第３４卷第５期 ２０１３年５月 通信学报 Ｊｏｕｍａｌ ｏｎ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ Ｖｂ１．３４ Ｎｏ．５ Ｍａｙ２０１３ ｄｏｉ：１０．３９６９８．ｉｓｓｎ．１０００—４３６ｘ．２０１３．０５．０１２
基于稀疏重构的跳频信号时频分析方法
沙志超，黄知涛，周一宇，王军华
（国防科学技术大学电子科学与工程学院，湖南长沙４１００７３）
摘要：针对现有时频分析方法存在噪声抑制能力弱、时频聚集性不强的缺点，提出了一种基于稀疏重构的跳频 信号时频分析方法来获取清晰的、高聚集度的时频图。首先根据惩罚函数的思想建立了跳频信号无约束的稀疏重 构模型；然后理论分析了罚函数因子的取值标准；最后用近似ｆ０范数算法求解得出跳频信号的时频图。仿真结果 表明该算法能够有效地获取跳频信号的时频图。 关键词：跳频信号；稀疏重构：时频分析；近似如范数 中图分类号：ＴＮ９１１．７ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００．４３６Ｘ（２０１３）０５．０１０７．０６
ｍ‘ 一 ０ ‘ ．．一 ’ ‘ ｌ＇ｉｍｅ。ｔｒｅｑｕｅｎｃｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ０Ｉ Ｉ－ｒｅｑｅｎｃｙ。ｈｏｐｐｉｎｇ
‘ ’ １ １ ｓｉ２ｎａｌｓ Ｄａｓｅｃ１ ０ｎ ｓＤａｒｓｅ ｒｅｃｏｖｅｒｙ
ＳＨＡ Ｚｈｉ—ｃｈａｏ，ＨＵＡＮＧ Ｚｈｉ—ｔａｏ，ＺＨＯＵ Ｙｉ－ｙｕ，ＷＡＮＧ Ｊｕｎ－ｈｕａ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＤｅｆｅｎｓｅ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１００７３，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｏ ｏｖｅｒｃｏｍｅ ｔｈｅ ｃｏｎｌｍｏｎ ｓｈｏｒｔｃｏｍｉｎｇｓ ｓｈａｒｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ：ｗｅａｋ ｓｕｐｐｒｅｓｓｉｏｎ ｎｏｉｓｅ ｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅ ａｎｄ ｆｅｅｂｌｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｏｆ ｔｉｍｅ－ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎ，ａ ｎｏｖｅｌ ｔｉｍｅ－ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｓｐａｒｓｅ ｒｅｐｒｅ－ ｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｗａｓ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ，ｗｈｉｃｈ ｃｏｕｌｄ ｇｅｔ ｃｌｅａｒ ａｎｄ ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｅ ｔｉｍｅ－ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔｈｅ ｕｎｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｓｐａｒｓｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ＦＨ ｓｉｇｎａｌｓ Ｗａｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｐｕｎｉｓｈ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ．Ｔｈｅｔ／，ｔｈｅ ｇｕｉｄｅｌｉｎｅ ｏｆ ｐｕｎｉｓｈ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｗｅｒｅ ａｎａｌｙｓｅｄ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｌｙ ａｎｄ ｇｏｔ ｔｉｍｅ—ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｂｙ ｓｌｏｖｉｎｇ ｔｈｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｕｓｅｄ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｌ０ ｎｏｒｌＴｌ ｆｉｎａｌｌｙ．Ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｃａｐａｂｌｅ ｏｆ ｇｅｔｔｉｎｇ ｃｌｅａｒ ｔｉｍｅ—ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｐａｔｔｅｒｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ－－ｈｏｐｐｉｎｇ ｓｉｇｎａｌｓ；ｓｐａｒｓｅ ｒｅｃｏｖｅｒｙ；ｔｉｍｅ・－ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ａｎａｌｙｓｉｓ；ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ １０ ｎｏｒｍ
１ 引言
跳频技术具有良好的抗干扰性、低截获概率及
多址组网能力，已在军事和民用通信中得到广泛应 用…。在通信对抗和无线电监控领域，跳频信号的
检测与参数估计已成为研究的重点。
跳频信号是指发送信号的载波按照跳频序列进 行跳变，其具有时变、伪随机的载频，属于典型的
非平稳信号，通常采用时频分析方法对其进行检测
和参数估计。目前已有的时频分析方法包括线性变 换和非线性变换【２Ｊ。线性变换的时频分析方法包括短
时傅立叶变换（ＳＴＦＴ’ｓｈｏｒｔ ｔｉｍｅ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ）、 Ｇａｂｏｒ变换、小波变换及Ｓ变换等，受不确定原理的
制约，其时间分辨率和频率分辨率不可兼得。非线 性变换的时频分析方法以Ｗｉｇｎｅｒ－Ｖｉｌｌｅ分布（ＷＶＤ） 为代表，具有较高的时频分辨率，但存在交叉项的
干扰。平滑伪Ｗｉｇｎｅｒ－Ｖｉｌｌｅ分布（ＳＰＷＶＤ）能够抑
制交叉项，但是以损失时频分辨率为代价的。将上 述时频分析方法用做跳频信号处理的文献较多，其 中文献［３～７］较为典型，尽管一些复杂的时频分析方
法提高了时频分布性能，但仍存在噪声抑制能力弱，
时频分辨能力受限的缺点。文献［８】用稀疏线性回归 的方法解决多个跳频信号同时存在时的跳频参数估 计问题，该文献把跳频信号表示成完备的傅立叶基
收稿日期：２０１２．１１．０２；修回日期：２０１３．０２．２７ 基金项目：新世纪优秀人才支持计划基金资助项目（ＮｃＥＴ） Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ Ｉｔｅｍ：Ｔｈｅ Ｐｒｏｇｒａｍ ｆｏｒ Ｎｅｗ Ｃｅｎｔｕｒｙ Ｅｘｃｅｌｌｅｎｔ Ｔａｌｅｎｔｓ ｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｃｈｉｎａ（ＮＣＥＴ）
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之和的形式，附加跳频信号时频稀疏性约束，把跳
频参数估计问题转换为稀疏求解问题，但因其计算 量非常大，只能用于小样本情况。
为了在低信噪比情况下获取跳频信号清晰的、 高聚集度的时频图，针对现有时频分析方法的不
足，本文提出了一种基于稀疏重构的跳频信号时频 分析方法。该方法具有良好的噪声和交叉项抑制能
力，能够适应较低的信噪比，不仅适应于单网台信 号，也适应于多网台信号。
２跳频信号模型及稀疏重构原理
２．１跳频信号模型
根据跳频信号产生原理，假设在观测时间 内 有 个跳频信号进入接收机，本文采用如下符号来
描述单天线接收的跳频信号。
（ｆ）＝∑ （ｆ）＋Ｖ（ｆ） （１） ｍ＝ｌ 其中，ｙ（ 是接收的 个跳频信号与噪声的叠加， （ 表示第ｍ个跳频信号，ｖ（力表示零均值、方差
为 的加性高斯白噪声。对于第ｍ个跳频信号， 设其跳周期为 ，在观测时刻 内共包含 个跳 （ｈｏｐ），第ｋ跳对应的载频为／ ，起始跳的持续
时长为 ，则 （力可以表示为
Ｋ一１ ，，，、 （ｆ）＝ ∑ｅＸｐ［ｊ（２ ｆ ＋￣ｍ＊）３ｒｅｃｔＩ ｔ ｌ
＝０ ｍ／ ｔ ＝ｔ一（ｋ－１） 一ａＴｍ
其中，ａ 是信号 （ｔ）的幅度， 是第ｋ个ｈｏｐ的
初相，ｒｅｃｔ（ｔ１表示单位矩形脉冲。接收的信号经过
数字采样后的表达式为
（ ）＝ ∑Ｋ－ＩｅＸｐ［ｊ（ ＋ ）］ｒｅｃｔＩ ｌ
＝０ ＼、”Ｊ，ｌ／ ，２ ＝ 一ｆｋ－１）Ｎｍ—ａＮ． ）
对应式（１）的含噪接收模型为
Ｍ ｙ（ｎＴ，）＝∑ （，ｚ ）＋Ｖ（ ） （４） ｍ＝ｌ 其中，刀∈｛０，ｌ，…，Ｎ一１），Ｎ＝Ｌｚ／￣ｊ， 眦＝２ ，
将式（１４）表示为矢量形式
Ｊ，＝∑ ＋ （５） ｍ＝ｌ 非协作跳频信号处理问题的目标就是在给定
观测数据Ｊ，＝｛ ，Ｙｌ，… 一。） 隋况下，获取跳频率集 ｛ ），跳周期 等未知参数。
２．２稀疏重构原理
考虑信号Ｊ，∈ 在一组标准正交基 ， ，…，
上是ｋ稀疏的，则信号可表示为
Ｙ＝∑ 或＝ （６Ｙ Ｙ ）或 （）
其中， ＝【ｊＩｃ，１， ２，…，ｊｃ，Ｐ］∈ 户ｘ ， ａ／＝（Ｊ，， ），
∈ 包含ｋ个非零系数。
当观测包含噪声时，式（６）可以改写为
Ｙ＝ ＋＇’ （７）
虽然式（７）可以用最小二乘求解，但观测数据中 的噪声会影响求解的精度，进而影响真实频率检
测。考虑跳频信号的稀疏性，求解式（７）可转化为稀 疏重构问题（８）。
』叫 。） ｆ８１ ｌ
ｓ．ｔ．Ｙ＝Ａｘ＋ｌ，
３基于稀疏重构的时频分析
当备选频率集已知且多普勒频率可以忽略时，
可以设计有限频率集 ，使得接收跳频信号的频 率集｛ ）ｃ ｋ４＇。当对接收信号频率没有先验知识
时，可以按照要求的精度改变频段划分密度，把全 部频段等间隔划分为Ｐ个频率【８］。根据时间精度需
求将接收的信号Ｊ，等间隔划分为 段长度为Ｐ的数
据Ｙ （可以不重叠）。
Ｙｉ＝ｙ（ｉＬ：／Ｌ＋Ｐ—Ｉ） （９）
其中，Ｌ表示分段间隔，则 ：ｌ ｒ二 ｌ。将Ｙｉ依 Ｌ Ｌ Ｊ
次按列组成数据观测矩阵
Ｙ＝【Ｙｏ，Ｙｌ，…，Ｙｒ一１ Ｊ （１０）
当｛ ）ｃＷ时，观测矩阵表示为
Ｙ＝ＷＸ＋Ｖ ｆ１１
其中， 是由频率集 构成的傅立叶正交基【９］，
Ｗ＝［ ，…， 一１】，ｔＯｉ＝ｌ ｅ ，…，ｅ Ｉ ， 是表示
观测矩阵时频分布的矩阵， 表示观测噪声矩阵，
．Ｖ∈ Ｐ× 。
根据跳频信号的时频稀疏性质可知，矩阵ｘ中
对应跳频信号的时频点是稀疏的，又因为非零点都
集中在跳频信号频点对应的行上，所以矩阵 又是 第５期 沙志超等：基于稀疏重构的跳频信号时频分析方法
行稀疏的。因此可以构造带罚函数的无约束最优化 函数
Ｌ（Ｘ）＝ＩＩＹ－￣ＩＩ；＋￣ＩｌＸｌｌ。＋￣ＩｌＸｌｆ：．。
ａｒｇ ｍｉ～ｎ Ｌ Ｘ）］ （１２）
（ 的第一项代表 对观测数据ｌｒ的逼近程 度， 和 分别代表 矩阵点稀疏和行联合稀疏的 惩罚因子。噪声的抑制能力依靠 和 调节，行联
合稀疏限制非跳频频率集行时频点的幅度趋于０，点
稀疏则限制不对应跳频信号的时频点处幅度趋于０。
式（１２）是一个非凸优化求解问题，文献［１０】中用近似 ／ｏ范数（ＡＬ０）方法求解该类问题。当 ＝０时式（１２） 表示常见的多观测联合稀疏求解问题，当 ；０时
式（１２）仅考虑单个时频点对观测数据的影响和稀疏 度之间的平衡。 和 的取值过小则噪声抑制能
力弱，取值过大会消弱真实信号处的幅度，因此其
合理取值非常关键。在介绍ＡＬ０算法前，本文首先 分析 和 的取值准则，在分析时不考虑噪声的
影响，且频率集包含在字典集中。
３．１ 取值分析
式（１２）的 可以表示为
（ ）＝ （Ｉｌ 一 ＋ ｌＩ Ｉｌ０）＋￣Ｉｌｘｌｌ ，。（１３）
假设／ｈ＝０，令
ｇ（ｘｋ）＝ 一 幢＋／６ｌＩｘ，ＩＩ。 （１４）
则有
．Ｌ（ｘ）＝∑ｇ（ｘｋ） （１５）
Ｘ使Ｌ（Ｘ）最小等价于Ｘ ＝ａｒｇｍ．．ｉｎｇ（ｘｋ）。
所以可以参照式（１４）来分析 取值。 结论１信号幅度为１时， ＜尸是保证真实
的时频点处非零的必要条件。 证明 假设观测数据段 ＝ｅｘｐ（ｊ２兀 Ｈ－ｊ仍）。
当ＩＩｘ． ＩＩ。＝０时，即Ｘ． ＝０，此时ｇ（Ｘ． ）＝ｌｌｙ 幢
＝Ｐ；当ＪＩ Ｉ。≠０时，容易证明存在ｘ （ｆ）＝｛ ’其ｉ＝他ｐ
使得ｇ（ ） ｌ蜀 ｇ（ ） 。若要保证真实的时频
点处非零，等价于 ｍｌ［ ｎ ｇ（ｘ，）＿ｌ ｍ。ｉｎ：。ｇ（ ）＜０，即 故 ＜Ｐ。得证。
数据的频率。设Ｙｋ的前 个点对应频率 ，后
Ｐ— 个点对应频率 ，即
础 ＿｛箍
其中，仍， 表示相位，不失一般性假设￡≥ 。
僖 ， ｊ盘，ｍｉｎ ｇ（ｘ，）－ｍｉｎｇ ｘｋ￣＜０ 【ｌ｝ ：．， ｌＩ： 。
ｒａｉ。ｎ：。ｇ（ ） Ｐ （ ９）
ｍ。＇ｎ：．ｇ ｘ￣）－－ｍｉｎ（ｇ１１＋ ２）＋
：∑Ｌ（１一 ）
ｐ＝ｌ
＝熹 ｃｏｓ［（％一 ）ｐ＋砌（２０）
ｍ。ｉｎ： ｇ（ｘ，）＝ｍｉｎ（ｇ２１＋ｇ２２）＋２／／１
＝ １［
２（１
（－
一ａ
口）２
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。２＂ －［（ 一 ）ｐ＋△
ｇ ＝熹 【（２ｌ －。一ｂ）６ （ 一 ）ｐ＋△ ］｝ｃ２
△ ＝ －ｇ＇２， 式（２０）中 （ ）＝ａｅ ，
（Ｐ２）＝０； 式（２１）中Ｘ （ｐ ）＝ａｅ ，
（Ｐ２）＝ｂｅ 。因为△ 值与每跳初始相位有关，
当（ —ｍ２）Ｌ＞２ｎ时∑｛ｃｏｓ［（ 一 ）ｐ＋△ ） ０， Ｐ ｌ 因此可以忽略式（２０）、式（２１）中余弦项的影响，当
：０， ：０时，式（２０）、式（２１）取最小
值，经计算得