数正态分布在数据取对数后服从正态分布的，其概率密度的表达式为222)(ln ex p[21)(**--*=σσπm x x x p ] x>0 式中δ*、m*—一对数正态分布的特征常数。

判断随机变量X 是否属于正态分布或对数正态分布，可以根据试验或观测值或对观测数据取对数计算累积概率，并点绘于正态概率纸上，如观测参数值与相应累积概率呈直线则为正态分布。

如对数值与累积概率呈直线关系，则为对数正态分布。

若随机变量X 为正态分布，式（2－7－2）中m 和δ。

分别为随机变量X 的均值和方差；若随机变量为对数正态分布，则m*和δ*为Inx 的均值和方差。

如随机变量X 有一个容量为N 的样本：x 1，x 2，…，x 。

，其分布属正态分布，该随机变量总体的均值和方差可用样本的均值x 和方差S 2进行估计：∑==Ni ixNx 11(2-7-5)112-=N S 21)(x xNi i-∑= (5-7-6)同理，随机变量为对数正态分布时，m*和δ*也可用x*和 S*2进行估计。

标准差（方差δ2的平方根）与均值之比称为变差系数C v ，：mC v σ=(2-7-7)土壤特性的变差系数Cv ；可以反映土壤特性变异性的大小。

二、合理的取样数目在根据一定容量N 的样本分析土壤特性时，样本的均值x n 和方差与总体的均值m 和方差是有一定差别的。

如将x n 也作为随机变量，则取样数N 越大，x n 越接近于m ，x n 的方差越小。

土壤特性分析的要求一定，即样本的均值x n 和总体的均值m 之差必须小于或等于一定精度μ时，则达到这一精度要求的取样数目N 必须使发生小平或等于这一精度μ的事件的概率达到所要求的置信水平，即L n p m x p =≤-}|{|μ (2-7-8)在取样数目足够多时，根据概率统计原理可知，随机变量Nmx u N /2σ-=为标准正态分布（即均值为0，方差为1）。

根据正态分布特点在P L 已知时，可自正态分布双值分位数表查得满足置信水平P L （显著水平a=1一P L ）时的Nmx N /2σ-值μα即P u L a N N m x p =⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫≤-/2σ (2-7-9)自式（ 2－ 7－9）可求得满足置信水平 P L 和一定精度μ要求的取样数目：22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=μσαu N (2-7-10) 例如，置信水平P L =95％时，μα查得为1.96，则284.3⎪⎪⎭⎫⎝⎛=μσN(2-7-11)若取μ=km （k 可取5％、10%等），由于Cr=δ/m ．所以取样数：284.3⎪⎭⎫⎝⎛=m C N V (2-7-12)当k 取10%．Cv=0.l 时，合理取样数N=4；Cv=l.0时，合理取样数N=40在实际工作中，总体方差是未知的，须用样本方差S 2代替。

由概率统计原理可知，随机变量t=（xn 一m ）／√S 2/N 服从t 分布。

满足置信水平P L ，（显著水平a=1—P L ）的t αv ，可自t 分布函数累积概率表2－7－1查得。

P t L a N N S m x p =⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫≤-ν,2/（2-7-13）式中t αv 一—当显著水平a=l 一p L ，自由度v=N —1时的t 值。

自式（2－7－13）可得达到精度μ要求的取样数目：22,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=μναS t N （2-7-14）由于t 为取样数 N=v ＋l 的函数[70]须通过试算求得。

例如，根据试验资料，土壤特性标准差为S=0. 05，要求试验精度为μ=0.01，显著水平α=0.1。

达到以上要求的取样数N 值为2,222501.005.0ναναt t N =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∙70,678.11,1.0==-N t N第二节 土壤特性的空间结构和Kriging 内插法在土壤特性空间变异性分析中，常将土壤特性参数在空间上的变化看作是随机的、互相独立的。

但是，实际上在一定的范围内各点的参数值存在着一定的相关关系，只有在取样点间的距离超过一定数值时，各点取样才能认为是独立的。

以下将分析土壤特性空间分布的相关性，亦即土壤特性的空间结构。

一、土壤特性空间分布的自相关分析在进行土壤特性参数测定时，如沿某一方向以等间距Δx 布置测点，总测点数为N 。

测点位置分别以x 1，x 2，x 3…，x n 表示。

如图2－7－l ，测得各点参数值为Z （X 1），Z （X 2），…，Z （x N ）。

两组共N －1对相对应的参数系列，对这两组参数值进行相关分析，所得的相关系数称为间距为h=ΔX 的自相关系数。

如取间距h=2ΔX ，将形成两组共N —2对相互对应的参数系列，可求得间距为h=2ΔX 的自相关系数，其余类推，可得间距为任一间距h 时的自相关系数r （h ），其表达式为()()()[]()[]()[]h x Z D x Z D h x Z x Z C h r ov ++=, （2-7-15）()()[]()[]μμ-+-=∑-h xZ x Z Nh C iNi iov 11（2-7-16）式中D[ Z （X ）]、D[ Z （X+h ）]——分别为随机变量Z （X ）和Z （X 十h ）的方差；C 0v [Z （X ），Z （X 十h ）]——这两个随机变量的协方差，可简写为C 0v （h ）；μ——参数Z （X ）的均值。

在两组系列足够长时()[]()[]2σ=+=h x Z D x Z D(2-7-17)可简化为()()2σh C h r ov =(2-7-18)自相关系数r （h ）随间距h 而变化，故又称自相关函数。

h →0，r （h ）=1。

r （h ）随 h 的增大而减小，在不存在相关关系时，r （h ）=0，参数值是互相独立的。

若土壤特性参数Z （x ）的测定不是沿一个方向，此时间距h 为矢量，仍可沿不同方向采用式（2－7一15）进行自相关分析，只是式中为矢量。

二、土壤特性空间分布的半方差分析反映土壤特性空间结构的另一指标为半变异函数或半方差，进行空间变异分析时有以下两项基本假设。

1．均值稳定认为土壤特性参数Z （x ）的均值E[Z （x ）]存在，且为常数Δ，即()[]()[]∆=+=h x Z E x Z E(2-7-19)根据这一假定可推论Z （x ）与Z （X 十h ）的协方差存在，且为有限值，即()()[]()[]()[]{}∆-+∆-=+h x Z x Z E h x Z x Z C ov ,()()[]2∆-+=h x Z x Z E=()h C ov(2-7-20)2．D[Z （x ）—Z （X 十h ）]存在，且为有限值两系列Z （x ）与Z （X 十h ）对应值之差的方差风D[Z （x ）—Z （X 十h ）]仅与h 有关，记为2γ（h ），即()()()[]()()[]{}22h x Z x Z E h x Z x Z D h +-=+-=γ (2-7-21)由于γ（h ）= D[Z （x ）—Z （X 十h ）]/2，故称半方差；γ（h ）随h 而变化，有时亦称为半变异函数。

将式（2－7－21）右端展开，并利用式（2－7－19）和式（2－7－20），可导出：()()()h C C h r ov ov -=0其中 ()()[]{}20∆-=x Z E C ov（2-7-22）将式（2－7－18）代入式（2－7－22），并利用γ（0）=l ，则可导出半方差与自相关系数理论上关系：()()[]h r h -=12σγ （2-7-23） h ＝0，r （0）＝1，γ（0）=0随着h 的加大，半方差γ（h ）也随之增大。

当h ≥a 时，r （h ）=0，则，r （h ）=δ2（或 S 2）。

因此，由半方差图可以判断出该参数空间分布的相关距离 a 。

在根据实测资料进行土壤特性变异性分析时，半方差值可自下式计算：()()()[]{}2h x Z x Z E h +-=γ()()[]2121∑=+-=NI i i h x Z x Z N (2-7-24)在求得不同间距h 时的半方差γ（h ）后，常将γ（h ）与h 的关系用经验公式表示。

例如，雷志栋等根据商丘县大吴庄5．2km 2范围内 46眼观测井 1979年 10月 1日地下水位观测资料，求得γ（h ）与h 关系点据如图2－7－2所示，并将γ（h ）与h 关系概化为以下经验公式[67]： ()h aC h 1=γ a h <()1C h =γa h ≥(2-7-25)式中α—一为相关距离（如图2－7一2中所示）；C 1——取观测值的方差（图2－7－2）。