久期（Duration），也叫持续期。
一、概述
1．久期概念：债券所有现金流量发生时间的加权平均值，即衡量债券持有者收到现金付款之前平均需要等待多长时间。
2．权重的概念：Wt：表示某一时刻现金流量的现值与债券价格之比。
Wt=，PV现值，CFt（cash flow）
3．久期表达式：===D
4．久期概念的用途：考察债券价格对利率变动的敏感性的衡量指标，具体说，久期是债券价格变化与债券到期收益率变化的比例系数。
证明：∵P=（1）
对（1）式相对于t求一阶导数可得= —（2）
将（2）两边同除以价格P，得：
×= = —，同时可得：
= —D
假定收益率曲线平滑，r在中短期内变化微小。
= —D×（）（3）
∴D是反映收益变化影响债券价格变化的比例系数，公式负号表示利率上升，债券价格下跌,反之，则上涨。
5．修正久期的概念：定义修正久期为D*=
△P= —D*×P×△r (4)
二、基于久期的套期保值策略
1、套期保值比率HR的确定
套期保值所需合约数（张）=×到期日调整系数×加权系数
到期日调整系数=
举例
加权系数有三种：1、转换系数模型；2、回归模型；3、久期系数
1、转换系数模型：现货债券如果恰恰是最便宜可交割债券，用这种方法较为理想。
原因：期货市场价格变动与最便宜可交割债券价格变动一致。
缺点：（1）、现货需要保值的债券恰恰是最便宜可交割债券，偶然性大，不被广泛使用。（2）、最便宜可交割债券随时都在变化，用CF作系数不实用。
2、回归模型：将期货价格与现货价格变化的历史数据作回归分析，以回归线的斜率β作为对冲系数，此方法可以作为套期保值比率系数的一个补充，一个参考。
缺点：（1）新发行债券没有历史数据
（2）衍生债券也没有历史数据。
久期值模型：
△Ps= —Ds*×Ps×△r (1)
△Pf= —Df*×Pf×△r (2)
△Ps= △Pf×HR (3)
将（1）、（2）代入（3）式得：
—Ds*×Ps×△r= —Df*×Pf×△r×HR
HR=
举例：某投资者持有1500万美元的美国国债现货债券，到期日2018年，息票利率11%，担
心近期利率上涨，拟用长期国债期货套期保值，求卖出国债期货的合约数量？
已知：Ds* =9.8年，Df*=10.64年，Ps =118.5，Pf =92-16
HR==1.18，卖出期货合约数量=×1.18=177张
三、久期值的计算
1、列表法，求D 麦考莱（Macaulay）1938年，D*=（见书P119）
2、封闭式久期计算法
D麦=
C为年利率，F为面值，r为到期收益率，n为债券剩余期限付息次数，P债券价格
举例：见书表4.5
已知：F=100，C=10，n=3×2=6，r=0.12年（半年为0.06）
D麦= =5.32（半年）
D1年麦＝＝2.66年
3、有效久期计算法
（1）、1996年弗兰克法波齐（Frank Fabozi）
（2）、有效久期≈D* (条件：收益率发生很小变动，收益率曲线平滑)
（3）、计算公式D有效＝
P_ 指收益率下降x个基点债券价格
P+ 指收益率上升x个基点时债券价格
R_ 指初始收益率减去x个基本点
R+ 指初始收益率加上x个基本点
P0 指债券初始价格
举例：某债券剩余期限为8年，息票利率9.5％，半年付息一次，现价90，到期收益率11.44％，我们用到期收益率5个基点的变化来计算有效久期，即①当收益率为11.44％＋0.05％，P+＝89.77；②当收益率为11.44％－0.05％，P－＝90.25
D有效＝＝＝5.33
用封闭公式计算D麦来验证。
已知：C＝95／2＝47.5；F＝1000；P＝900；R＝11.44％；r=5.72%；N＝8×2＝16
D麦＝＝11.28年
D麦1年＝11.28／2＝5.644
D＊＝＝5.33
4、简便的久期计算公式D麦
D麦＝－
r＝半年到期收益率；S＝剩余年限付息次数；C＝半年息票利率
将上例数据代入公式验证，
D麦半年＝－＝18.48－7.20＝11.28
D麦1年＝11.28／2＝5.64
5、影响久期的因素
（1）、久期值与债券期限长度成正比；
（2）、久期值与息票额成反比；（通过公式可以看出）
（3）、久期值与到期收益率成反比；
（4）、零息债券的久期为距到期日的时间，而附息债券的久期短于距到期日的时间。
6、久期的应用
（1）、久期是考察债券价格对利率变动敏感性的指标，是债券价格变化与债券到期收益率变化的比例系数。
（2）、预测利率下跌，买入较长久期的债券，因为较长的久期的债券比较短久期的债券上涨幅度大。（原因是期限越长的债券对利率变动越敏感，期限越短，炒作空间越小，到期价格向价值回归）
（3）、预测利率上涨，买入久期较短息票利率较高的债券，因为债券价格下跌较少。（因为快要到期时，价格向价值回归，没有下跌空间）
（4）、1个债券组合的久期为组合中各个债券久期的加权平均值。
7、美元久期
D美元＝－D＊×（以债券面值百分比表示的债券价格）
举例：D＊＝5.33，债券价格P＝900，F＝1000，＝90％
D美元＝－5.33×90＝－479.70
P新＝P旧＋（D美元×收益率变动）
P新＝90＋（－479.70×0.0005）＝90－0.23985＝89.76
第四节远期利率协议交易的计算
举例：已知：某公司计划3个月后在欧洲美元市场筹资3个月期资金1.25亿美元，担心届时LIBOR上涨，决定通过远期利率协议保值。目前路透终端FRA报价LIBOR(3×6)为4.55%/4.75%。
求：①3个月后3个月期LIBOR为5.25％，该公司借款成本为多少？
②3个月后3个月期LIBOR为4.05％，该公司借款成本为多少？
解：
SA1＝＝15.625万／1.013125＝15.42万
SA2＝＝＝－21.875万／1.010125＝－21.656万
答：在①情况下FRA银行3个月后向该公司支付15.42万元，其资金成本仍为4.75％。
在②情况下，该公司向FRA银行支付21.656万，其资金成本仍为4.75％。