机器人运动轨迹规
划分析与
算法
徐向
荣马香峰
〔
华东冶金学院机械系
马鞍
山市
北京钢铁学院机器人研究所
摘要本文在 !∀
和 #∃
等人工作的基础上提出了
一种
新的机器人%&运动轨
迹规
划算法在该算法中连续路
径由
一组直角坐标下的参数方程来描述时间
区间
〔。∋
被分成(段并且各轨迹段的拟合多项式系数采用递推方式
求
得这不仅易子计纤
机实现而且计算
全也较少另外本文对时间最优
轨迹规划问题
也作
了分析和研究并提
出了一
种有
效的算
法
关
镜词操作器轨迹规划递推多项式
+
引言
轨迹
规划是
机器
人研究中一个非常重
要课
题,
国
内外已
有不
少学者
在这方面做了
大量
工
作「“’。’,−∃∀
和.
/0∃
〔“
’早
在+
12+
年就研究
过机器
人作&∋&
运动时时
间最优轨迹
规划问
题,
但作了
不少假设和
近似&−#
3
‘“’
曾
提出
一种机器
人手臂沿空
间直线段
运动的
关节轨迹
规划
方法,他
首先利用齐次变换矩
阵将手部在
直角坐
标下的
位置
速度和
加速度变换成各关
节的
位移速
度和
加速度,然后用插补
法将每
一
轨迹段上
关
节的
位移
速度和
加速度规划
成
二次平滑函数&−#3
方法
易于理
解和
应用,
但
计算
量非常
大∋−43/5
〔咭
’改
进了&−#3
的
方
法他采用
四元
数
表示法来描述手部位置,
为
减小轨迹误差
他将轨迹
离散成
一
定数量的
点
然后
再逐步计
算出这
些离散点上关节的
位移
速度和
加速度后来,!(
和6
∃!∀
〔“
’
提出一种
时
间最短
轨迹规划
方法,这种
方法
是基于
关节
空
间的,
并考虑了
各种
实际约
束条
件其
中也包
括动
力学约
束,
但这种
方法较复杂,
且只能
离
线
完成后
来 !∀
和 #
∃
等人
提出了
规划
机器
人%&
运动
轨迹的
三次样条函数方法〔72
’,
这
种方法的
优点是
可得到
优化的
关节运动
规律,
但当
轨迹中间
路径点个数∀
较多时,此
法所需
计算量也就
较大另
外这种
方
法还要
求在轨迹
规划
前
计算出整
个路径上
所有中间
点,
这也使
得这种方法
具有局限
性本文在 !∀
和 #
∃
等
人工作的基础上,
通过对轨迹规划的
研究,
得
收到本文的时间是+182
年9
月:。
日到
一
种机器人%&
运动的
轨迹规划
算法,
在这
种算法中各轨迹段的拟合
多项式
系数采用
递
推
方式求得这不仅易于
计算机实现,
而且计
算量
也较少
:
机器人%&
运
动的轨
迹规划
算法
机器
人%
&
运动也即连续
轨迹运动的
特点
在于∗
我们
不
仅要求机器
人到达目
标点,
而且
必须沿
着我们
所希望的
路径
在一定精度范围
内
移动本文采
用基于直角坐
标方案来规划%&
运动
轨迹,
这种方案就是∗
轨迹是
以机器
人手
的直
角坐
标位置和
姿势对时间0
的
函
数来描述
的
为规划
轨迹,
我们进行
如下考虑∗
假定机器
人完成%&
运动所
需时间
为∋
,
将
区
间〔。,∋
〕分成(
段
(
与
精度有关,(
越
大则
精度越
高
∗
〔工。0
,
〕,
〔才∗,
公∗
〕,
…,
〔0,0
、
〕5
。
每个子区=’>?长度
为∗
乙0
‘二5
、一亡‘,!<+
…,
。,
在每
一时刻0
‘
亡
、<艺
‘,≅
尔‘,首
先根据连续
轨
迹的
方程和
手部姿势要求计
算出
机器
人手部
坐
标系
相对基
座参照坐
标系的
位置和姿
势,
再
进行
运动学
反解计
算以
求得期望的
关节转角
或
位移和
关节角增量,
这样共要
进行(
十
3
次
运动
学反解计
算当
求得在0
、,
和0
Α
两
点
时
各关节变量值和速
度值时
再用
一多项式
来
拟合
在区间
〔0
Α,
,
“〕
内关
节的运动因此
机器
人%&
运动
轨迹的
规划
比&∋&
运动
轨迹
规
划
所需的
计算量
要大得多
当机器人
手部沿
连续
轨迹
运动时,
除了位
置要求
外
往往
还有速度和加
速度要求,因此
为
了使
规划出的各
关节运动规
律还能满足手部
:
卷7
期机器人运动轨迹规划
分析与
算法
在直角坐标下的
速度和
加速度要求还应进行
运动学速度和
加速度反解计算,
一
般方法是∗
先求出雅可比
矩阵Β
,然后
对
其求逆和
求导,
再由
下面两
式进行
计算
将手部速度和
加速度
的约束变换为对关节速度和
加速度的
约束∗甲!<
切。≅望少二
望几
∋1
Χ
二Β
‘Δ4
Ε
二Β
’
Ε
下≅Β
‘
Ε4
+
:
式
中∗Β
Ε
为
雅可比
矩阵Α4
为手部在直
角坐
标下的
速度矢量,丫为
手部在直角坐
标
下的
加
速度矢量
由于
求雅可比
矩阵及其
求导
求逆运算
极
某复杂因此
这种方法
所需计算量
很大为此
本文采用一种近似方法来考虑机器人Φ&
运动
时手部有速度和
加速度
约束的
情况,
其条
件是
连续
轨迹可用
参数方程
表示
并且参数能反
映
手部速度和
加速度的
变化
现设连续
轨迹是以如下参数方程表示∗
Γ<ΗΑ
6
夕<Η∗
6
Ι二
Ηϑ
6
ϑ
9
Κ
7山口‘
,、分别
表示手部与基座
参照坐
标
系
ΛΜΝ
轴
的夹
角或欧拉角
为求出
各关
节的
运动
规律Ε,
二Ε
,约Ο
二
+
,…,Π
,Π
为自由度
对区间
〔Θ,∋
〕中
每一时刻0
‘!<Ρ+
…(Α0。
二Ρ
,0
、
二
∋
,
先由式ϑΣ
1
求
出Γ
￡4
‘
Ι
Α−
Τ
尽‘甲‘,
再
据此计算
出手部坐标
系相
对基座参照
坐标
系的
变换矩
阵∋
寿!二/,
+
,…(,然
后再由∋
介进行
运动学反解计
算求出对应的各关节变量值,
由于
运动
学反解
的
多解性,
对
每一个∋
寿
可能有
好几
组关节变
量值与之
对应,
这时可根据各关节工
作范围将
无意义
解去掉,
在
剩下的几
组有
效解中,
再选
择一组与当前
形态
最接
近的解
作为各关节变
矗
值口‘,ΕΤ:
…ΧΑΠ
另
外当
乙5
‘<∗
‘Υ
才
、一、
很小时,
可用下
述近
似公式
计算各关节
速度和
加速度∗
叮‘,
亡Ε
‘Τ一
召、∗,ς
乙
0Α<
乙叮‘,ς
乙
0‘
+Θ
<6
03>6>6>6=
其
中∗Λ4
Ι
是连续
轨迹的
直角坐标分
量Α
∗
是
时间0
的函数,
它是用
来反映手部速度和
加
速
度变化的,
其意义随具体情况
而定,
可以
是
长度或
角度等譬如当机器
人手部沿
直线
运动
时,
可
取6
为运动路
径长度
由于
机器
人%&
运动时,其
手部姿势往往
也随着变化为能准确
描述机器
人运动,
除了
知
道
手部位
置变化外还应知
道手部姿势的
变
化设在连续
轨迹的始
点和
终点手部的
姿势角
为−
。,
尽。
甲。−
,月5,甲5,
我们
假
定姿势角随时间
作线性
变化因此
在时刻仁
Θ
簇0
,
镇∋
手部姿势角为∗Ε
、,
‘Ε
、,一Ε
、∗,ς
乙忿‘
“++
式
中∗
乙ΕΤ6‘
口‘,
一Χ
‘∗,
Α!
<Θ,+
…,
爪,Ο<+
…,Π
当
求得在亡‘∗
和∗
‘两
点时的
各关节的
关节
变量值和
速度
值时,
便可规划〔亡Α,
,0
‘
〕内关
节运动,
为了
减少
计算量以
及使规划
出的
关节
运动
平稳,
在每一子区间
〔艺
‘∗0
‘
〕
内用
一多
项式
来拟合各关
节运动,
并近似认为
在〔公‘,,
艺、
〕内机器人
作&∋&
运动
现设在〔0
Τ,,0
‘
〕内
拟合
关节运动的
多项式
为∗
ΕΑ,
“Ε
‘,
七
“−Α。≅−
门0
≅
…
…≅−
!
忿
“
‘二“。≅
”
产‘
“‘二“。≅
五
并与‘2
式中
艺
‘++:
。为无量纲
时间∗
二∋
一“∗
ς
云‘Υ
丁
一亡亩3
入‘艺
任〔Θ+
〕儿、二乙玄Α
二
8
0
、一艺
、,Α∋
为实际时间,
月∋
任
〔艺
‘,0
‘
〕
由于区间
〔Θ∋
〕共被分
成(
个子区间∗
〔Θ