第２４卷第５期２以刀年９月 贵州大学学报（自然科学版）」仙ｍａｌ优ＧｕｉｚｈｏｕＵｎｉｖｅ佗ｉｔｙ（Ｎａｔｕｒ目Ｓｃｉｅｎｃ，）Ｖｏｌ．２４Ｎｏ．５

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文章编号１１洲１〕一５肠９（２Ｏ０７）０５一以刀一肠复杂网络中ＢＡ模型及其几种扩展模型的比较

刘浩广’．３，蔡绍洪２，３，张玉强’．３，丽，，３

（１贵州大学物理系，贵州贵阳５５以狡５：２．贵州财经学院， ３．贵州省光电子技术与应用重点实验室，贵州贵阳阳５５的０４；

）

摘要：本文从统计力学的角度分析和考察了无标度网络的基本特征，主要介绍了无标度网络 最常用的动力学模型—Ｂａｒａｂ山ｉｅ月场ｅｒｔ模型以及两种以其为基础的修正模型的构造原理， 总结分析以上模型设计上的不足，并据此提出了一个以ＢＡ模型为基拙的改进思路 关键词：无尺度网络；度分布；Ｂａｒａ肠妇１一Ａ比ｅｒｔ模型；连接偏好 中图分类号：０４１４．２文献标识码：Ａ

１引言 复杂网络充满了整个自然界和社会，研究所涉及的网络主要有：生命科学领域的各种网络（如细胞网络，蛋白质—蛋白质作用网络，蛋白质折叠网络，神经网络，生态网络），玩沈周ｅ叮ｗＷＷ网络，社会网络，包括流行性疾病的传播网络，科学家合作网络，人类性关系网络，语言学网络等等〔’，ｚＪ。越

来越多的研究表明这些看上去毫不相干的网络之间存在着许多惊人的相似之处，几乎所有的复杂系统都可以抽象成网络模型，这样的网络是由两部分组成：一部分是组成这个系统的各个要素，另一部分是这些要素之间的相互作用关系。对于任意一个随机等概率组合的网络，其节点度分布服从泊松分布，即Ｐ（ｋ）二犷ｅ一，／ｋ！，这样的随机网络的度分布曲线应该是一个钟形，在度的平均值附近应该有一个峰值。而Ｂａｒａｂｄｓｉ等人在研究万维网的度分布时却意外地发现它并不服从泊松分布，而是呈现出了幂律特征〔‘，ｚ］，即ｐ（幻＝ｃｋ一，，（ｙ只是网络连接度分布曲线拟合的一个估计参数，一般取值范围是２蕊下‘３），在度分布中曲线没有峰值，而是一条随ｋ的增加Ｐ（ｋ）不断下降的递减曲线，呈现出了无标度的特点。１９９８年Ａｌｂｅｄ和Ｂａｒａｂ此１等人在对互联网的节点度分布研究后，认为它有以下两个特征：（１）增长特征，网络规模不断扩大，（２）优先连接特征，新的节点更趋向于与那些具有较高连接度的“大”节点连接，这也称为“马太效应”。于是他们建立了Ｂａｒａｂｄｓｉ魂ｌｂｅｒｔ模型（简称为Ｂ一模型），在此模型的基础上，人们相继从不同的角度，针对不同的实际网络提出了多种无标度网络模型，目前大多数研究无标度网络所使用的动力学模型都是在Ｂ一Ａ模型基础上的修正或变体模型［ｊ，侧。 本文分析了Ｂ一Ａ模型及其一些修正模型的动力学机制，着重讨论了局域世界演化网络模型和嵌人一补偿一删除网络模型的构造原理和它们动力学模型的物理内涵并指出了它们设计上的不足，在此基础上取长补短，提出了一个新的研究思路：在ＢＡ模型的基础上考虑增长网络中新节点的局域优先连接特性，而后这些节点逐渐断边，当失去所有的连接时这些节点也从网络中消失。该模型思路对应于自然界中传染病流行并最终消失的现象，为人们研究传染病特性也许能够提供一些有意义的帮助。

ＺＢ一Ａ模型的动力学机制 许多真实网络是一个生长的开放系统，外界会不断地有新节点加人这个系统，原来的节点也不断老化消失，而且新的连接也不是随意连接，许多真实网络都展现了择优连接的特征，这说明节点的连接概率与节点度是有关的。鉴于此，Ｂ一Ａ模型把幂律度分布引人网络，描述的是从一小组核心节点开始的开放系统，Ｂ一Ａ模型中有两个非常重要的假设：生长假设和择优连接假设。 （１）网络生长假设：即网络的规模是不断扩大的，网络从原始的两个节点开始，每一个时间步长增加

收稿日娜二２加，一０７一０５基金项目：国家自然科学基金 准号：２阅５１１５）。作者简介：刘浩广（１９７５一）， 蔡绍洪（１９５８一）．

（批准号：１伪拼７冈５）、贵州省科学技术基金（批准号：【２以巧１２１义拓）和贵州省教育厅自然科学基金（批男，硕士研究生。研究方向：复杂网络。男，教授，博士生导师。研究方向：介观量子涨落、非线性物理、复杂性理论、自组织理论。

万方数据贵州大学学报（自然科学版）第２４卷

一个新的节点，在、个节点中选择二（二＜残）个节点与新节点相连； （２）：择优连接假设：新节点在网络中被连接的概率ｎ与网络中已存节点１的度气成正比

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这样在ｎ（ｋ．）＝ａｋ‘“＝１／艺

：时间步长之后，网络中有Ｎ＝：十吗个节点，有耐 （１）

。假设ｋ‘是一个连续随机变量清‘变化的速率与ｎ（ｋ‘）成正比，因而ｋ‘满足动力学方程：

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用上式方程，可以写出度少于ｋ的节点的概率 Ｐ［ｋ‘（‘）＜抢］二ｐ（，‘・尝）

等时程地向网络中增加节点，则：＊值就有一个常数概率密度因此网络中度大于无的节点的概率便为赶ｋ，（ｔ）＞们＝ｐ（“）＝１／（两＋ｔ）

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ｋ，毋（ｔ＋、）而网络中所有节点的概率之和为１，所以度小于ｋ的节点的概率便为－－－一爪】俩ｐ上无‘（‘）＜人Ｊ＝ｐ（‘》访）二’矶１节‘

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于是得到度分布为

Ｐ（ｋ）护［ｋ、（ｔ）＜ｋ〕２。，节，１ ａｋ二瓦下飞亮币万

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（９）

（１０） 可以看出，与璐无关，由以上知道ＢＡ模型中的度分布Ｐ（ｋ）具有幕律特征，度分布曲线是一条随着ｋ增加Ｐ（ｋ）不断下降的递减曲线。 现实中的网络由于性能和属性不同，它们存在很大的差别，人们根据现实中的网络所呈现出来的宏观现象和性质，在ＢＡ模型的基础上对其两个假设进行修正和扩展，构建了不同的网络模型以分析相应网络的性质，使这些模型能够对真实系统进行更好的刻画。下面主要对局域世界演化网络模型和嵌入一删除－补偿模型的构建机制进行分析口

３两种无标度网络模型构建机制的分析 ＢＡ无标度模型的精彩之处在于它把实际复杂网络的无标度特性归结为增长和优先连接这两个非常简单的机制，这很好地体现了科学研究中的从复杂现象提取简单本质的特点。当然，这也不可避免地使得ＢＡ无标度网络模型和真实网络相比存在一些明显的限制。比如，一些实际网络的局域特性对网络演化结果的影响，外界对网络节点及其连接边删除的影响等等，而ＢＡ模型没有考虑到这些因素。３．１局域世界演化网络模型 在世界贸易网中，每个节点代表一个国家，如果两个国家之间有贸易关系，则相应两个节点之间存在连接边川。研究表明，许多国家都致力于加强与各自区域组织内部的国家之间的经济合作和贸易关系，在世界贸易网中，优先连接机制是存在于某些区域经济体中的。这些说明在诸多实际的网络中存在着局域世界，局域世界演化模型构造算法如下： （１）网络增长假设：网络初始时有乳个节点和ｅ。条边。每次新加人一个节点和附带的。条边。 （２）局域世界优先连接假设：随机地从网络已有的节点中选取Ｍ个节点（Ｍ）二），作为新加人的局域世界。新加人的节点根据优先连接概率

万方数据第５期刘浩广称：复杂网络中ＢＡ模型及其几种扩展模型的比较

ｆｌ、（ｋ‘）＝ｆｌ’（１已Ｌ平）＝‘二，． 儿、弓

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来选择与局域世界中的ｎｚ个节点相连，其中Ｌ平由新选的Ｍ个节点组成。叽十ｔ表示随着时间的演化网络的规模大小，上式表明所取的局域世界越大，节点的连接概率也越大。很明显，在：时刻，，‘Ｍ‘吗＋ｔ，因此上述局域世界演化网络模型有两个特殊情况：衬二。和材二屿十ｔｏ （ａ）Ｍ二ｍ，这时新加人的节点与其局域世界中所有的节点相连接，这意味着在网络增长过程中，优先连接原则实际上已经不发挥作用。等价于ＢＡ无标度网络模型只保留增长机制而没有优先连接的特例，求解步骤与ＢＡ模型中的是一样的，第１个节点度的变化率为孤‘命二耐（ｍｏ＋ｒ）（１２）初始条件ｋ‘（：‘）二。（１３），：‘值也是一个常数概率密度川“）二１／（吗＋０

根据（１３）式，方程（１２）的解为ｋ‘（，）＝汕竺鲤丛丛

写出度小于ｋ的节点的概率为ｐ〔ｋ‘（０＜ｋ］将（１４）式代人（１６）式，得到

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Ｐ〔ｋ‘（ｔ）＜ｋｌ＝ｐ［忍‘＞一、］

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最后可以得到度分布为Ｐ（盖）

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由上式容易知道，此时网络度分布服从指数分布尸（ｋ）ｏｃ。咭（１９）

（ｂ）Ｍ二残＋，，在这种特殊的情况下，每个节点的局域世界其实就是整个网络。因此，局域世界模型此时完全等价于ＢＡ无标度网络模型，对网络度分布的求解方法与其也是完全相同的，网络演化的最终模型是幂律指数７二３的无标度网络。 局域世界演化网络模型的演化结果与局域量Ｍ有关，当Ｍ分别取ｍ和ｍｏ＋ｔ这两个特殊值时，局域世界网络模型最终将演化为指数网络〔，二解ｎｚ）和无标度网络（７＝３），而当盯取中间值时，网络将在这两类网络中演化３．２嵌入一剧除一补偿模型 一般自然的或者人造的现实网络与外界之间有节点交换，节点间连接也在不断变化，网络自身具有一定的自组织能力，会对自身或者外界的变化作出相应反应。因此，在Ｂ一Ａ模型基础上，把模型的动力学过程推广到包括对网络中已有节点或者连接的随机删除及其相应连接补偿机制阁。考虑这样一种模型，在

每一个时间步长： （１）生长假设：一个带有、个连接偏好的新节点加人网络，这个新节点选择网络中。个节点，即对于每一个连接，一个度为ｋ的节点被作为目标被选择的概率正比于该节点的度从 （２）姗除假设：网络中ｃ个节点和这些节点与别节点之间的连接边被选作目标被随机地删除； （３）补偿假设：网络中失去一个连接，同时产生。个连接进行补偿，其中ｎ有上确界，是一个受网络补偿能力限制的量，这里的补偿连接其所选择的目标节点也遵循连接偏好原则的。 这里需要指出的是：（ａ）如果仅仅考虑节点１的度因新加人的节点所带人的。个偏好连接而产生变化，其满足的速率方程为：砚（１，‘）／毋二耐（ｉ，，）／ｓ（约；（的节点‘失去一个连接的概率是味（１为／Ｎ（约；（ｃ）失去一个连接的同时，网络中立刻就能产生。个新的补偿的偏好连接，那么在每个时间步长里，都有ｂ

二艺气（：）个链接失去，相应补偿的连接被节点１拾取的数目则为ｎｂｋ（ｉ，ｔ）／ｓ（：）。下面只考虑随机性的节 １‘１点删除，此时有“二补“，、ｃ（＆ｔ）｝，其中・就是每个时间步长被删除的节点数，网络中所有节点数的