· ∧
～
·
～
·
· ∧
·
∧
～
（ 17 ）
1 T 1 ～ ～ e e+ DTD。 2 2
·
（ 18 ）
V =e e + ξ
T
～T ～
·
ξ。
（ 19 ）
将式（ 7 ） 代入式（ 19 ） 有 V =e ［ Ae + f（ x ） － f（ x） + D + u（ t） ］+ ξ （ 17 ） （ 20 ） 将同步控制 代入到式 可得
l ＞ 0 为 Lipschitz 常数。 其中，
2
基于非线性干扰观测器的混沌同步控制器设计
根据 e（ t） = x （ t） － x（ t） ， 由式（ 1 ） 和式（ 2 ） 可得驱动 － 响应系统的同步误差动力学方程为
· ∧ · ∧ ·
e =x－x= （ A + △ A2 ） x （ t ） + f （ x ） + d 2 （ t ） + u （ t ） － （ A + △ A1 ） x （ t ） － f （ x ） － d 1 （ t ） = Ae + f（ x ） － f（ x） + △A2 x － △A1 x + d2 （ t） － d1 （ t） + u（ t） 。
0
前言
混沌同步在物理、 通信、 生物学、 化学、 医学、 电子学、 信息科学等领域都有着广泛的应用前景 ， 自 20 世纪 90 年代 Pecora 和 Carroll 在混沌同步方面做了开创性的研究工作以来 ， 各种混沌同步方法相继被 提出， 如耦合同步法、 自适应同步法、 脉冲同步法、 非线性反馈控制同步法﹑滑模控制同步法和观测器同 。 步法等 在混沌同步的实际应用中， 系统不可避免的会受到模型误差 、 元器件间的相互干扰及外界噪声等因 素的影响， 因此， 对具有干扰和不确定性的混沌系统进行同步控制具有重要的实际意义 。 然而， 已有的 混沌同步方法大都是在假设模型参数不变和没有外界干扰的前提下提出的 ， 即使考虑了外界干扰和模 ［1 － 4 ］ ， 型不确定性， 通常也对系统干扰和不确定性进行了一些限制 比如系统干扰被假定为有界或者用某 种确定的表达式来描述， 这些假设造成所设计的控制方法具有一定的局限性 。为了克服这些弊端， 近年 ［5 － 12 ］ 。非线性干扰观测器技术提供了一种处理未知干扰和 来， 非线性干扰观测器被用来逼近系统干扰 非线性系统不确定性的有效方法 ， 其原理是将系统的未知干扰和未建模动态等不确定因素统一看成系 统的复合干扰， 然后， 应用干扰观测器进行估计。如今非线性干扰观测器技术已成为非线性系统控制领 域的研究热点， 并有学者将其应用到非线性混沌系统的控制研究中
［ 9］
Y 是适当维的实矩阵或者向量， 假设 X、 则存在一个常数 α ＞ 0 ， 使得如下的不等式总是 XY + Y T X T ≤α X X T + α － 1 Y T Y 。 （ 4） （ 5）
假设 1
f（ ·） 是连续光滑非线性函数， 且满足 Lipschitz 条件， 即 ∧ ∧ f （ x ） － f （ x ） ≤l x （ t ） － x （ t ） = l e ，
T
（ 9）
K = K ＞ 0 为干扰观测器设计矩阵。 其中， 由于复合干扰 D 与外部干扰d1 （ t） 和d2 （ t） 以及系统状态有关， 从前面对系统的不确定参数和干扰 的假设， 同时考虑到实际混沌系统都是有界的特点 ， 可知 D 的变化率是有界的， 不妨假定 D（ t） ≤ γ， 其中 γ 为未知正常数。 对式（ 9 ） 两边求导， 并考虑到式（ 8 ） ， 则可得到
方
洁等： 非线性干扰观测器方法实现受扰混沌系统同步
· 37·
考虑到式（ 11 ） 和式（ 14 ） ， 定义干扰逼近误差为 D =D－D=ξ －ξ = ξ 。 对式（ 15 ） 两边求导， 并考虑到式（ 12 ） 和式（ 13 ） ， 则可得到
·
～
∧
∧
～
（ 15 ）
D = ξ = ξ － ξ = D － K（ f（ x ） － f（ x） + ξ ） 。 （ 16 ） 定理 1 对于由系统（ 1 ） 和系统 （ 2 ） 构成的混沌驱动 － 响应系统， 如果假设 1 成立， 若将系统的控 则系统（ 1 ） 和系统（ 2 ） 可实现完全同步。 制器设计为式（ 17 ） ， u（ t） = － Ae － Me － D， 其中 M 为适当维的反馈正定增益矩阵。 证明 针对同步误差系统（ 6 ） 和系统（ 16 ） ， 构造如下的 Lyapunov 函数 V= 考虑到式（ 15 ） ， 对式（ 18 ） 两边求导可得
非线性干扰观测器方法实现受扰混沌系统同步
方
1 洁， 陆
程
2
（ 1． 郑州轻工业学院 电气信息工程学院， 河南 郑州 450002 ； 2． 中州大学 工程技术学院， 河南 郑州 450044 ） 摘要： 研究了一类具有参数摄动和外界干扰的混沌系统的同步控制问题 。将系统的内部参数变化和外部干扰 总称为复合干扰， 用一种非线性干扰观测器对复合干扰进行在线观测估计， 并将干扰观测器的输出用于设计 动态补偿控制器以抵消不确定性对系统性能的影响 。仿真结果表明： 本文设计的非线性干扰观测器能很好的 逼近复合干扰， 减小控制器的输出， 改善系统的控制性能。 关键词： 混沌系统； 外界干扰； 同步； 非线性干扰观测器 中图分类号： TP273 文献标志码： A
n 有未知界值的外部干扰； u（ t） ∈ 瓗 是待设计的同步控制输入。 ∧ n 定义同步误差 e（ t） = x （ t） － x（ t） ， 目标是设计合适的控制器 u（ t） ∈ 瓗 使得混沌系统（ 1 ） 与系统 （ 2 ） 实现完全同步， 即 t→∞
lim e（ t） = 0 。
（ 3）
引理 1 成立
［13 － 15 ］
。
本文将传统的非线性反馈控制方法和非线性干扰观测器相结合 ， 研究了一类具有参数摄动和外 。 界干扰的混沌系统的同步控制问题 非线性干扰观测器技术被用于消除系统的未知干扰和参数摄 动等不确定因素的影响 ， 并将其输出转化成相应的输入通道的控制量 。 此方法约束条件较少 ， 设计 的控制器属于小能量控制， 具有良好的实用性和鲁棒性。以常见的 Lorenz 系统为例的仿真实验表明该 方法的有效性。
· ∧
·
∧
为了得到干扰估计， 可设计中间变量 ξ 的观测器为如下形式 ξ = － K（ Ae + u（ t） + ξ + Ke） ，
∧
（ 13 ）
其中， ξ 为中间变量 ξ 的估计值。 利用中间变量 ξ 的估计值 ξ ， 则可以得到干扰估计为 D = ξ + Ke。
∧ ∧ ∧
∧
（ 14 ）
第6 期
· · T ∧
～T ～
·
·
ξ。
（ 20 ）
V = e ［－ Me + f（ x ） － f（ x） + D － D］+ ξ
∧ ～ ·
T
∧
∧
～T
～
ξ。
（ 21 ）
考虑到式（ 16 ） ， 则式（ 21 ） 可以写为 V = e T［－ Me + f（ x ） － f（ x） + D － D］+ ξ T D － ξ T K（ f（ x ） － f（ x） + ξ ） ， 又由式（ 15 ） 可得 V = － e T Me － ξ T Kξ + e T （ f（ x ） － f（ x） ） + e T ξ + ξ T D － ξ K（ f（ x ） － f（ x） ） 。 由假设 1 和引理 1 可得 e（ f（ x ） － f（ x） ） ≤ e
· ·
ξ = D － Ke = D － K（ Ae + f（ x ） － f（ x） + u（ t） + D） ， D = ξ + Ke。
·
·
·
∧
（ 10 ） （ 11 ） （ 12 ）
由式（ 9 ） 可得 将式（ 11 ） 代入到式（ 10 ） 有
·
ξ = D － K（ Ae + f（ x ） － f（ x） + u（ t） + ξ + Ke） 。
1
问题的提出
考虑如下形式的混沌系统
· T n
x （ t ） = （ A + △ A1 ） x （ t ） + f （ x ） + d 1 （ t ） ，
T n
（ 1）
x =［ x1 ， x2 ， …， x n］ ∈瓗 为系统的状态向量 ； f （ · ） = ［ f1 （ · ） ， f2 （ · ） ， …， f n（ · ） ］ ∈瓗 为未 其中 ， 知的平滑非线性项 ； d1 （ t） 为具有未知界值的外部干扰 ； A 为已知适当维的矩阵 ； △ A 1 为系统未知有 界参数摄动 。 以系统（ 1 ） 做为驱动系统， 构造带有控制输入的响应系统
第 33 卷 第 6 期 2012 年 12 月
河南科技大学学报： 自然科学版 Journal of Henan University of Science and Technology： Natural Science
Vol． 33 No． 6 Dec． 2012
文章编号： 1672 － 6871 （ 2012 ） 06 － 0035 － 05
∧ · · ∧
～
∧
～
（ 22 ）
～ ～
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～
～
·
～
∧
（ 23 ） （ 24 ） （ 25 ） （ 26 ）
f （ x ） － f （ x ） ≤l e