微分方程解析解及解析近似解的符号计算研究
【摘要】：自然界中的很多现象都可用非线性微分方程来描述.非线性
微分方程解析解的研究对洞察事物内部的结构,剖析事物之间的关系,
并应用于解释各种物理现象都起到至关重要的作用.高性能计算机的
诞生,极大地推动了非线性微分方程领域的符号计算研究,涌现出了许
多构造非线性微分方程解析解的方法和算法.本文以非线性微分方程
为研究对象,借助于非线性代数系统Maple,研究了多种构造非线性微
分方程精确解及解析近似解的方法和算法.主要工作如下:第一部分研
究构造非线性演化方程精确解的方法和算法,具体包括两方面的内容:
对已有的构造非线性演化方程精确行波解的几种代数方法,如Riccati
方程方法、耦合的Riccati方程方法、假设法、形变映射法等进行了
推广和整合,提出了“椭圆方程方法”.并结合吴消元法的思想和方法,在
计算机代数系统Maple上编写了推导非线性演化方程精确行波解的
软件包RAEEM,该软件包可自动推导出输入方程一系列可能的精确
行波解,其中包括多项式解、有理函数解、指数函数解、三角函数解、
双曲函数解及Jacobi椭圆函数解、Weierstrass椭圆函数解等.Bticldund
变换研究对非线性微分方程的可积性及精确解的求解都有十分重要
的意义.特别是,一旦从B(?)cldund变换推导出解的非线性叠加公式,则
仅通过代数运算就可构造微分方程的新解.我们借鉴已有的构造
B(?)cklund变换的方法,提出了构造1+1维非线性演化方程一类自
B(?)cklund变换的机械化算法,并结合吴文俊数学机械化思想,在计算
机代数系统Maple上实现了该算法,其中的软件包AutoBT不仅可自动
推导出输入方程的可能的特定类型的自B(?)cklund变换及相应的参
数约束条件,还可自动推导出解的非线性叠加公式.第二部分研究非线
性微分系统解析近似解的求解方法和算法.同伦分析方法是近几年发
展起来的构造非线性系统解析近似解十分有效的方法.与摄动方法不
同,同伦分析方法的有效性与所考虑的非线性问题是否含有小参数无
关.此外,不同于所有其它传统的摄动方法和非摄动方法,如人工小参
数法,δ展开方法和Adomian分解方法等,同伦分析方法本身提供了一
种方便的途径来控制和调节解级数的收敛速度和收敛区域.同伦分析
方法已被广泛应用于求解应用数学和力学中的许多问题.复合介质在
物理学和工程领域随处可见,因此,复合介质的实验与理论研究受到了
广泛的重视.摄动方法是求解弱非线性复合介质问题的有效工具.求解
强非线性复合介质问题仍然非常困难,同伦分析方法的提出为强非线
性问题的求解提供了有效的工具.文[85]和[86]分别应用同伦分析方法
构造了强非线性复合介质问题的解析近似解,然而,为了计算简单,他
们首先应用模式展开法将原系统简化为常微分系统,且只截取到第一
模式项,这使所得的常微分系统与原系统之间存在较大的误差.为了提
高解的精度,本文选取线性算子为线性偏微分方程,直接应用同伦分析
方法构造原系统的解析近似解.所获结果明显优于已有的摄动解及同
伦分析解.另外,本文也将同伦分析方法推广应用到分数阶微分方程情
形.【关键词】：非线性微分方程符号计算算法解析解解析近似解贝克
隆变换非线性叠加公式
【学位授予单位】：华东师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2008
【分类号】：O175.29
【目录】：摘要6-8Abstract8-12第一章绪论12-151.1研究背景12-141.2
本文的选题和主要工作14-15第二章构造非线性演化方程精确解的一
般原理15-302.1Riccati方程方法16-202.2耦合的Riccati方程方法
20-232.3三耦合的Riccati方程方法23-282.4其它方法28-30第三章椭
圆方程方法和软件包RAEEM30-593.1椭圆方程方法的求解步骤
31-323.2RAEEM的接口及使用32-353.3RAEEM的实现步骤及关键策
略35-393.4RAEEM软件包的应用39-453.5一个非线性演化方程精确
解的符号计算45-573.6本章小结57-59第四章非线性演化方程一类自
B(?)cklund变换的自动推演59-814.1构造非线性演化方程自
B(?)cklund变换的变分方法60-684.2构造B(?)cklund变换的线性组合
算法68-764.3线性组合算法在Maple上的实现76-784.4软件包
AutoBT的应用78-804.5本章小结80-81第五章同伦分析方法81-955.1
同伦分析方法的基本原理82-845.2分数微积分84-865.3分数阶非线
性微分方程的同伦分析解86-95第六章静电场边值问题的解析近似解
95-1106.1方程和边界条件95-966.2研究背景96-986.3构造静电场边
值问题同伦分析解的步骤98-1036.4解的分析与比较103-1086.5有效
电导率108-1096.6本章小结109-110第七章总结与展望110-1127.1总
结110-1117.2展望111-112附录A椭圆方程及其解112-115附录B非
线性代数方程组的吴文俊消元方法115-120参考文献120-129致谢
129-130在读期间完成的论文目录130参加的科研课题130
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