为动坐标系。 刚体Q在固定坐标系OXYZ中的位置可用齐次坐
标形式表示为
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x0 y 0 p z0 1
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第3章 工业机器人运动学和动力学
图 3.3 刚体的位置和姿态描述
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第3章 工业机器人运动学和动力学 令n、o、a分别为X′、 Y′、 Z′坐标轴的单位方向矢量, 即
4 4 6 1 1 1 Q 0 0 0 1 1 1
6 1 0 1
4 4 1 1 4 4 1 1 ( 46)
用符号表示对目标物的变换方式可以记录物体移动的过程, 也 便于矩阵的运算, 所以应该熟练掌握。
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第3章 工业机器人运动学和动力学
图3.6 点的平移变换
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第3章 工业机器人运动学和动力学 记为:
a′=Trans(Δ x, Δ y, Δ z)a
其中,Trans(Δx, Δy,Δz)称为平移算子,Δx、Δy、Δz分别表示沿X、 Y、Z轴的移动量。 即:
1 0 T rans (x, y, z ) 0 0
图 3.5 目标物的位置和姿态描述
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第3章 工业机器人运动学和动力学 3.1.2 齐次变换及运算 1. 平移的齐次变换
如图3.6所示，为空间某一点在直角坐标系中的平移,由A(x,
y, z)平移至A′(x′, y′, z′), 即
x ' x x y ' y y z ' z z
0 sin cos 0 0 sin 1 0 0 cos 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1
(3.22)
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第3章 工业机器人运动学和动力学 图3.8所示，为点A绕任意过原点的单位矢量k旋转θ角的情 况。kx、ky、kz分别为 k矢量在固定参考坐标轴X、Y、Z上的三
个分量,且k2x+k2y+k2z=1。
k x k x (1 cos ) cos k k (1 cos ) k sin z Rot(k , ) x y k x k z (1 cos ) k y sin 0 k y k x (1 cos ) k z sin k y k y (1 cos ) cos k y k z (1 cos ) k x sin 0 k z k x (1 cos ) k y sin k z k y (1 cos ) k x sin k z k z (1 cos ) cos 0 0 0 0 1
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0 1 0 0
0 x 0 y 1 z 0 1
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第3章 工业机器人运动学和动力学 注:
① 算子左乘: 表示点的平移是相对固定坐标系进行 的坐标变换。 ② 算子右乘: 表示点的平移是相对动坐标系进行的 坐标变换。 ③ 该公式亦适用于坐标系的平移变换、 物体的平移 变换, 如机器人手部的平移变换。
sin cos 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
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第3章 工业机器人运动学和动力学 同理,
0 1 0 cos Rot( x, ) 0 sin 0 0 cos 0 Rot( y, ) sin 0
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第3章 工业机器人运动学和动力学 手部位姿矢量为从固定参考坐标系OXYZ原点指向手部坐标 系{B}原点的矢量p。手部的位姿可由(4×4)矩阵表示:
nx n y T [n o a p] nz 0
ox a x p x oy a y p y oz a z p z 0 0 1
x' x cos y sin y ' y sin x cos z' z
(3.18)
由于Z坐标不变,
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第3章 工业机器人运动学和动力学 写成矩阵形式为
x' cos y ' sin z' 0 1 0
第3章 工业机器人运动学和动力学
例如, 在图3.2中, 矢量v的方向用(4×1)列阵表示为
其中: a=cosα , b=cosβ , c=cosγ 。
矢量v的始点为坐标原点, 表示为
a b v c 0
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0 0 o 0 1
同时有
其中, α′=α+θ, 即
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第3章 工业机器人运动学和动力学 所以
x' r cos cos r sin sin y' r sin cos r cos sin
所以
(3.17)
x' x cos y sin y' y cos x sin
1 0 2 1
1 1 4 4 0 0 1 1 ( 46)
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第3章 工业机器人运动学和动力学 若让其绕Z轴旋转90°,记为Rot(z,90°); 再绕Y轴旋转90°, 即Rot(y,90°), 然后再沿X轴方向平移4,即Trans(4, 0, 0), 则楔块 成为(b)图位姿, 其齐次矩阵表达式为
注: ① 该式为一般旋转齐次变换通式 , 概括了绕X、Y、Z轴进行旋转变换 的情况。反之,当给出某个旋转齐次变换矩阵, 则可求得k及转角θ 。 ② 变换算子公式不仅适用于点的旋转 , 也适用于矢量、 坐标系、 物体 的旋转。
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第3章 工业机器人运动学和动力学
当α=60°, β=60°, γ=45°时, 矢量为
0.5 0.5 v 0.707 0
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第3章 工业机器人运动学和动力学
图3.2 坐标轴方向的描述
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第3章 工业机器人运动学和动力学 4. 动坐标系位姿的描述，就是用位姿矩阵对动坐标系原点位
ox a x x0 o y a y y0 oz a x z0 0 0 1
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第3章 工业机器人运动学和动力学 6. 机器人手部的位姿如图3.4所示, 可用固连于手部的坐标系
{B}的位姿来表示。坐标系{B}由原点位置和三个单位矢量惟一
确定, 即: (1) 原点: 取手部中心点为原点OB; (2) 接近矢量: 关节轴方向的单位矢量a; (3) 姿态矢量: 手指连线方向的单位矢量o; (4) 法向矢量: n为法向单位矢量, 同时垂直于a、o矢量, 即n=o×a。
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第3章 工业机器人运动学和动力学
图 3.4 机器人手部的位置和姿态描述
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第3章 工业机器人运动学和动力学 7. 目标物位姿的描述 任何一个物体在空间的位置和姿态都可以用齐次矩阵来表
示, 如图3.5所示。楔块Q在(a)图的情况下可用6个点描述, 矩
1 1 1 0 0 0 Q 0 0 2 1 1 1
sin cos 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
x y z 1
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第3章 工业机器人运动学和动力学 记为: a′=Rot(z, θ )a
其中, 绕Z轴旋转算子左乘是相对于固定坐标系,
cos sin Rot( z, ) 0 0
(3.3)
其中:a=ωpx, b=ωpy, c=ωpz。该列阵也表示P点,齐次坐标的表示 不是惟一的。
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第3章 工业机器人运动学和动力学 3. 坐标轴方向的描述 • 用i、j、k来表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的单位向量；
•用齐次坐标来描述X、Y、Z轴的方向, 则有
规定:
1 0 X , 0 0
x' 1 y ' 0 z ' 0 1 0 0 0 x 1 0 y 0 1 z 0 0 1 x y z 1
(3.10)
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第3章 工业机器人运动学和动力学
0 1 Y , 0 0
0 0 Z 1 0
列阵［a b c 0］T中第四个元素为零, 且a2+b2+c2=1, 表示某 轴(或某矢量)的方向;
列阵［a b c ω］T中第四个元素不为零, 则表示空间某点的 位置。
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第3章 工业机器人运动学和动力学
第3章 工业机器人运动学和动力学
3.1 工业机器人的运动学 3.2 工业机器人的动力学 3.3 工业机器人的运动轨迹规则
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第3章 工业机器人运动学和动力学
3.1 工业机器人的运动学
3.1.1 1. 如图3.1所示,在直角坐标系{A}中,空间任一点P的位置可 用(3×1)的位置矢量AP
置和坐标系各坐标轴方向的描述。该位姿矩阵为 (4×4) 的方阵。
如上述直角坐标系可描述为:
1 0 A 0 0
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0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
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第3章 工业机器人运动学和动力学
5. 刚体位姿的描述
机器人的每一个连杆均可视为一个刚体 , 若给定了刚体上 某一点的位置和该刚体在空中的姿态, 则这个刚体在空间上是 惟一确定的, 可用惟一一个位姿矩阵进行描述。 如图3.3所示, 设O′X′Y′Z′为与刚体Q固连的一个坐标系, 称
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