第８期黄建龙等．基于Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型和Ｙｅｏｈ模型的超弹性橡胶材料有限元分析４６７基于Ｍｏｏｎｅｙ—Ｒｉｖｌｉｎ模型和Ｙｅｏｈ模型的超弹性橡胶材料有限元分析
黄建龙１，解广娟１，刘正伟２（１．兰州理工大学机械电子工程学院，兰州７３００５０；２．中海油田服务股份有限公司。北京１０１１４９）
摘要：介绍橡胶材料两种常用的应变能密度函数模型——Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒ－ｖｌｉｎ模型和Ｙｅｏｈ模型．并解析求得其材料常数。采用ＡＮＳＹＳ有限元分析软件，分析比较两种模型的位移和应力云图，验证其适用性，即Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型适合模拟中小变形行为；Ｙｅｏｈ模型适合模拟炭黑填充ＮＲ的大变形行为。关簟词：超弹性；橡胶材科ｌ应变能密度函效模型；有限元分析中田分类号：ＴＱ３３０．１＋２１０２４１．８２文献标识码：Ａ文章编号：１０００－８９０Ｘ（２００８）０８—０４６７—０５
橡胶材料作为一种高分子非线性超弹性材料广泛应用于承载结构轴承、密封件、吸收震动的衬垫、连接器和轮胎等，已成为现代工业的重要原材料。橡胶硫化后分子形成网状结构，从而成为具有超弹性、体积几乎不发生变化（即不可压缩）、大变形的非线性固体材料。材料特性的非线性和几何非线性给橡胶材料的研究带来了很大的困难。几十年来，人们对橡胶材料做了大量的研究工作，主要有罚有限元、混合元和杂交元等方法。文献［１—３］均以Ｐｉｏｌａ—Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ应力和Ｃａｕｃｈｙ－Ｇｒｅｅｎ应变建立拉格朗日虚功方程，将非线性方程线性化，并利用目前广泛应用的应变能密度函数模型——Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型进行有限元分析，介绍确定适当罚因子的方法。文献Ｅ４－］采用罚函数和拉格朗日乘子法，并引入静水压力概念，同样应用Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型对橡胶材料进行有限元分析，通过试验和解析方法确定算法的有效性。文献［５，６］采用试验方法结合有限元方法对如何确定Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ常数做了研究。文献［７］以Ｐｉｏｌａ—Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ应力和Ｃａｕｃｈｙ－Ｇｒｅｅｎ应变理论，采用Ｙｅｏｈ模型对橡胶材料进行有限元分析，从而确定此类材料的有限先模型。尽管应变能密度作者简介：黄建龙（１９５１一），男，甘肃兰州人，兰州理工大学教授，硕士，主要从事成套设备的设计与开发及机械可靠性设计理论与方法的研究。函数模型理论越来越多，应用研究范围也越来越广，但是针对具体工况选择合适的应变能密度函数模型仍有很大困难。本文根据有限元分析软件ＡＮＳＹＳ提供的超弹性不可压缩材料的材料特性描述，介绍橡胶材料的有限元分析模型——Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型和Ｙｅｏｈ模型，并用实例证明这两种典型模型的适用性，以期为有限元分析打下理论基础。
ｌ橡胶材料增量形式的应力－应变关系和其本构关系（１）假设橡胶材料在小范围内是线性的，可以用增量形式建立其应力（盯）一应变（￡）关系：
ｄｅｌ＝ｉＩ—ｄｏｌ一＃（ｄ０２＋ｄ仍）］出。一吉Ｅｄｏ＝一／比（ｄｏ－＋ｄ０３）Ｊ（１）
ｄｅ。＝击［ｄ仍一Ｆ（曲－＋ｄｃｒ２）］式中，Ｅ为弹性模量，口为剪切模量。但是式中的Ｅ是变形过程函数，给试验测定和实际应用带来很大困难，因此该公式很少使用。（２）假设橡胶材料为各向同性和不可压缩（Ｊ。兰１），基于应力一应变关系以唯象理论建立橡胶材料的本构关系，以应变能密度函数（Ｗ）表示：Ｗ＝Ｗ（Ｊ１，１２，ｆ３）（２）
式中
４６８橡胶工业２００８年第５５卷Ｉ，＝Ａｉ＋Ａｉ＋砖Ｊ。＝Ａ｛Ｊ：【；＋Ａ；Ａ；＋Ａ｝Ｊ：【；Ｉ。＝ＡｉＡ；Ａ；一１．：Ｉ｛＝１＋九式中，Ｊ。，Ｉ。和Ｉ。为变形张量不变量，Ａ。，屯和Ａ。为主伸长比，竹为主应变。２Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型和Ｙｅｏｈ模型２．１应变能密度函数模型（１）Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型是一个比较经典的模型，几乎可以模拟所有橡胶材料的力学行为，适合于中小变形，一般适用于应变约为１００％（拉伸）和３０％（压缩）的情况。但是Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型不能模拟多轴受力数据，由某种试验得到的数据不能用来预测其它的变形行为。ＡＮＳＹＳ有限元分析软件可根据不同需要，将其展开为二项三阶展开式、三项三阶展开式、五项三阶展开式和九项三阶展开式等，其应变能密度函数模型如下：ｗ一∑Ｃｏ（Ｊ１—３）‘（ｆ２—３）ｊ＋ｉ十ｊ一１∑了１（躬一１）“（３）＾＝１口Ｉ典型的二项三阶展开式为Ｗ—Ｃ１０（１１—３）＋Ｃｏｌ（Ｌ一３）＋｛（Ｊ一１）２“（４）式中，Ｎ，Ｇｊ和ｄ。为材料常数，由材料试验所确定；对于不可压缩材料，＿ｒ＝１。（２）Ｙｅｏｈ模型Ｙｅｏｈ模型比较适合模拟炭黑填充ＮＲ的大变形行为，并且可以用简单的单轴拉伸试验数据模拟其它变形的力学行为，但是它不能很好地解释双轴试验数据，当材料发生较大变形时，计算结果就会不精确。ＡＮＳＹＳ有限元分析软件中也将其分为一、二、三、四和五等多项参数形式，其应变能密度函数模型如下：ＮＷ＝∑Ｃ司（ｆ，一３）‘＋∑万１（Ｊ一１）２‘（５）＾＝ｌ竹●典型的二项参数形式为Ｗ＝Ｃ１０（ｊ１—３）＋ｃ２０（ｆ。一３）２（６）式中，材料常数Ｎ，Ｃ∞和ｄｔ由材料试验所确定，初始剪切模量口＝２Ｃ１。；同样，对于不可压缩材料，Ｊ＝１。２．２Ｐｉｏｌａ－Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ应力张量与Ｃａｕｃｈｙ－Ｇｒｅｅｎ
应变张量的关系应力一应变关系表征材料的主要特性。橡胶材料的应力一应变关系可以由应变能密度函数对其主伸长比求偏导表示，此应力一应变形式由Ｐｉｏ—ｌａ—Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ和Ｃａｕｃｈｙ－Ｇｒｅｅｎ定义，因此也称为ＰｉｏＩａ—Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ应力张量（ｔｄ）和Ｃａｕｃｈｙ－Ｇｒｅｅｎ应变张量（Ｙｏ），其形式如下：ａｗ．一ａｗａ１１．ａｗａ１２．ａｗａ１３
＝一＝…－Ｉ－———二－－ｂ…
“ａ７０ａｌｌａ％。ａ１２ａ％。ａ１３ａ％
（７）由上述公式得主应力（岛）与主伸长比（Ａ。）之间的关系：
２Ａ
２Ａ２Ａ
署＋署＋两ａｗ＋＋＋＋爰＋署＋爰＋
ａｗａ１３ａＷ
ａ１３ａＷａ１３（８）
３基于Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型和Ｙｅｏｈ模型的参数计算通过单轴拉伸试验确定材料常数，并取二项参数的Ｍｏｏｎｅｙ—Ｒｉｖｌｉｎ模型和Ｙｅｏｈ模型作为计算准则，采用ＡＮＳＹＳ有限元分析软件对两模型进行分析对比。（１）单轴拉伸试验简化对于单轴拉伸试验，有ｔ。＝ｔ。＝０
Ａｉ＝Ａｉ＝÷（９）
＾１
对于绝对不可压缩材料，Ｊ。＝Ａ。２＾。２Ａ；＝１，结合
式（８）和（９）推导出绝对不可压缩橡胶材料的主应力与主应变和变形张量不变量与主伸长比的关系：栌和一志，ｃ署州。爰，㈣，
Ｉｌ＝Ａｉ＋告（１１）
第８期黄建龙等．基于Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型和Ｙｅｏｈ模型的超弹性橡胶材料有限元分析４６９（２）Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型常数Ｃ１０和Ｃ０１确定二项参数Ｍｏｏｎｅｙ—Ｒｉｖｌｉｎ模型应变能密度函数为ｗ＝Ｃｌ。（Ｉ。一３）＋Ｃｏ。（Ｊ２—３），结合式（９）～（１１）求得：——耳＝Ｃ，。＋÷Ｃｏ，
…’Ⅷ２（．；【１一击）＾１＾１根据试验测得不同拉伸比（Ａ，）下的应力值（南），然后以÷为横坐标，以——斗为纵坐标，
＾１２（Ａｌ一击）
ａｉ把试验点绘在坐标系中，并把试验点回归成一条
直线，则Ｃ。。为这条直线的截距，ｃｏ。为其斜率。（３）Ｙｅｏｈ模型常数Ｃｌｏ和Ｃ２０确定二项参数Ｙｅｏｈ模型应变能密度函数为式（６），与上述方法相同，先求得忐。一。暑
１一音）Ａ１最后求得Ｃ。。和ｃ２。。
（４）基于数值分析和Ｍａｔｌａｂ求解Ｃ。ｏ和Ｃｏ。及Ｃ。。和Ｃ２。以一种典型橡胶材料为例，本研究选用轨道减震器做单轴拉伸试验，所得应力一应变关系如图１所示，根据上述方法做图并回归为直线，如图２和３所示。根据对应斜率和截距关系求得材料常数。Ｍｏｏｎｅｙ—Ｒｉｖｌｉｎ模型：Ｃ１０一１．２０，Ｃｏｌ＝一０．３５；Ｙｅｏｈ模型：Ｃｌｏ＝Ｏ．７１，Ｃ２０一－－０．０１９。
４ＡＮＳＹＳ分析结果本研究采用ＡＮＳＹＳｌ０．０有限元分析软件对这种材料进行分析［８］，结果如图４－－－７所示。根据图４～７可得到模型位移和应力数据，如表１和２所示。由表１和２可看出，两种模型应力云图对应等值线差值几乎为零，但很明显位移差值却很大，并逐渐增大，最小差值为０．９％，最大可达到８．２％。Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型的最大位移为０．１９７０１６ｍｍ，Ｙｅｏｈ模型最大位穆为０．２７９０１６ｍｍ，相差８．２％，从而可以验证：Ｍｏｏ—ｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型适合模拟中小变形行为，Ｙｅｏｈ模型比较适合模拟炭黑填充ＮＲ的大变形行为ｊ图１应力－应变关系０．５１．０１．５２．０２．５３．０３．５４．０４．５５．０１／；ｔｌ圈２Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型拟合线●一试验数据ｆ１一拟合二次曲线（ｙ＝Ｏ．３８ｘ２—２．５ｘ＋３）Ｉ２一拟合直线（，＝一Ｏ．３５ｚ＋１．２）。圈３Ｙｅｏｈ模型拟合线●一试验数据１１一拟合二次曲线（ｙ＝－－０．０１３ｘ２＋Ｏ．２８ｚ—Ｏ．５３）Ｉ２～拟台直线（ｙ＝－－ｏ．０１９ｘ＋Ｏ．７１）．５结语本研究主要总结了目前两种常用的超弹性橡胶材料的应变能密度函数模型，并分析比较其适用性，具体给出了Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型和Ｙｅｏｈ模型材料参数的确定方法。采用ＡＮＳＹＳ有限元分析软件对两种模型进行分析，进一步证明了两种